中考数学一轮复习综合测试函数验收卷(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习综合测试函数验收卷(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在函数，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
2．如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点C的位置是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2020秒瓢虫在（ ）处．
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22B．20C．18D．16
5．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
6．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．关于的方程无实数根
7．一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且三点共线．小王在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
9．定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图像上，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
11．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，已知反比例函数与二次函数的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴位于直线和之间
B．若，则或
C．当时，与均随的增大而增大
D．关于的方程的解为
13．对于题目“在平面直角坐标系中的位置如图所示，点若直线与有交点，求的取值范围．”甲的结果是，乙的结果是，则（ ）
A．甲的结果正确B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确
14．如图（1），在中，，动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图（2）是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象，其中点为曲线部分的最低点，若的面积是，则的值为（ ）．
A．18B．16C．20D．15
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是 _____．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为____________．
17．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，在该函数图象上，，其中正确结论有________．（填序号）
18．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则_______．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．已知与成正比例，当时，
(1)求与的函数表达式；
(2)当时，求函数值；
(3)当时，求自变量的值．
20．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字 ，，．现从甲袋中随机摸出一个小球，将标有的数字记录为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，将标有的数字记录为y，确定点M的坐标为．
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
(2)求点在一次函数的图像上的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知二次函数的图像经过点，，且当，时，．
(1)求b的值；
(2)若，也是该二次函数图像上的两个点，且，求实数m的取值范围；
(3)若点不在该二次函数的图像上，求c的取值范围．
23．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当时，求y与x的函数关系式．
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．已知直线：经过点，两点，且与直线交于点，
(1)求直线的解析式并求出点的坐标；
(2)求出直线、直线及轴所围成的三角形面积；
(3)现有一点在直线上，过点作轴交直线于点，若线段的长为4，求点的坐标．
25．有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图像，请结合图像，回答下列问题：
(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度为______米/分；
(2)已知线段轴，前3分钟甲机器人的速度不变．
①在3~4分钟的这段时间，甲机器人的速度为______米/分，F的坐标是______；
②在整个运动过程中，两机器人相距30m时x的值______．
26．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线：与抛物线交于，两点，与轴交于点．
(1)则点，，坐标分别为______、______、______；
(2)点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点．
①求的最大值及相应点的坐标；
②在①的条件下，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线，点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标写出求解过程．
综合测试 函数验收卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．在函数，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴且；
故选D．
【点睛】本题考查自变量的取值范围，熟练掌握被开方数大于等于0，分母不等于0，是解题的关键．
2．如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点C的位置是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意首先确定原点的位置，进而得出“宝藏”点C的位置．
【详解】解：根据两个标志点，可建立如下所示的坐标系：
由平面直角坐标系知，“宝藏”点C的位置是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2020秒瓢虫在（ ）处．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出瓢虫第1秒、第2秒、第3秒、第4秒、第5秒、第6秒、第7秒、第8秒、第9秒所在的位置坐标，根据其周期性，再求第2020秒瓢虫所在位置坐标即可．
【详解】解：根据题意可得，
第1秒瓢虫所在位置坐标为：，
第2秒瓢虫所在位置坐标为：，
第3秒瓢虫所在位置坐标为：，
第4秒瓢虫所在位置坐标为：，
第5秒瓢虫所在位置坐标为：，
第6秒瓢虫所在位置坐标为：，
第7秒瓢虫所在位置坐标为：，
第8秒瓢虫所在位置坐标为：，
第9秒瓢虫所在位置坐标为：，
，
瓢虫所在位置坐标具有周期性，
，
第2020秒瓢虫在处．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，通过求前面几秒瓢虫所在的位置坐标，观察其坐标的变化发现规律，再根据其周期性求值是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22B．20C．18D．16
【答案】B
【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论．
【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令，得，令，则，
∴，，
∴，
过A作交于F，过F作轴于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为：，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为：，
∴，
∴，
∴的面积是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出、的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何问题(一次函数的实际应用)及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．
6．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．关于的方程无实数根
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；时，，可对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断．
