江苏省淮安市启英外国语实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．根据概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≥1B. x≤1C. x＞1D. x≠1
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴x≥1，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
3. 为了解某校3000名学生的体重情况，随机抽取了100名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（ ）
A. 这100名学生是总体的一个样本B. 每个学生是个体
C. 这3000名学生体重的全体是总体D. 样本容量是100名学生
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、这100名学生的体重是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意；
B、每个学生的体重是个体，原说法错误，不符合题意；
C、这3000名学生体重的全体是总体，原说法正确，符合题意；
D、样本容量是100，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
4. 不透明的袋子中装有2个黑球、1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A. 摸出两个白球B. 摸出一个白球和一个黑球
C. 至少摸出一个黑球D. 摸出两个黑球
【答案】C
【解析】
【分析】对各个事件逐项分析即可作出判断．
【详解】解：A、摸出两个白球，这是不可能事件；
B、摸出一个白球和一个黑球，是随机事件；
C、至少摸出一个黑球，是必然事件；
D、摸出两个黑球，是随机事件；
故选：C．
【点睛】本题考查了事件，事件分为不可能事件、随机事件及必然事件，正确判断各个事件是关键．
5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边对边平行得到，则由平行线的性质得到，进而得到，据此求出，即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. 将分式中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的3倍C. 扩大为原来的9倍D. 缩小到原来的
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的x、y分别用替换，然后约分即可得到答案．
【详解】解：将分式中的x、y都扩大为原来的3倍后分式变为，
∴分式的值扩大为原来的3倍，
故选：B．
7. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则旋转角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得，结合绕着点A顺时针旋转到的位置，得到，，利用三角形内角和定理解答即可．本题考查了旋转的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形外角性质是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
∵绕着点A顺时针旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
故选：Ｃ．
8. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，则代数式的值为（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】可求，，，即可求解．
【详解】解：函数（）与的图像交于点，
，，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，整体代换法，分式加减运算，掌握求法是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式，
故答案为1
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
10. 已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、第四象限，
，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．
11. 为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，下图表示的是A产品的部分质检数据：
估计该厂生产的A产品合格的概率是______．（结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可．
【详解】解：在大量重复试验的情况下，频率的稳定值作为概率的估计值，即次数越多，频率越接近于概率，则这种幼树移植成活的概率约为
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比及运用样本数据去估计总体数据的基本解题思想．
12. 在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是______．（填序号）
【答案】④
【解析】
【分析】根据题意逐项分析判段即可求解．
【详解】解：在一副扑克牌中，有54张纸牌，有4种花色，2种颜色，“黑桃”有1个，“”有4个，
则①抽到“红桃”的概率为；②抽到“黑桃”的概率为；③抽到“”的概率是；④抽到“红色的”概率为，
则事件发生的可能性最大的是④，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性大小，理解题意是解题的关键．
13. 如图，在菱形ABCD中，已知BD＝8，AC＝6，则菱形ABCD的边长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，
∴菱形ABCD的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．
14. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键．
【详解】将方程去分母得到：
，
整理，得，
∵分式会产生增根，
∴
解得，
当时，，
解得；
故答案为：．
15. 如图，点在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于__________．

