数学：湖北省恩施土家族苗族自治州来凤县2024年中考模拟试题（解析版）

这是一份数学：湖北省恩施土家族苗族自治州来凤县2024年中考模拟试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】∵，∴的倒数是2，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意，
故选：D．
3. 2023 年全国粮食总产量13908亿斤，比上年增加177.6亿斤，增长1.3%，连续9年稳定在1.3万亿斤以上．其中数据“13908亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】数据“13908亿”用科学记数法表示为，
故选：B．
4. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由x+1＞0，得x＞﹣1，
由2x﹣3≥1，得x≥2，
不等式组的解集是x≥2，
故选：D．
6. 下列说话正确的是（ ）
A. 检测某城市的空气质量，用全面调查
B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查
C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件
D. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件
【答案】B
【解析】A、检测某城市的空气质量，用抽样调查，原说法错误，不符合题意；
B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查，原说法正确，故符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件”，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
7. 将一块含有角的直角三角板按如图所示放置在两条平行线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，已知，过点作直线，
则，
则，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：C．
8. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，，∴这个多边形的边数为6．
故选C．
9. 如图，是的直径，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
10. 如图，抛物线的顶点坐标为．下列结论：
①；②；③关于的一元二次方程有两个不相等实数根；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论共有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向下，∴，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线的图像与轴的交点在原点上方，
∴，
∴，故结论①错误；
由图像可知：抛物线的图像与轴的一个交点在，之间，
∴当时，，即，
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
∵顶点坐标为，
∴函数最大值为，
∴抛物线有唯一的解，
∴当时，其图像与抛物线的图像有两个交点，
即关于的一元二次方程有两个不相等实数根，故结论③正确；
∵，且，
∴，
∵抛物线的图像关于对称且开口向下，当时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
∴，故结论④正确，
综上所述，结论正确的是②③④共个．
故选：C．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
11. 计算：__________．
【答案】
【解析】．
故答案为．
12. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________．
【答案】5
【解析】直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为：．
平移后经过，
．
故答案为：5．
13. 从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加2024年“龙凤双城”马拉松比赛，则恰好抽到乙、丙两人的概率为__________．
【答案】
【解析】画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中恰好抽到乙、丙两人有2种结果，
故恰好抽到乙、丙两人的概率为．
14. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．则合伙人数是_________人．
【答案】21
【解析】设合伙人数是x人，
由题意得，，解得，∴合伙人数是21人．
15. 如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为__________．
【答案】
【解析】过点A作于A，作于B，两线交于点O，连接，交于D，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，，
在中，，
∴，
∴，
∵点E边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧，
∴线段扫过的面积
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有9个小题，共75分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
解：原式．
17. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，且，，．求证：四边形是菱形．
证明：，，,
,
,
,
∴平行四边形是菱形．
18. 如图，焊接屋顶人字钢架，包括底角为的等腰三角形外框和高的支柱（D为底边中点），求上弦的长和共需钢材（结果取整数）．（参考数据：，，）
解∵在中， ，
，
∴m，
∵，
∴m，
∴共需钢材m.
19. 某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
解：（1）本次共调查的学生有（名；
故答案为：100；
（2）对应人数为（名，
补全条形图如下：

（3），
类活动对应扇形的圆心角为108度；
（4）（名，
答：估计该校最喜欢类活动的学生有600名．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段．C在反比例函数图像上，求反比例函数的解析式．
解：过点C作轴，交x轴于点D，
∴，
∵，，
∴，，
由旋转的性质，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴，
设反比例函数为，
把代入，
即可得：，
∴反比例函数为.
21. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
（1）证明：∵是的切线，是的半径．
∴，连接，
在与中，，
∴，
∴，
∵C为上的一点．
∴是切线；
（2）解：∵，
∴ ，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
22. 学校购买一批钢笔和笔记本奖励给名获奖学生，获得一等奖的学生奖励支钢笔，获得二等奖的学生奖励本笔记本，设获得一等奖的人数为（人）．已知购买支钢笔和本笔记本共元，购买支钢笔和本笔记本共元．
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
（2）购买钢笔超过支时，每增加支，单价降低元，若购买奖品的金额为元，求获一等奖的学生人数；
（3）当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额．
解：（1）设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元，
依题意，得：，解得：，
答：钢笔的单价为元，笔记本的单价为元；
（2）设获得一等奖人数为人，则获得二等奖人数为个，则钢笔的单价为元，
依题意，得：，
解得：，（舍去），
∴获得一等奖学生人数为人；
（3）设购买奖品的总金额为元，
则，
即，
∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为，
∵，为整数，
∴当，随的增加而减小，
∴当，有最小值为元，
∴一等奖人时，购买奖品的金额最少，最少金额为元．
23. 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
（1）填空：
①的度数为__________；
②线段，之间的数量关系为__________；
（2）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由．
解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴．
故答案为：，．
（2）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在和中，，
∴，
∴，，，
∴，
在等腰直角三角形中，为斜边上高，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）如图，
∵点到点的距离是，
∴点是以点为圆心，为半径的圆，
当、、三点在同一条直线上时，有最小值，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
此时时，的最小值为，
同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，
的最大值为：．
24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

（1）如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
（2）连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．
解：（1）①∵，
∴顶点的横坐标为1．
∴当时，，
∴点的坐标是．
设抛物线的函数表达式为，把代入，
得，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为，
即．
②如图1，过点作于点．

设直线为，把代入，得，解得，
∴直线为．
同理，直线为．
由解得∴．
∴．
∵，∴．
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．
①如图，当时，存在．
记，则．
∵为的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为6．

②如图2-2，当时，存在．
记．
∵为的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．∴点的横坐标为．

③如图2-3，当时，存在．记．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
④如图2-4，当时，存在．记．
∵，
∴．

∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
综上，点的横坐标为．