江苏省盐城市盐城经济技术开发区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2. 若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 缩小6倍D. 不变
【答案】B
【解析】
【分析】按照题意将原式中的字母都扩大3倍，再化简，即可得出结论．
【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得：
，
结果缩小3倍，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
4. 在平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则．
【详解】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选；D．
5. 对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】A
【解析】
【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．
【详解】解：，
∵x为非正整数，分式的结果正整数，
∴x取值为，0，
∴x的个数有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键．
6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为（ ）

A. 20°B. 25°C. 27°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据菱形的性质得，则利用得到，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用等角的余角相等即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴为的斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连结，则的长是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接，由题意得：，，得到为等边三角形，根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案．
【详解】解：如图，连接，
由题意得：，，
∴为等边三角形，
∴，；
∵，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定，准确把握旋转的性质是解题的关键．
8. 若分式的值为0，则x为（ ）
A. -1B. 2或-1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式为零的条件为A=0且B≠0求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴x－2=0且x+1≠0，
∴x=2，
故选：D．
【点睛】本题考查分式为零的条件，熟知分式为零的等价条件是解答的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
9. 若点在反比例函数图象上，则代数式____________．
【答案】
【解析】
【分析】由点A在反比例函数图象上，即可得出的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值．
10. 当x_____时，分式有意义.
【答案】≠2
【解析】
【详解】试题解析：根据分式有意义的条件知：x-2≠0,
解得：x≠2.
故答案为≠2.
11. 分式和的最简公分母是 ______．
【答案】x（x-2）
【解析】
【分析】将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母，据此解答．
【详解】解：第一分式分母为x-2，第二个分式的分母分解因式为x（x-2），
∴最简公分母是x（x-2），
故答案为：x（x-2）．
【点睛】此题考查了分式的最简公分母，掌握分式最简公分母确定的方法是解题的关键．
12. 某中学为了了解本校2 000名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取100名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是_________.
【答案】100
【解析】
【分析】找到样本，根据样本容量的定义解答．
【详解】解：样本是在全校范围内随机抽取的100名学生的运动服尺码，
故样本容量为100．
故答案为100．
13. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有_____个白球．
【答案】3
【解析】
【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
【详解】由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%，
这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个），
故答案为3.
【点睛】本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．
14. 若分式方程有正数解，则的取值范围是_______．
【答案】k＜6
【解析】
【分析】解分式方程得x=-k+6，根据分式方程有正数解，得-k+6＞0，解此不等式即可．
【详解】解： ，
解得，x=-k+6
∵分式方程有正数解，
∴-k+6＞0，
∴k＜6
故答案为：k＜6
【点睛】本题考查了分式方程的正数解求字母系数的取值范围，涉及到解分式方程和不等式．
15. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点O，其周长为16，且的周长比的周长小2，则的长为______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形对边相等可得，根据的周长比的周长小2可得，再解即可．
【详解】解：∵的对角线相交于点O，其周长为16，
∴，
∴①；
∵的周长比的周长小2，
∴，
∴②，
①+②得：，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，解决此题的关键是掌握平行四边形两组对边分别相等，对角线互相平分．
16. 在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2，4）、（-5，2），点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标的所有可能的值是_____．
【答案】-7，-3，3
【解析】
【分析】根据“一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”，画出图形，得出点M的横坐标即可．
【详解】解：如图所示：
当AB平行且等于N1M1时，四边形ABM1N1是平行四边形；
当AB平行且等于N2M2时，四边形ABN2M2平行四边形；
当AB为对角线时，四边形AN3BM3是平行四边形．
故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为-7，-3，3．
故答案为：-7，-3，3．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质；结合AB的长分别确定M，N的位置是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）a﹣1 （2）1
【解析】
【分析】（1）直接利用分式的减法运算的法则进行求解，再化简即可；
（2）先通分，把除法转为乘法，再约分即可．
【小问1详解】
解：
＝
＝
＝a﹣1
【小问2详解】
解：
＝
＝1
