中考数学一轮复习7.3图形的变化验收卷(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习7.3图形的变化验收卷(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了3 图形的变化验收卷等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千的小朋友B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯D．行驶的自行车后轮
2．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）在美术字中，有些汉字或字母是轴对称图形或中心对称图形．下列汉字或字母不是轴对称图形而是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为2米时耕地面积为多少平方米？（ ）
A．504B．540C．560D．600
5．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将矩形绕O按顺时针方向旋转α度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（ ）
A．18°B．54°C．60°D．72°
8．（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如上图，和是全等的等腰直角三角形，，，与在直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止，设与的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则与之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023春·重庆渝北·八年级为明学校校考阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接．把沿翻折得到，且于点，且，连接，则点到的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
10．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，这个几何体的主视图的面积为______．
12．（2023春·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，直角三角形从点出发沿着方向匀速平移得到三角形，当点平移至点时停止运动．若cm，当点恰好是线段三等分点时，四边形的面积为20，那么平移的距离是________cm．
13．（2023年新疆喀什地区九年级初中学业水平考试模拟（一）数学试题）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是，则______．
14．（2022秋·山西长治·八年级统考期末）如图，某同学拿着含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到，连结，与AC相交于点O．已知，则OC的长为__________．
15．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折、再向右平移2个单位长度，这个过程称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点A的坐标是，将经过第1次变换得到，再连续进行99次这样的变换，则点A的对应点的坐标是 _____，的坐标是 _____．
【答案】
16．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一点，于点F，于点G，连接，则的最小值为______________．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·全国·九年级专题练习）如图，有甲、乙两幢办公楼，两幢楼都为10层，由地面向上依次为1层至10层，每层的高度均为，两楼之间的距离为．为了了解太阳光与水平线的夹角为时，甲楼对乙楼采光的影响情况，请你求出甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第几层．
18．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）如图，在小正方形边长为1的方格纸内将向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、．
(1)在图中画出平移后的；
(2)与的关系是______；
(3)的面积为______；
(4)能使的格点（点除外）共有______个．
19．（2023秋·黑龙江佳木斯·九年级校联考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点坐标为．
(1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．
(2)把绕原点逆时针旋转得到，画出．并写出点的坐标．
(3)计算(2)中点旋转到所走过的路径长．
20．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在平整的地面上，用若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图1所示．
(1)现已给出这个几何体的俯视图（图2），请你画出这个几何体的主视图与左视图；
(2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和左视图不变，
①在图1所示的几何体上最多可以再添加___________个小正方体；
②在图1所示的几何体中最多可以拿走___________个小正方体；
21．（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，中，对角线与相交于点E，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的落点记为，连接．
(1)求的长；
(2)直接写出的面积，______．
22．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
23．（2023·河南周口·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在中，，点P是直线 上一动点．
操作：连接，将线段绕点P逆时针旋转90°得到，连接，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形的形状是 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若，请直接写出的长．
7.3 图形的变化验收卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千的小朋友B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯D．行驶的自行车后轮
【答案】C
【分析】利用平移的定义进行判断即可．
【详解】A. 荡秋千的小朋友是旋转，不符合题意；
B. 转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意；
C. 正在上升的电梯是平移，符合题意；
D. 行驶的自行车后轮是旋转，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平移的定义，熟记平移的定义是解题的关键．
2．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】A. 影子方向不同，故错误；
B. 影子未与树相连，故错误；
C. 满足影子的要求，故正确；
D. 影子方向不同，故错误．
故选：C
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
3．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）在美术字中，有些汉字或字母是轴对称图形或中心对称图形．下列汉字或字母不是轴对称图形而是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，分别判断即可．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2023春·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为2米时耕地面积为多少平方米？（ ）
A．504B．540C．560D．600
【答案】A
【分析】将“之”字路的水平线平移到上面，竖直线平移到左面，余下部分是一个长方形，得出长和宽即可．
【详解】平移后得耕地长为米，宽为米，
∴面积为平方米，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用平移的性质将耕地部分组成一个矩形是解题的关键．
5．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
