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北京市第八十中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(无答案)
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这是一份北京市第八十中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了已知集合，则，已知复数，已知向量满足，则，的展开式中，的系数为，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
2024年2月
班级__________姓名__________考号__________.
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量满足，则（ ）
A. B. C.1 D.
4.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5.的展开式中，的系数为（ ）
A.-5 B.-10 C.5 D.10
6.设为抛物线的焦点，点在上，且到焦点的距离为3，到轴的距离为2，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在中，为的角平分线，在线段上，若，则（ ）
A. B. C.2 D.
8.已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ）
A.若数列为常数列，则
B.存在，使数列为递减数列
C.任意，都有为递减数列
D.任意，都有
10.如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点在平面上，顶点到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.函数的定义域为__________.
12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.
13.已知命题：若，则.能说明为假命题的一组的值为__________，__________.
14.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何：现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为__________.
15.已知函数，则下列说法正确的是__________.
①是的周期
②的图象有对称中心，没有对称轴
③当时，
④对任意在上单调
三､解答题：本大题共6小题，共70分.
16.如图，正方体的边长为分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于.
（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.
17.已知函数.再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围.
条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值与最小值的和为1.
18.某公司在2013~2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数÷年生产台数..
（1）从2013~2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；
（3）记公司在2013~2017年，2018~2022年的年生产台数的方差分别为，.若，请写出a的值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据的平均数）
19.已知椭圆为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程和离心率.
（2）设点，过的直线与椭圆交于两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上.
20.已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.当时，若函数是“恒切函数”，求证：.
21.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令.
（1）若，请写出的值；
（2）求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
（3）若，求证：存在，使得，有.年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年生产台数（单位：万台）
3
5
5
6
6
9
9
10
10
a
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
64
80
75
b
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
9.98
10.00
11.50
c
2024年2月
班级__________姓名__________考号__________.
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量满足，则（ ）
A. B. C.1 D.
4.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5.的展开式中，的系数为（ ）
A.-5 B.-10 C.5 D.10
6.设为抛物线的焦点，点在上，且到焦点的距离为3，到轴的距离为2，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在中，为的角平分线，在线段上，若，则（ ）
A. B. C.2 D.
8.已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ）
A.若数列为常数列，则
B.存在，使数列为递减数列
C.任意，都有为递减数列
D.任意，都有
10.如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点在平面上，顶点到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.函数的定义域为__________.
12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.
13.已知命题：若，则.能说明为假命题的一组的值为__________，__________.
14.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何：现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为__________.
15.已知函数，则下列说法正确的是__________.
①是的周期
②的图象有对称中心，没有对称轴
③当时，
④对任意在上单调
三､解答题：本大题共6小题，共70分.
16.如图，正方体的边长为分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于.
（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.
17.已知函数.再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围.
条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值与最小值的和为1.
18.某公司在2013~2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数÷年生产台数..
（1）从2013~2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；
（3）记公司在2013~2017年，2018~2022年的年生产台数的方差分别为，.若，请写出a的值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据的平均数）
19.已知椭圆为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程和离心率.
（2）设点，过的直线与椭圆交于两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上.
20.已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.当时，若函数是“恒切函数”，求证：.
21.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令.
（1）若，请写出的值；
（2）求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
（3）若，求证：存在，使得，有.年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年生产台数（单位：万台）
3
5
5
6
6
9
9
10
10
a
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
64
80
75
b
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
9.98
10.00
11.50
c
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