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18. 先化简，再求值：，请从0，2，5，6这四个整数中选一个适当数作为x的值代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x，代入计算即可．
【详解】解：
．
要使原代数式有意义，分母和除式里的除数都不为0，x只能取5，
当时，原式．
【点睛】本题考查了运用分式的混合运算法则化简求值，确保分母和除式里的除数都不为0是解题关键．
19. 在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．泰州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
月消费额分组统计表
（1）A组的频数是 ，本次调查样本的容量是 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有3000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？
【答案】（1）2；50
（2）见解析 （3）2280户
【解析】
【分析】（1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1:5，即两组的频数的比是1:5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数，即样本容量；
（2）利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图；
（3）利用总数3000乘以对应的百分比即可．
【小问1详解】
A组的频数是：10÷5=2
调查样本的容量是：（2+10）÷（1－40%－28%－8%）=50
故答案为：2；50．
【小问2详解】
A组的频数是：2
C组的频数是：50×40%=20，
D组的频数是：50×28%=14，
E组的频数是：50×8%=4，
补全直方图如图．
【小问3详解】
∵3000×（40%+28%+8%）=2280，
答：估计月信息消费额不少于200元的户数是2280户．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频率分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，再由线段中点的定义证明，即可证明四边形是平行四边形，则．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
21. 在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率．
（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
【答案】（1），；（2）2个和5个
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可求出摸出的球是红球和黄球的概率；
（2）设放入红球x个，则黄球为（7-x）个，由摸出两种球的概率相同建立方程，解方程即可求出7个球中红球和黄球的数量分别是多少．
详解】解:（）∵袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同
∴摸出每一球的可能性相同
∴摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是
（）设放入红球个,则黄球为个,由题意列方程得:
，解得，
∴这个球中红球和黄球的数量分别应是2个和5个.
【点睛】本题考查的是求随机事件的概率，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示:
（1）画出关于原点对称的,并写出点的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的．
【答案】（1）画图见解析;
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点坐标求法,画旋转图形．
（1）根据题意知,,,关于原点对称点坐标均互为相反数,先求出,,,最后连接三点即是所得图形及点的坐标；
（2）先求出点绕点旋转后的点,同理求出,最后连接三个点即可得到.
小问1详解】
解:∵,,,
∴关于原点对称的点为:,,,
将三点连接,如下图所示:
,
∴；
【小问2详解】
解:∵,,,
∴将三点绕点B旋转后的坐标为,,
将三点连接,如下图所示:
．
23. 在菱形中，点E，F分别是上的点，．
（1）如图1，若为直角，求证：；
（2）如图2，若为钝角，求证：；
（3）若为锐角，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请画出反例．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）成立；见解析
【解析】
【分析】（1）利用证明，推出，即可证明结论成立；
（2）过A作交延长线于点G，过A作交延长线于点H，连接，先利用证明，推出，再利用证明，据此即可证明；
（3）过A点作，垂足为M，同理作，垂足为N，同（2）即可得到．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，且为直角，
∴四边形是正方形，
∴
，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：过A作交延长线于点G，过A作交延长线于点H，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，，
∵且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：成立，理由如下，
过A点作，垂足为M，同理作，垂足为N，
同理，
∴，，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24. 如图①，在中，，边上的高为4．求作菱形，使点E在边上，点F，G在边上．
小宁的作法1．如图②，在边上取一点E．
2．以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G．
3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
（1）证明小宁所作的四边形是菱形．
（2）小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）①当时，菱形的个数为0；②当时，菱形的个数为1；③当时，菱形菱形的个数为2；④当时，菱形的个数为1；⑤当时，菱形的个数为0．
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段的尺规作图：
（1）先由平行四边形的性质得到，再由作图方法可知，，据此可证明结论；
（2）过点A作于点T，利用勾股定理求出，在上取一点G，使得，设，在中，由勾股定理得，解得；再根据能构成菱形则要保证以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有交点，并且要满足且点F在上，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：如图①中，过点A作于点T，
在中，
∴，
∵，
∴C，
在上取一点G，使得，设，
在中，由勾股定理得，则，
∴，
∴；
①当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与没有交点，则此时菱形的个数为0；
②当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，则此时菱形的个数为1；
③当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，其中一个交点是点A，此时菱形菱形的个数为2；
④当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，此时菱形的个数为1；
⑤当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，但是此时找不到点F使得，此时菱形的个数为0．组别
消费金额
A
B
C
D
E