【详解】解：A．∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，故B不符合题意；
C．∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴时，，
即0，
∵，
∴，故C符合题意；
D．∵抛物线开口向下，顶点为，
∴函数有最大值n，
∴抛物线与直线无交点，
∴一元二次方程无实数根，即方程无实数根，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图像与性质，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
7．一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．
8．学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且三点共线．小王在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
9．定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据定义的新运算可得，根据反比例函数的性质即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
函数的图像为反比例函数的图像，
∵当时，，当，，
故选：D．
【点睛】本题考查函数的新定义和反比例函数的性质，解题的关键是根据题意写出函数的表达式．
10．如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图像上，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】作轴于，于，根据四边形是正方形，得到，由得到，从而可以证明，从而得到，设，根据边对应相等求出点的坐标，代入二次函数解析式即可求出的值．
【详解】解：如图所示，作轴于，于，
四边形是正方形，
，
，
，
，
（AAS），
，
设，
点的坐标分别是，，
，
解得，
，
点在抛物线的图像上，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、二次函数图象上点的坐标特点，得出点坐标是解题的关键．
11．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，过点和点分别作轴的垂线段和，先证明，则，易知，，由此可得，从而得到，求出的值即可．
【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图所示，
，
中点恰好落在轴上，
，
，
（AAS），
，
点在双曲线上，
，
点在双曲线上，且从图像得出，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是．
12．如图，已知反比例函数与二次函数的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴位于直线和之间
B．若，则或
C．当时，与均随的增大而增大
D．关于的方程的解为
【答案】B
【分析】把点P的纵坐标代入反比例函数解析式求出点P的坐标，再根据函数图象写出抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：A．∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
即，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴位于直线右侧，不可能位于直线和之间，故A错误；
B．由图象可知，当或，反比例函数的图象在二次函数的图象下方，
∴，则或，故B正确；
C．观察图象，当或时，在每个象限内随x的增大而增大，当时，随x的增大先减小，然后增大，故C错误；
D．关于的方程可变为，根据图象可知，的解为，
即关于的方程的解为，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．
13．对于题目“在平面直角坐标系中的位置如图所示，点若直线与有交点，求的取值范围．”甲的结果是，乙的结果是，则（ ）
A．甲的结果正确B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】先求出直线过三点时的值，进而可得出结论．
【详解】解：当直线过点时，，解得；
当直线过点时，，解得；
当直线过点时，，解得，
的取值范是或．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数的图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
14．如图（1），在中，，动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图（2）是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象，其中点为曲线部分的最低点，若的面积是，则的值为（ ）．
A．18B．16C．20D．15
【答案】A
【分析】先求出线段、的长，再求a的值．
【详解】过点A作于点H，
由函数图象可知
∵的面积是,
∴
∴
∵,
∴
∵
由勾股定理得：
∴
∵动点以的速度沿匀速运动回到点，
∴总时间为：
∴
故选A
【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是读懂函数图象反映出的信息并掌握勾股定理．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是 _____．
【答案】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：∵函数和的图象的交点的坐标为，
∴二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为____________．
【答案】或或
【分析】分当翻折之后的A落在的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标；
【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作．
设，
由题意可得，，，
∵与关于直线对称，
∴，，
在Rt中，，
∴．
在Rt中，，
∴，
即，
解得，
∴点D的坐标是．
②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，
，这时，，
可求出D点坐标为；
③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，
，在Rt中，
，
则，
Rt中，设，
利用勾股定理
得到，
解得
D点坐标为
故：D的坐标为或或．
【点睛】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．
17．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，在该函数图象上，，其中正确结论有________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】判断出的正负，可判断①；利用对称轴公式可得，，当时，，解不等式可判断②；由图象可知函数的最小值为，所以对于任意m都有，可判断③；由图象可知 ，可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
当时，，
∴，
∴，故②正确，
由图象可得，对于任意m都有，
即，
∴，
故③不正确；，
∵点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
∵点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握函数图像上点的特征，属于中考常考题型．
18．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则_______．
【答案】
【分析】根据，设，则，，可求出，对应的，，，可求出，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意，设，
∴，，，，
∴，，，，，
∴，，，，，┈，，
，，，，，┈，，
∴，，，，，┈，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．已知与成正比例，当时，
(1)求与的函数表达式；
(2)当时，求函数值；
(3)当时，求自变量的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正比例函数的定义得出的值，即可得出答案；
（2）将代入（1）中函数解析式进而得出答案；
（3）将代入（1）中函数解析式进而得出答案．
【详解】（1）解：∵与成正比例，
∴．
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴与的函数表达式为；
（2）当时，；
（3）当时，．
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键．