6．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将矩形绕O按顺时针方向旋转α度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点Q作于H，连接，构造直角三角形，首先根据三角形的面积即可证得，设，则，，再运用勾股定理求得的长，据此即可求解．
【详解】解：，
∴点P在点B的右侧，
如图，过点Q作于H，连接，则，
，，
，
设，
，，
，，
在中，根据勾股定理知，，
即，
解得，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解是解决本题的关键．
7．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（ ）
A．18°B．54°C．60°D．72°
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得，，则，，根据折叠的性质得：，，，根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得出，根据角的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，点M是边的中点，
∴，，
∴，，
根据折叠的性质得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8．（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如上图，和是全等的等腰直角三角形，，，与在直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止，设与的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则与之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据和是全等的等腰直角三角形，得出与的重叠部分也是等腰直角三角形，再根据当沿直线自点向右平移到点，即时，与的重叠部分的面积，即可得出答案．
【详解】解：和是全等的等腰直角三角形，
与的重叠部分也是等腰直角三角形，
当沿直线自点向右平移到点，即时，
与的重叠部分的面积，
当时，与的重叠部分的面积，
则与之间的函数图象大致是C．
故选：C．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是等腰直角三角形的性质及面积的求法、二次函数的图象，关键是根据题意求出与之间的函数关系式，要注意的取值范围．
9．（2023春·重庆渝北·八年级为明学校校考阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接．把沿翻折得到，且于点，且，连接，则点到的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】C
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质及勾股定理可计算出、的长，根据等面积法可计算出的长，再由翻折的性质可得，在中，可计算出的长，即可得到的长，再在中应用等面积法即可得到答案．
【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
在中，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
，
∴，
由翻折可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
∴，，
设点到的距离为，
∵，
∴，
解得：，
∴点到的距离为2．
故选：C
【点睛】本题主要考查的等腰三角形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识点，熟练掌握相关只是说是解题的关键．
10．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱的高为6，，，，根据锐角三角函数的定义，线段的和差，三角形的面积分别对各个结论进行判断即可．
【详解】解：如图，作，
由题意可知，这个三棱柱的高为6，，，．
，，
，
，，
，即，故选项B结论不正确，不符合题意；
∴，故选项A结论不正确，不符合题意；
∴，
在中，，
因此选项C结论正确，符合题意；
俯视图三角形的底边为7，高为1，
所以，
因此选项D结论不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，涉及到了三角函数的知识，其中理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，这个几何体的主视图的面积为______．
【答案】4
【分析】根据主视图是从正面看到的图形求解即可．
【详解】从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形，从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
12．（2023春·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，直角三角形从点出发沿着方向匀速平移得到三角形，当点平移至点时停止运动．若cm，当点恰好是线段三等分点时，四边形的面积为20，那么平移的距离是________cm．
【答案】4或5##5或4
【分析】利用平移的性质得到平移的距离为，，，则，讨论：当时，，利用梯形面积公式得到，当时，，利用梯形面积公式得到，然后分别求出即可．
【详解】解：直角三角形从点出发沿着方向匀速平移得到三角形，
平移的距离为，，，
，
当时，，则，解得；
当时，，则，解得；
综上所述，平移的距离为4或5．
故答案为4或5
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
13．（2023年新疆喀什地区九年级初中学业水平考试模拟（一）数学试题）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是，则______．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标变换规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握关于轴对称的点的坐标变换规律是解题关键．
14．（2022秋·山西长治·八年级统考期末）如图，某同学拿着含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到，连结，与AC相交于点O．已知，则OC的长为__________．
【答案】2
【分析】连接，由题意可得为等边三角形，，再根据，，得到垂直平分，即可解得．
【详解】如图，连接，
∵含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
15．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折、再向右平移2个单位长度，这个过程称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点A的坐标是，将经过第1次变换得到，再连续进行99次这样的变换，则点A的对应点的坐标是 _____，的坐标是 _____．
【答案】
【分析】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数，经过99次对称，99次平移相当于将点A关于x轴对称一次，向右平移99次，从而可得出答案．
【详解】由题意得，点A经过99次变换后，位于x轴上方，故纵坐标为，
经过99次变换后，点A向右平移了198个单位，故横坐标为196，
故点的坐标为．
点A经过100次变换后，位于x轴下方，故纵坐标为，点A向右平移了200个单位，故横坐标为198，
的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对称及平移变换，解答本题的特点关键是观察出变换的规律，经过对称后，只需判断点A位于x轴上方还是x轴下方，得出纵坐标，再由平移的长度判断横坐标．
16．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一点，于点F，于点G，连接，则的最小值为______________．
【答案】
【分析】连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，过点作，交于点，交于点，先证明四边形是矩形，得到，推出，即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求出，，然后证明，利用对应边成比例求出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，
由对称的性质可知，，，
过点作，交于点，交于点，
