数学：河南省名校联盟2024届高三下学期5月高考模拟联考试题（解析版）

这是一份数学：河南省名校联盟2024届高三下学期5月高考模拟联考试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数的值域可得，解不等式得，
所以.
故选：B．
2. 已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（ ）
A 16B. 30C. 24D. 18
【答案】C
【解析】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10，
所以高三年级三个班优秀学生总人数为人.
故选：C
3. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为底面半径，所以底面周长，
又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．
故选：A．
4. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（ ）
A. 3B. 4C. 1D. 2
【答案】D
【解析】依题意，椭圆短轴长为，得，则，
又的最大值是最小值的3倍，即，
所以，所以，则其焦距为.
故选：D
5. 设为数列的前项和，若，则（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】B
【解析】当时，，所以，
整理得，所以.
故选：B．
6. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
又，即，则，
所以，
故
故选：D
7. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，所以，
又定义域上单调递增，所以，
而在上单调递减，所以，所以.
故选:A
8. 已知为双曲线的左焦点，为左支上的点，为右顶点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设的焦距为，则，由，
可知，设的右焦点为，则，
由余弦定理得，
整理得，所以，离心率为，故A正确.
故选：A．
二、选择题
9. 在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】设，则，
可知，即，
若，则，
整理得所以或，
对比选项可知ACD正确，B错误.
故选：ACD．
10. 已知为函数的极值点，则（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上单调递增
【答案】ABC
【解析】为函数的极值点，
，由可得，A选项正确；
由于，
所以是偶函数，B选项正确；
、，
所以的图象关于直线对称，C选项正确；
由于的正负未知，所以在区间的单调性不确定，D选项错误，
故选：ABC．
11. 已知圆台的上下底面半径分别为1，2，高为，为下底面圆的一条直径，为上底面圆的一条弦，且，则（ ）
A. 圆台的体积为
B. 圆台的母线与下底面所成角为
C. 当，，，不共面时，四面体的外接球的表面积为
D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，圆台体积为，A选项正确；
对于B选项和C选项，先做出轴截面：
根据几何关系，可知圆台的母线与下底面所成角为，B选项错误；
对C选项，当与异面时，外接球的轴截面大圆刚好是圆台轴截面的外接圆，由几何关系得出，即下底面圆心刚好为四面体的外接球球心，则外接球半径为2，表面积为，C选项正确.
对选项D，需建立空间直角坐标系，由，可知，不妨设，，则，所以，所以，D选项正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答）
【答案】6
【解析】，
的展开式通项为，的展开式通项为，
，
令，得，
所以的系数为．
故答案为：6
13. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______．
【答案】
【解析】由余弦定理，，将代入解得，
因，所以，所以．
故答案为：
14. 已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】易知，设，则，
设切线斜率为，则，所以，
设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以的最小值为，所以的最小值为．故答案为：
四、解答题
15. 已知函数，且在处的切线方程是．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
解：（1）因为，所以，
又在处的切线方程为，
所以，，
解得，．
（2）由（1）可得定义域为，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则在处取得极小值，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
因此极小值为，无极大值．
16. 甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．
（1）求进行双打比赛的概率；
（2）设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望．
解：（1）设进行双打比赛为事件A，甲班前3场获胜2场为事件，乙班前3场获胜2场为事件，
所以，
所以，
所以．
所以进行双打比赛的概率为；
（2）的可能取值为3，4，
，由（1）可知，，
的分布列为：
，所以的数学期望为．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且．

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
（1）证明：由题意，则，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
18. 在平面直角坐标系中，已知点，点（不位于轴左侧）到轴的距离为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若圆与点的轨迹有且仅有一个公共点，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取最大值，且时，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值．
解：（1）设，则，
所以，
两边平方可得，
整理得，所以点的轨迹方程C为；
（2）依题意，联立圆与，可得，
解得或，由于仅有一个公共点，
所以，解得，所以最大值为2；
（3）不妨设，显然，
则直线，直线，
依题意直线PA与圆相切，所以，
整理可得，同理可得，
显然，
所以a，b为关于的一元二次方程的两根，
所以，
则
，
则面积为
，
当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为32．

19. 已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数．
（1）若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由；
（2）已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由．
解：（1）由于，因此的奇数项与偶数项都是等差数列，
且公差均为4，又因为，，
因此是2为首项，2为公差的等差数列，即，
当时，设，
则，此时取即可（取法不唯一）；
（2）由题意可知满足方程组
从最后一行开始，分别用前一行的倍加到下一行，
对后行的进行消元，
到
从最后一行开始，分别用前一行的倍加到下一行，对后行的进行消元，
得到
以此类推，有
由于，因此方程组为
当时，不存在不全为0的使结论成立，
当时，．
3
4