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辽宁省抚顺市普通高中2024届高三下学期高考模拟考试数学试卷
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这是一份辽宁省抚顺市普通高中2024届高三下学期高考模拟考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了已知，若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数a的值是
A．1 B．0 C．-2 D．3
2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则
A． B． C． D．
3．已知向量，，若向量满足，且，则的值是
A． B．12 C．20 D．
4．若的展开式中含x项的系数为10，则n的值是
A．3 B．4 C．5 D．6
5．油纸伞是中国传统工艺品之一，已有一千多年的历史．为了宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫开展了油纸伞文化艺术节活动．在此次活动中，将一把油纸伞撑开后摆放在户外的展览场地上，在地面上形成了一个椭圆形影子，如图所示．已知A，B是此椭圆长轴的两个端点，P为短轴的一个端点，且，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
6．已知，若，则
A． B． C． D．
7．在三棱锥P-ABC中，，，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为
A．100π B．75π C．80π D．120π
8．已知定义域为的函数f（x）满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是
A． B．
C．f（x）为奇函数 D．f（x）在区间（0，＋∞）是单调递增函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用．2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是
A．图中前三个数据的平均值为49.9％ B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大
C．图中PMI指数的极差为3.8％ D．2023年PMI指数的75％分位数为50.1％
10．已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是
A．|AB|的最小值为4 B．设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4
C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．若，则直线l的斜率为或
11．函数f（x）满足：当时，，是奇函数．记关于x的方程（）的根为，，⋯，，若，则k的值可以为
A． B． C． D．1
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记为等比数列的前n项和，已知，且与的等差中项为6，则的值是________．
13．已知直线平分圆，点P（m，n）的轨迹交圆C于A，B两点，则A，B两点间的距离|AB|的值是________．
14．已知，是函数（，）的两个零点，且，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若，点M为△ABC的重心，且，求△ABC的面积．
16．（本题满分15分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，．
（1）求证：；
（2）若点E为AD的中点，BD与CE相交于点M，直线PM与底面ABCD所成的角为θ，且，求二面角E-PB-C的余弦值．
17．（本题满分15分）
2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有m道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为．
（1）求m的值；
（2）招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是．
（ⅰ）求应聘者甲答对题的数量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由．
18．（本题满分17分）
已知双曲线C的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为，离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，点D为双曲线C的右支上异于点B的动点，直线DA与直线相交于点P，直线PB与双曲线C的另一个交点为E，直线AM垂直DE于点M．问是否存在点N，使得|MN|为定值？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分17分）
已知函数．
（1）当时，判断f（x）的单调性；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数a的值是
A．1 B．0 C．-2 D．3
2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则
A． B． C． D．
3．已知向量，，若向量满足，且，则的值是
A． B．12 C．20 D．
4．若的展开式中含x项的系数为10，则n的值是
A．3 B．4 C．5 D．6
5．油纸伞是中国传统工艺品之一，已有一千多年的历史．为了宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫开展了油纸伞文化艺术节活动．在此次活动中，将一把油纸伞撑开后摆放在户外的展览场地上，在地面上形成了一个椭圆形影子，如图所示．已知A，B是此椭圆长轴的两个端点，P为短轴的一个端点，且，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
6．已知，若，则
A． B． C． D．
7．在三棱锥P-ABC中，，，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为
A．100π B．75π C．80π D．120π
8．已知定义域为的函数f（x）满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是
A． B．
C．f（x）为奇函数 D．f（x）在区间（0，＋∞）是单调递增函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用．2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是
A．图中前三个数据的平均值为49.9％ B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大
C．图中PMI指数的极差为3.8％ D．2023年PMI指数的75％分位数为50.1％
10．已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是
A．|AB|的最小值为4 B．设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4
C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．若，则直线l的斜率为或
11．函数f（x）满足：当时，，是奇函数．记关于x的方程（）的根为，，⋯，，若，则k的值可以为
A． B． C． D．1
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记为等比数列的前n项和，已知，且与的等差中项为6，则的值是________．
13．已知直线平分圆，点P（m，n）的轨迹交圆C于A，B两点，则A，B两点间的距离|AB|的值是________．
14．已知，是函数（，）的两个零点，且，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若，点M为△ABC的重心，且，求△ABC的面积．
16．（本题满分15分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，．
（1）求证：；
（2）若点E为AD的中点，BD与CE相交于点M，直线PM与底面ABCD所成的角为θ，且，求二面角E-PB-C的余弦值．
17．（本题满分15分）
2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有m道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为．
（1）求m的值；
（2）招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是．
（ⅰ）求应聘者甲答对题的数量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由．
18．（本题满分17分）
已知双曲线C的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为，离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，点D为双曲线C的右支上异于点B的动点，直线DA与直线相交于点P，直线PB与双曲线C的另一个交点为E，直线AM垂直DE于点M．问是否存在点N，使得|MN|为定值？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分17分）
已知函数．
（1）当时，判断f（x）的单调性；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．
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