2024年广东省中山市纪中教育集团中考二模数学试题

这是一份2024年广东省中山市纪中教育集团中考二模数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知一个乒乓球的标准质量为，把质量为的乒乓球记为，则质量为的乒乓球应记为（ ）
A．B．C．D．
2．新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（ ）
A．先右转，再直行B．先右转，再直行
C．先左转，再直行D．先左转，再直行
5．下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ）
A．黄金分割数B．平移C．平均数D．轴对称
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊垫”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（ ）
A．B．C．D．
8．年月日，全国和美乡村篮球大赛——“村”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村”大赛总冠军．某县“村”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛场．设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A．B．12C．D．15
二、填空题
11．因式分解：x2－36= ．
12．计算： ．
13．“春节”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件标价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了 元．
14．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
15．如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，点E是矩形的边上的一点，且．

(1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由．
18．深中通道是粤港澳大湾区核心交通枢纽工程，该项目计划于年月开通，开通后将会促进粤港澳大湾区城市群的互联互通．深中通道开通后，预计从中山翠亨新区到深圳宝安机场的车程将从原路线的公里缩短为公里，平均速度提高为原来的倍，通勤时间将减少小时．请问原路线的平均速度为多少？
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当时，求的取值范围．
20．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知米，米，与的张角记为．为保证采桑人的安全，可调整的范围是，为固定张角大小的锁链．
(1)求锁链的最大值．
(2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端到地面的距离（结果保留一位小数．参考数据：，，）
21．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为___________名；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A “艺术类”所对应的圆心角度数是___________度；
(4)李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．
22．如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
23．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，连接．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是线段上一点，过点P作轴交抛物线于点Q，交线段于点E，点F是直线上一点，连接，，求的周长最大值．
(3)如图2，已知，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点N，连接，当是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离d的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查正负数的意义，比标准质量多记为正数，比标准质量少就记为负数．
【详解】解：比标准质量少，记为，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
3．C
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4．C
【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．由两直线平行内错角相等，即可求解．
【详解】解：
由题意知：，，
∴，
∴他应该先左转，再直行．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握相关的性质是解题的关键．根据每个几何体的三视图得到的图像进行判断即可得到答案．
【详解】解：A选项的三棱柱的侧视图会出现矩形，不符合题意；
B选项的圆柱的侧视图会出现矩形，不符合题意；
C选项的圆锥主视图、侧视图、俯视图都不会出现矩形，符合题意；
D选项的正方体主视图、侧视图、俯视图都是正方形，正方形是特殊的矩形，不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得点为的黄金分割点，即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，各部分长度的比满足 ，
∴点为的黄金分割点，
故选：．
7．A
【分析】本题考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：“立春”有两张，“雨水”和“惊垫”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是；
故选A．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设参加比赛的球队有支，
由题意可得，，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了圆周角定理的推论、圆的内接四边形对角互补等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活运用．连接，先利用直径所对的圆周角是直角求出，然后求出，再利用圆的内接四边形的对角互补即可求解．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点作轴，延长交于点，证，求得，根据，求得，得到点的纵坐标为，设，则，由反比例函数的图象经过、两点，从而求出，进而可得的值．
【详解】解：过点作轴，延长交于点，
与轴平行，与轴平行，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过、两点，
，
，
，
，
故选：D．
11．（x＋6）（x－6）
【分析】根据平方差公式解答即可．
【详解】解：x2－36=（x＋6）（x－6）；
故答案为：（x＋6）（x－6）．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，掌握平方差公式是解答的关键．
12．
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的性质及乘法法则计算即可求解，掌握二次根式的性质及乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13．28
【分析】本题考查了一元一次方程的应用中的打折问题，设节省了x元，根据题意，得，解答即可．
【详解】设节省了x元，根据题意，得，
解得．
故答案为：28．
14．0或1/1或0
【详解】分类讨论：
①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数，
根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．
∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点．
故答案为：0或1
15．/
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，
，
的最小值为，
周长的最小值为，
作于，于，
，
，
点是矩形的对称中心，经过点，
∵，
，
，
，
，
，，
，
周长的最小值为．
16．
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根的定义分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
，
．
17．(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
18．公里小时．
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原路线的平均速度为公里小时, 则新路线的平均速度为公里小时，根据题意，可得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设原路线的平均速度为公里小时，则新路线的平均速度为公里小时，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：原路线的平均速度为公里小时．
19．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
(2)或．
【分析】（）根据的坐标求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，再把的坐标代入，求出一次函数的解析式即可；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，正确求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可得，当或时，．
20．(1)米
(2)3.1米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据大角对大边，得到当时，的值最大，进行求解即可；
（2）过点作，解直角三角形，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：当，的值最大，
∵米，
∴当，为等边三角形，
∴米；
（2）过点作，
∵米，，米，
∴，米，
在中，米；
答：桑梯顶端到地面的距离为3.1米．
21．(1)100
(2)见解析
(3)36
(4)
【分析】（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
（3）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．；
【详解】（1）此次被调查的学生人数为：名，
故答案为：；
（2）类的人数为：名，
补全条形统计图如下：
；
（3）在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：；
（4）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中乙、丙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中乙、丙两位同学的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解，
（2）由，是的直径，可得，根据锐角三角函数可求，的长度，由，可得，在中，根据锐角三角函数，即可求解，
本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，锐角三角函数，解题的关键是：根据切线的判定定理，连接辅助线．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
故答案为：．
23．（1）2 ；（2）△ABC的面积=39；（3）T（BC，CD）=
【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；
(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH的长即可解决问题；
(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.
【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，
∵T(AC，AB)=3，
∴AH=3，
∵AB=5，
∴BH=AB-AH=2，
∴T(BC，AB)=BH=2，
故答案为2；
(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，
则∠AHC=∠CHB=90°，
∴∠B+∠HCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°
∴∠A=∠HCB，
∴△ACH∽△CBH，
∴CH：BH=AH：CH，
∴CH2=AH·BH，
∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，
∴AH=4，BH=9，
∴AB=AH+BH=13，CH=6，
∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；
(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，
∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，
∴AC=2，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=∠BDK=30°，
∴CD=AC·tan60°=2，AD=2AC=4，AH=AC=1，
∴DH=4-1=3，
∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，
∴BH=6，
∴DB=BH-DH=3，
在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，
∴DK=BD·cs30°=，
∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=+=.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.
24．(1)
(2)
(3)抛物线的平移距离的值为或或1
【分析】（1）将、代入，用待定系数法求解即可．
（2）过点作于点，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理得，再根据得出等式，将的周长用表示出来，设，求得直线的解析式，进而写出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得的最大值，则可得周长的最大值．
（3）平移后的抛物线的解析式为，设设，则，由点N在直线上，可得关于n的等式，将d用含n的式子表示出来，即，再分三种情况：①；②；③，分别得出关于n的方程，解得n的值，再代入，计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）过点作于点，如图：

则，
，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得．
轴，
，
，
，
，
，
∴ 的周长，
∴当最大时，的周长最大．
设，其中．
，
∴直线的解析式为，
，
，
，
时，有最大值，最大值为，
周长的最大为，．
（3）由题知：平移后的抛物线的解析式为．
设，则．
又∵直线的解析式为，点在上，
，
，
，
，，
．
当是等腰三角形时，
①若，则，
解得（舍去），，
；
②若，则，
解得，
；
③若，
则，
解得：，（舍去），
．
综上，抛物线的平移距离的值为或或1．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数和二次函数的性质及一元二次方程的应用等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．