四边形是矩形，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了垂线段最短，对称的性质，矩形的判定个性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键利是用对称的性质将转化为．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·全国·九年级专题练习）如图，有甲、乙两幢办公楼，两幢楼都为10层，由地面向上依次为1层至10层，每层的高度均为，两楼之间的距离为．为了了解太阳光与水平线的夹角为时，甲楼对乙楼采光的影响情况，请你求出甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第几层．
【答案】第五层
【分析】过点E作，垂足为点F，设，求出，，利用勾股定理列出方程，求出，结合层高可得结果．
【详解】解：过点E作，垂足为点F，
由题意可得：，
∴四边形为矩形，
∴，
∵太阳光与水平线的夹角为，
∴，
∵楼为30层，层高为，
∴，
设，则，
∴在中，．
∵，
∴．
由勾股定理得，，
∴．
解得 或（不合题意，舍去）
∵，
∴甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第五层．
【点睛】本题是平行投影在实际生活中的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
18．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）如图，在小正方形边长为1的方格纸内将向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、．
(1)在图中画出平移后的；
(2)与的关系是______；
(3)的面积为______；
(4)能使的格点（点除外）共有______个．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)8
(4)4
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）利用平移的性质求解即可；
（3）利用割补法求解即可；
（4）利用同底等高，作平行线即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由平移的性质可知，
故答案为：；
（3）解：；
（4）解：如图，满足条件的点有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积，平行线间间距相等，解题的关键是熟知平移变换的性质，学会利用等高模型解决面积问题．
19．（2023秋·黑龙江佳木斯·九年级校联考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点坐标为．
(1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．
(2)把绕原点逆时针旋转得到，画出．并写出点的坐标．
(3)计算(2)中点旋转到所走过的路径长．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)
【分析】（1）根据中心对称的性质找到的对应点，然后顺次连接即可求解；
（2）根据旋转的性质找到的对应点，然后顺次连接即可求解；
（3）勾股定理求得的长，然后根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）解：如图所示，即为所求，
（3）， 点C所走的路径长=，
【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，坐标与图形，求弧长，掌握中心对称与旋转的性质是解题的关键．
20．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在平整的地面上，用若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图1所示．
(1)现已给出这个几何体的俯视图（图2），请你画出这个几何体的主视图与左视图；
(2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和左视图不变，
①在图1所示的几何体上最多可以再添加___________个小正方体；
②在图1所示的几何体中最多可以拿走___________个小正方体；
【答案】(1)见解析
(2)①3；②1
【分析】（1）根据从正面，左面所看到的该组合体的图形画出左视图和左视图即可；
（2）①在几何体的相应位置增加小正方体，直至主视图和左视图不变；
②在几何体的相应位置上减少小正方体，至主视图和左视图不变．
【详解】（1）解：这个几何体的主视图与左视图，如图所示：
（2）解：①在图1所示的几何体上最多可以再添加3个小正方体，使俯视图变为如下图所示的形状，
故答案为：3；
②在图1所示的几何体中最多可以拿走1个小正方体，使俯视图变为如图所示的形状，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，掌握简答组合体的三视图的画法是解题的关键．
21．（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，中，对角线与相交于点E，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的落点记为，连接．
(1)求的长；
(2)直接写出的面积，______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，连接，根据折叠的性质知，，，根据等腰直角三角形的性质得出，证明垂直平分，即可得出答案；
（2）证明，得出，根据，求出即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
如图2，连接，根据折叠的性质知，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，，
∴垂直平分，
∴．
（2）解：根据解析（1）可知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质．
22．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数表达式为．
(2)或
(3)
【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值．
（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可．
（3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
，
，
结合图形，可得，
将代入得，
反比例函数的表达式为．
把代入反比例函数得，
，
将和代入解得：，，
一次函数表达式为．
（2）由图象可以看出的解集为或．
（3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大．
，
，
设直线的关系式为，将，代入，
解得，，
直线的关系式为，
当时，解得，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．
23．（2023·河南周口·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在中，，点P是直线 上一动点．
操作：连接，将线段绕点P逆时针旋转90°得到，连接，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形的形状是 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若，请直接写出的长．
【答案】（1）正方形；（2）①四边形是平行四边形，理由见解析；②猜想：DC⊥BC，证明见解析；（3）
【分析】（1）由旋转的性质可得，进而得到，由此即可证明四边形是正方形；
（2）①由旋转的性质可得，分别证明，，即可证明四边形是平行四边形；②如图所示，过点P作交于点E，连接，则，证明，得到，推出，再证明四边形是矩形，得到，则；
（3）分如图3，当点P在线段上时，过点P作交延长线于点E，连接，如图4，当点P在延长线上时，过点P作交延长线于点E，连接，两种情况利用矩形的性质进行求解即可．
【详解】解：（1）∵将线段绕点P逆时针旋转90°得到，点P与点A重合，
∴，
∴，
．∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是正方形；
故答案为：正方形；
（2）①四边形是平行四边形，理由如下：
将线段绕点P逆时针旋转90°得到，点P与C重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②猜想：，证明如下：
如图所示，过点P作交于点E，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点P逆时针旋转90°得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）如图3，当点P在线段上时，过点P作交延长线于点E，连接，
由（2）可知是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴，
∴
∴；
如图4，当点P在延长线上时，过点P作交延长线于点E，连接，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．