20．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字 ，，．现从甲袋中随机摸出一个小球，将标有的数字记录为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，将标有的数字记录为y，确定点M的坐标为．
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
(2)求点在一次函数的图像上的概率．
【答案】(1)见解析，点M的所有可能性为，，，，，，，，；
(2)
【分析】（1）根据题意用树状图列举出点M的所有可能性，即可得到答案；
（2）)根据（1）中的结果和一次函数的性质可以得到哪几个点在函数图像上，从而可以求相应的概率．
【详解】（1）解：由题意可得，
即点M的所有可能性为：，，，，，，，，；
（2）解：由（1）可知，
在一次函数的图像上点为，，
故点在一次函数的图像上的概率为，
．
【点睛】本题考查树状图法、一次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的慨率．
21．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
(2)在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点的坐标为或
【分析】（1）根据正方形的性质，求出点的坐标，再利用待定系数法从而即可求出反比例函数的表达式；
（2）设，则根据题意可得，求出的值即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：，
，且轴，
四边形为正方形，
轴，且，
反比例函数的图象经过点，
，
解得，
即反比例函数的表达式为；
（2）解：根据题意，得，，
设，则，解得，
当时，，
此时，
当时，，此时，
综上可知，在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，正方形的性质是解题的关键．
22．已知二次函数的图像经过点，，且当，时，．
(1)求b的值；
(2)若，也是该二次函数图像上的两个点，且，求实数m的取值范围；
(3)若点不在该二次函数的图像上，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，列式求出b；
（2）将点P、Q代入函数解析式得到不等式，由此得到m的取值范围；
（3）根据点不在该二次函数的图像上可得抛物线与直线没有交点，即方程没有实数根，根据判别式列得，由此求出c的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图像经过点，，且当，时，，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得；
（2）解：由（1）的，，
∵，也是该二次函数图像上的两个点，且，
∴，
解得；
（3）解：由题意得，
∵点不在该二次函数的图像上，
∴抛物线与直线没有交点，
即方程没有实数根，
整理得，
，
解得，
故c的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数图像上点的特征，二次函数的对称性，函数图像的交点问题，掌握函数图像的交点个数就是函数对应的方程根的个数是关键．
23．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当时，求y与x的函数关系式．
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)，其中
(2)280件
(3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）首先可判断出购买的数量小于400而大于200，则由数量单价=付款额，列出关于x的一元二次方程即可求解；
（3）分及两种情况分别计算所获的最大利润，再比较即可．
【详解】（1）解：由图知，当时，线段过点及，
设过这两点的线段解析式为：，
则有：，
解得：，
即，其中；
（2）解：由图知，当x=200时，所付款为：（元），当x=400时，所付款为：（元），而，则购买数量位于200与400之间；
由题意得：，
即，
解得：，（舍去），
即此次批发量为280件；
（3）解：当时，
即，
当时，w有最大值，且最大值为3125；
当时，批发价固定，批发量越大，则利润越大，则当时，利润最大，且最大利润为：（元）
由于，
所以当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
【点睛】本题是函数与方程的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系式是关键，注意数形结合．
24．已知直线：经过点，两点，且与直线交于点，
(1)求直线的解析式并求出点的坐标；
(2)求出直线、直线及轴所围成的三角形面积；
(3)现有一点在直线上，过点作轴交直线于点，若线段的长为4，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）把分别代入，即可得出直线AB的解析式；联立两个函数解析式，再解方程组即可求出点C的坐标
（2）求出直线与轴的交点，直线与轴的交点，利用三角形面积公式即可求出答案；
（3）设，分当时及当时，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把分别代入得：
；解得：，
所以直线解析式为；
联立得：，
解得：，
所以点坐标为；
（2）解：对于，
当时，，
∴直线交轴于，
∵直线交轴于，
∴，
所以直线、直线及轴所围成的三角形面积为；
（3）解：设，则，
当时，如图，
， 解得：，
∴点坐标为；
当时，如图，
，解得：，
∴点坐标为；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求出直线的解析式．
25．有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图像，请结合图像，回答下列问题：
(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度为______米/分；
(2)已知线段轴，前3分钟甲机器人的速度不变．
①在3~4分钟的这段时间，甲机器人的速度为______米/分，F的坐标是______；
②在整个运动过程中，两机器人相距30m时x的值______．
【答案】(1)，；
(2)①，；②
【分析】（1）结合图像可得A、B两点的距离和甲机器人前2分钟的速度；
（2）①根据，乙机器人始终以米/分钟的速度行走，然后再根据追击问题求出F的纵坐标即可解答；②分情况讨论，当时，，当时，，当时，设甲、乙两机器人之间的距离y米与他们的行走时间x分钟之间函数解析式为，将点和点代入，计算即可得函数解析式为，令可得求解即可．
【详解】（1）解：由图像可知，A、B两点之间的距离是米，
甲机器人前2分钟的速度为：（米/分），
故答案为：，；
（2）解：①∵，乙机器人始终以米/分钟的速度行走，
∴甲、乙机器人的速度都是米/分钟；
∵，
∴点F的坐标为，
故答案为：，
②当时，，解得，，
当时，，解得：，
当时，设甲、乙两机器人之间的距离y米与他们的行走时间x分钟之间函数解析式为，
将点和点代入，得
解得，，
即函数解析式为，
令，得，，
即两机器人出发分钟，分钟，分钟时相距30米．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用、一元一次方程的应用、一次函数的图像与性质等知识点，理解题意、掌握数形结合思想是解答本题的关键．
26．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线：与抛物线交于，两点，与轴交于点．
(1)则点，，坐标分别为______、______、______；
(2)点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点．
①求的最大值及相应点的坐标；
②在①的条件下，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线，点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标写出求解过程．
【答案】(1)，，
(2)①的最大值为，此时点P的坐标为；②或或
【分析】（1）分别令，，即可求解；
（2）①设点P的坐标为，则点Q的坐标为，可得，然后分两种情况：当点P在y轴右侧时，，当点P在y轴左侧时，，结合二次函数的性质，即可求解；②分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，，当时，
解得：，
∴点，；
故答案为：，，
（2）解：①设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
当点P在y轴右侧时，，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为；
当点P在y轴左侧时，，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为；
综上所述，的最大值为，此时点P的坐标为；
②∵将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
∵点为对称轴上一点，
∴点M的横坐标为2，
设点M的坐标为，点N的坐标为，
当为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．