数学：河南省新高考联盟2024届5月联考模拟预测试题（解析版）

这是一份数学：河南省新高考联盟2024届5月联考模拟预测试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 与x轴相切于原点，且圆心为的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，圆心，
故该圆的标准方程为.
故选：C.
2. 已知向量，，点，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，
设点B的坐标为，则，所以点B的坐标为.
故选：A.
3. 零售业是指通过买卖形式将工农业生产者生产的产品直接售给居民作为生活消费用或售给社会集团供公共消费用的商品销售行业．2024年2月6日，中国商业联合会发布2月份中国零售业景气指数（CRPI），近12个月的中国零售业景气指数统计图如下：
统计图中每月零售业景气指数的中位数与第80百分位数分别是（ ）
A. 50.65% 50.4%B. 50.65% 51.1%
C. 50.8% 50.4%D. 50.8% 51.1%
【答案】D
【解析】将数据从小排到大:，，，，， ，，，，，，；
则每月零售业景气指数的中位数为，
因为共有12个数据，所以，根据百分位的概念可得每月零售业景气指数第80百分位数是；
故选：D
4. 的展开式中x的系数为（ ）
A. 30B. 40C. 70D. 80
【答案】C
【解析】展开式的通项，
令即，此时，
展开式的通项，
令，即，此时，
所以展开式中的系数为.
故选：C.
5. 已知数列的前项和为，则（ ）
A. 190B. 210C. 380D. 420
【答案】B
【解析】数列中，，，当时，，
两式相减得，即，
因此，显然数列是常数列，
而，解得，于是，因此，
所以.
故选：B
6. 已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】因为点到原点的距离为，
所以，解得，（负值舍），
将点代入抛物线方程，得，所以，
所以.

由于抛物线关于轴对称，不妨设，
因为，，
所以为等腰三角形，，
所以，
所以，
解得或(舍)，
所以.
故选：D.
7. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
所以由余弦定理可得，，
又因为，所以，
由正弦定理得，，
所以
，
又因为为锐角，所以，即，解得，
所以，所以，，
所以的取值范围为.
故选：B.
8. 如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得，
过作，交于，连接，取的中点，连接，

设，
①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为，
②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，，
因为，分别为，的中点，所以，，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，且
则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形
在中，，，，则，
在中，，，，则，
在中，，，，则，则
过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下;

