河南省名校2023-2024学年高三下学期高考模拟4月联考数学试题（原卷版+解析版）

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全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则（ ）
A 2B. 1C. D.
3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，椭圆的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知均为平面单位向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
8. 在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消防安全知识竞赛，已知该校高一、高二、高三三个年级的人数之比为1：2：3，根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为的部分考生成绩，并做出如图所示的频率分布直方图，成绩前的学生授予“安全标兵”称号，已知成绩落在区间的人数为24，则（ ）
A.
B. 估计样本中高三年级的人数为75
C. 估计安全知识竞赛考生的平均分为73
D. 估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号
10. 已知函数，，为的两个相邻的对称中心，则（ ）
A. 最小正周期为
B. 的最大值为1
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称
11. 已知函数的定义域为，，，则（ ）
A. B.
C. 的一个周期为3D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则__________．
13. 在正四棱台中，平面，，则正四棱台的体积为__________．
14. 已知双曲线左、右焦点分别为，焦距为，A，B为上的两点，，四边形的面积为，若的周长为，则的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列以及数学期望．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
17. 记，分别为数列，的前项和，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值．
18. 设为抛物线准线上的一个动点，过作的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线过定点；
（2）当直线斜率不为0时，直线交的准线于，设为线段的中点，求面积的最小值．
19. 已知函数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当时，证明：．