【答案】1
【解析】
【分析】延长交轴于，连接、，可求，，即可求解．
【详解】解：如图，延长交轴于，连接、，

轴，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，结合点G为的中点， F为的中点，得到，，从而把的最小值转化为即得最小值问题，利用轴对称最短路径问题，勾股定理解答即可．
本题考查中位线定理，矩形的性质，轴对称最短路径问题(将军饮马问题)，勾股定理等知识，掌握中位线定理和将军饮马模型是解题的关键．
【详解】连接，
∵点G为的中点， F为的中点，
∴，，
∴，
作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M，
∵，，
∴当P与M重合时，取得最小值，
∵矩形中，，，点E在上且．
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17 解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【小问1详解】
∵,
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验，当时，，
故是原方程的根．
【小问2详解】
∵，
即，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
系数化为1，得
检验，当时，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程无解．
18. 先化简，再求值： ，从中任选一个代入求值．
【答案】；当时，原式
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，，
故，，
当时，
原始．
19. 第19届亚运会在2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会赛事项目共有4个大类，分别是竞技性比赛、球类比赛、对抗性比赛和水上比赛．某体育爱好小组的同学想了解该校学生最喜爱的赛事项目，且只能选择一项．随机抽取了部分学生进行调查并统计结果，绘制了如下尚不完整的扇形统计图和条形统计图．
（1）本次调查的样本容量为______，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“球类比赛”所对应扇形的圆心角为______；
（3）若该校共有2400名学生，请估计该校最喜爱“水上比赛”的女生人数．
【答案】（1）300，统计图见解析
（2）
（3）400
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体：
（1）用竞技性比赛的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，即可求出样本容量，再求出对抗性比赛的男生人数后补全统计图即可；
（2）用360度乘以样本中“球类比赛”的人数占比即可得到答案；
（3）用2400乘以样本中水上比赛女生的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数（人），即样本容量为300；
喜欢“对抗性比赛”的男生人数为人．
补全统计图如下，
【小问2详解】
解：扇形统计图中，“球类比赛”所对应扇形的圆心角为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：人，
∴估计该校最喜爱“水上比赛”的女生人数为400人．
20. 如图，在中，，分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据分别是、的中点，得到，结合得到，故，根据证明得到即可得证．
本题考查了菱形的判定定理，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握联系判定定理，三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】证明：∵分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
21. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能）
（2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为多少？
【答案】（1）必然 （2）9个
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，事件的分类：
（1）根据 题意可知，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件；
（2）根据题意可知抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，据此求出红色球和黄色球的数量，进而求出白色球数量；
（3）用红色球数量除以球的总数即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵只有三个小球，每个小球都对应着相应的奖级，
∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件，
故答案为：必然；
小问2详解】
解：∵平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，
∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，
∴红色球和黄色球分别有个，个，
∴估算袋中白球的数量为个；
【小问3详解】
解：，
∴如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖的概率为．
22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．

（1）若，求与的值；
（2）关于的不等式的解集为______；
（3）连接，，若的面积为12，则的值为______．
【答案】（1），
（2）或
（3）9
【解析】
【分析】（1）将代入即可得出结果；
（2）根据函数图象得出结论；
（3）先求出，再得到，运用等面积的方法便可求出的值.
【小问1详解】
解：当时，
将代入得，解得，
∴反比例函数的表达式为．
将代入得．
∴，.
【小问2详解】
解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，
∴由图象可知，或，
∴关于的不等式的解集为或.
【小问3详解】
解：∵点，比例函数上，
∴，即，
∴，
又∵点，在一次函数上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为，
设一次函数与轴交于点，

∴在中，当时，，
∴，即
∵的面积为12，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的知识，掌握性质是解题的关键.
23. 如图，在正方形中，E是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹）
（1）如图1，作正方形一条对称轴，且该对称轴与平行．
（2）如图2，在上找一点F，使得．
【答案】（1）见详解．
（2）见详解．
【解析】
【分析】（1）连接交于O，连接交于点F，则是正方形的对称轴；
（2）连接交于O，连接交于点N，连接交于点M，延长交的延长线于点G，连接并延长交于点F，则．
【小问1详解】
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴F是的中点，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，解题的关键是熟悉正方形的性质的知识．
24. 如图的《千里江山图》是中国十大传世名画之一在我市润州段的长江江堤上，《千里江山图》以壁画的形式悄然出现挡浪墙上，它的局部画面是一个长为米，宽为米的矩形，在其四周装上宽度相等的木质边衬，整幅外框矩形的宽与长之比即 ，那么请问边衬的宽度为多少米？
【答案】米
【解析】
【分析】设边衬的宽度为x米，根据题意，得，，结合，建立分式方程解答即可．
本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】设边衬的宽度为x米，
根据题意，得，，
∵，
∴．
解得，
经检验，是原方程的根．
答：边衬的宽度为米．
25. 综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：
如图1，在和中，，，，连接，，延长BE交于点D．则与的数量关系： ， ．
（2）类比探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）实践应用：
如图3，正方形中，，M点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P，则线段最大值为 ．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰直角三角形的性质，结合图形解答．
（3）先证明点P，C，D，B四点共圆，得到，连接，确定点P在以为直径的圆上，设的中点为点O，连接，计算，，结合，得到点M，O，P三点共线时，取得最大值，计算最大值为．
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；．
【小问2详解】
线段，，之间的数量关系是，理由如下：
如图，设、的交点为N，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，， 为中边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵正方形，且正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P，C，D，B四点共圆，
∴，
连接，
∴点P在以为直径的圆上，
设的中点为点O，连接，
∵，M点为线段中点，
∴，，
∴，
∵，
∴点M，O，P三点共线时，取得最大值，
且最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，三角形不等式等知识，熟练掌握全等三角形的判定，勾股定理，中位线定理是解题的关键．