则，，，，
设，则
所以，，因为，
化简可得：，则，
所以，
因为当，所以，则，
综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为
故选：A
二、多项选择题
9. 已知点在函数上，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B.
C. 函数的一条对称轴为直线
D. 函数在上单调递增
【答案】ABD
【解析】对于A，由于，
所以函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由于点在函数，则，
即，因为，所以，故B正确；
对于C，由B选项知，令，解得，
所以当 时，不是整数，即不是函数的一条对称轴，故C不正确；
对于D，令，解得：，当时，，则函数在上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹方程为
【答案】BCD
【解析】复数，,
对于A，，故A错误；
对于B，设，则，所以，则，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
由于，将问题转化为点与点距离的范围，
所以，，则，故B正确；
对于C，设，则，，
由于，则，化简可得：，即，
所以，
所以当时，，故C正确；
对于D，设，则，，
所以，即点到点与到点的距离之和为定值，
根据椭圆定义可得复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以焦点为与，长轴长为的椭圆，则其轨迹方程为，故D正确；
故选：BCD
11. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A. 函数的一个对称中心为
B.
C. 函数为周期函数，且一个周期为4
D.
【答案】ABD
【解析】对A：由函数为奇函数，故，
即，即，
故函数的一个对称中心为，故A正确；
对B：由，令，则，即，
由函数为偶函数，故，
即，令，则，故B正确；
对C：由函数的一个对称中心为，，则，
即，故函数不以的为周期，故C错误；
对D：由，令，有，
由，，故，故D正确.
三、填空题
12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由，可得，
由于，且，则，
所以，则实数的取值范围是，
故答案为：
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，的三个顶点都在上，且直线过原点，直线，斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为______，双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】根据题意可设，，，由于的三个顶点都在上，且直线过原点，则
所以，，则，
因为于的三个顶点都在上，所以①，②，则①②可得，所以，所以，
故双曲线的离心率为，双曲线的渐近线方程为
故答案为：；
14. 已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数，作出的图象如下：
由题得：，
当时，函数在上的最大值为，即，
要使，则，令，解得：，，，，
由图可得，要使函数在上的最大值为，且，
则，或，解得：
当时，
由图，在上最大值，在上最大值，
由，可得，即，
因为，所以不等式无解；
综上，实数的取值范围是,
故答案为：
四、解答题
15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．
解：（1）由题意可得，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2），故可设，，，
联立，消去可得，
，即，
，，
则
，
则当时，有最大值，且其最大值为.
16. 随着多元化的发展，大学校园中的少数民族学生日益增多为了迎接这些来自不同文化背景的新生，某高校举办了一场特别的少数民族学生（除汉族外）迎新活动，旨在促进不同民族学生间的交流与融合，同时展现学校对多元文化的尊重与包容．学生会统计了参加迎新活动的学生人数，得到相关数据如下：
（1）从参加活动的大一、大二学生中各随机抽取1名学生进行互动，求至少有一名学生为其他民族的概率；
（2）从参加活动的大一、大二壮族学生中随机抽取3名，记为抽取到的大一学生的人数，求的分布列和期望．
解：（1）设“从参加活动的大一学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族”，
“从参加活动的大二学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族”，
“从参加活动的大一、大二学生中各随机抽取1名学生，至少有一名学生为其他民族”，
则，，
则；
（2）由表可知参加活动的大一、大二壮族学生分别为人，人，
则的可能取值为，，，，
，
，
，
，
故其分布列为：
.
17. 如图，已知四棱柱的底面为菱形,，，，，E是棱上的点．
（1）求证：四棱柱为直棱柱；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：由该四棱柱底面为菱形，故，，
又，，、平面，
故平面，又平面，故，
由，则，又，
有，故，又，
、平面，故平面，
故四棱柱为直棱柱；
（2）解：取中点，连接，由，故，
又，则为等边三角形，
故，又，故，
又平面，、平面，
故，，故、、两两垂直，
故可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，
则，则，
设平面的法向量为，
则有，
取，则，，即，
又轴平面，故平面的法向量可为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的值；
（2）求证：．
（1）解：由题意，得，
由函数在上单调递增，得在上恒成立，
令，则，
当时，因为，所以恒成立，
则在上单调递增，又，所以恒大于等于0不成立.
当时，由得，
所以当，当，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
若恒成立，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，.
综上，若函数在上单调递增，则.
（2）证明：由（1）得，当时，恒成立，
即，当且仅当时等号成立，
令，则，
所以
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即，
所以，
所以 ，
故得证.
19. 从数据组中取出个不同的数构成一个新数据组：．若，，，使得，，则称数据组为数据组的一个k维基本数据库.
（1）判断数据组：是否为数据组：的一个2维基本数据库；
（2）判断数据组：是否为数据组：的一个3维基本数据库.
（3）若数据组是数据组的一个k维基本数据库，求证：.
（1）解：因为
，
所以数据组：是数据组：的一个2维基本数据库；
（2）解：因为等式，，对于均不可能成立，
所以数据组：不是数据组：的一个3维基本数据库；
（3）证明：不妨设，则形如的正整数共有k个；
形如的正整数共有k个；
形如的正整数至多有个；
形如的正整数至多有个；
又数据组含n个不同的正整数，数据组是数据组的一个k维基本数据库，
故，化简得.年级
回族
壮族
满族
蒙古族
其他民族
大一学生
73
6
7
5
7
大二学生
60
12
10
8
15