辽宁省葫芦岛市普通高中2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

这是一份辽宁省葫芦岛市普通高中2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了标准对数视力表，设，为复数，则下列命题正确的是，已知为圆上动点，直线和直线，已知等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．
3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．
4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（ ）
A．9B．8C．7D．4
2．已知向量，满足，，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．0
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆，，为的短轴端点，为上异于，的一点，则直线，的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
5．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“”字视标约为正方形，每一行“”的边长都是上一行“”的边长的，若视力的视标边长约为，则视力的视标边长约为（ ）
A．B．C．D．
6．的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ）
A．B．4C．2D．
7．设，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则且
C．若，则
D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
8．已知为圆上动点，直线和直线（，，）的交点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9．若展开式中常数项为28，则实数的值可能为（ ）
A．B．1C．2D．3
10．已知（）在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义域为的函数，满足，且，，则（ ）
A．B．图像关于对称
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知集合，．若，则实数的取值集合为______．
13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为______
14．某机器有四种核心部件，，，，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sra”，Sra模型可以生成最长60秒的高清视频．Sra一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Pythn编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选．若第一科考试不合格，则淘汰：若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Pythn编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Pythn编程语言”考试合格的概率为，参加“数据结构算法”考试合格的概率为．
（1）若甲同学先进行“Pythn编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
16．（本小题满分15分）
如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为2的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．
（1）求证：当为中点时，平面；
（2）若，二面角的余弦值为，试确定点的位置．
17．（本小题满分15分）
已知函数（）在处的切线与直线平行．
（1）求的单调区间；
（2）当时，恒有成立，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，
（1）求的方程；
（2）过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．
（ⅰ）证明：点在定直线上；
（ⅱ）若直线与交于点，求证：．
19．（本小题满分17分）
大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件，其功能为：通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以余数为的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前项和为．
（1）求；
（2）是否存在不同的实数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
（3）若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
2024年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试
数学
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1-4：DCBC 5-8：ACDA
二、多选选择题
9．AB 10．AC 11．ACD
三、填空题
12． 13． 14．27
四、解答题
15．（本小题满分13分）
（1）由题意可得，的可能取值为0，4，10，则……………………1
，……………………2
，……………………3
，……………………4
∴的分布列为：
……………………6
（2）由（1）可知甲先进行“Pythn编程语言”考核，累计得分的期望为，
若甲先进行“数据结构算法”考试，记为甲的累计得分，
则的所有可能取值为0，6，10，……………………7
，……………………8
，……………………9
，……………………10
则的期望为，……………………11
∵，……………………12
∴甲应选择先进行“Pythn编程语言”考试．……………………13
16．（本小题满分15分）
（1）连结，如图，
∵，分别为，的中点，
∴，……………………2
又平面，平面，
∴平面．……………………5
（2）由题意，，于是可以以为轴，为轴，建立直角坐标系．
，
，，……………………7
于是，，
又……………………9
设平面的法向量，于是，
解得，
令，所以，……………………11
易知平面的法向量，
所以，解得或……………………13
所以，，
即P点的坐标；……………………15
或给出……………………15
或给出……………………15
或表述为为的靠进点的四等分点；……………………15
（若考生给出其他正确解法，同样赋分）
17．（本小题满分15分）
（1）由已知可得的定义域为，，
所以，即，……………………2
所以，，
令，得，令，得，……………………4
所以的单调递增区间为，単调递减区间为．……………………6
（2）将不等式整理得：可化为，
问题转化为在上，恒有成立，
即，……………………8
于是，令，
则，……………………10
令，
则，（）
所以在单调递减，……………………12
，即，
所以在单调递减，
，……………………14
所以的取值范围是．……………………15
18．（本小题满分17分）
（1）由点，的坐标可知，
离心率为，故，所以，……………………2
所以双曲线方程为，……………………4
（2）（ⅰ）设直线为：，联立双曲线得，
，消去得：……………………5
根据题意得：，
设，，
，
，……………………7
，，故……………………9
直线：，因为在上，所以
直线：----------①
直线：，----------②……………………11
由①，②消去得：，
解得
故，点在直线上……………………13
（ⅱ）由（ⅰ）同理可求得点也在直线上，
设，，点在直线上，所以
点在直线上，所以……………………15
所以．……………………17
19．（本小题满分17分）
（1）由，知：
当时，；
当时，故，．……………………2
则，．……………………4
（2）假设存在，由单调递增，不妨设，，，，
化简得，……………………6
∵，∴，
∴，……………………8
∴，
与“，且，”矛盾，故不行在．……………………10
（3）由题意，易知，，，
所以保留，，则，，．……………………12
又，，，，，
将，删去，得到，则，，
，，，
即：，，，
即：，．……………………14
记，下面证明：．
由，，，，
时，，，
；
时，，，
；
时，，，
；
时，，，
．
综上，对任意的，都有，原命题得证．……………………17
0
4
10