芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷(含答案)

这是一份芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．将4046减去它的,再减去余下的,再减去余下的,再减去余下的,依次类推,直至最后减去余下的,则最后余下的数为( )
A.4B.3C.2D.1
2．若正实数a,b,c满足不等式组则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
3．若实数a,b满足等式,则( )
A.B.C.D.4
4．在中,,,,点D是平面内一动点,且,连,则长的最大值是( )
A.8B.9C.10D.11
5．已知三个实数,,它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组共有_______组( )
A.3B.4C.5D.6
6．如图,在中,,,点D是边的中点,以为底边在其右侧作等要,使,连,则( )
A.B.C.D.
7．四边形中,,是其两对角线,是等边三角形,,,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
8．已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.
9．已知,则__________.
10．在实数范围内因式分解：__________.
11．在平面直角坐标系中,点,,连,,若线段,分别交曲线于点D,E（异于点B）,若,则k的值为__________.
12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.
13．在菱形中,,点E,F分别在边,上,将沿着对折,使点A恰好落在对角线上的点G,若,,则的面积等于__________.
14．对于任意不为0的实数a,b,c定义一种新运算“#”：①;②,则关于x的方程的根为__________.
三、解答题
15．回答下列问题
（1）解方程：;
（2）求所有的实数a,使得关于x的方程的两根均为整数.
16．如图,点E是正方形的边上一动点（异于C,D）,连,以为对角线作正方形,与交于点H,连.
（1）求证：A,F,C三点共线;
（2）若,求的值.
17．在平面直角坐标系中,抛物线经过点和,且在x轴上截得的线段长为.
（1）求抛物线的解析式;
（2）已知点A在抛物线上,且在其对称轴右侧,点B在抛物线的对称轴上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;
（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线,直线与交于E,F两点,直线与交于G,H两点,若M,N分别为线段和线段的中点,连,求证：直线过定点.
18．如图,等边内有一动点D,是等边三角形（点B,E在直线两侧）,直线与直线交于点F.
（1）判断的大小是否为定值？若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.
（2）若,,求线段长的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：令,则第一次余下的数为,第二次余下的数为,
第三次余下的数,
依次类推,最后余下的数为.
故选：C.
2．答案：B
解析：由题意可得,因a,b,c均为正实数,
于是所以,
因此,
故选：B.
3．答案：A
解析：由条件知,根据非负性可知,所以,故选：A.
4．答案：B
解析：要使长取到最大,则点C与点D位于直线两侧.延长到点E,使,
连,则,,于是点D在以为直径的圆上（与E在直线同侧）,
设圆心为O,则,当C,O,D三点共线时,长取到最大,最大值为,
故选：B.
5．答案：C
解析：由条件知①-②得,,所以或.
当时,代入③得,又代入①得,
消去得,解得或,
于是,或.
当时,,解得或,于是共有5组,
故选：C.
6．答案：D
解析：由条件知,,所以,
所以,又公共,所以,
所以也是等腰三角形,于是发现,
所以,于是,
故选：D.
7．答案：A
解析：以为一边在四边形外作等边,
连,则可证,所以,
又,,于是,
所以,
故选：A.
8．答案：1050
解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,
于是根据题意可知,解得,
所以紧接在这19个数后面的21个连
续偶数分别为30,32,34,,70,
于是这21个数的和是.
9．答案：42
解析：由条件得,
又
.
10．答案：
解析：利用待定系数法或双十字相乘法.
11．答案：
解析：由条件知,设,则,,又,,
所以,,,,,
于是于,所以,因此,解得（舍）或,于是.
12．答案：18
解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,
设最小半径大小为r,则,
解得.
13．答案：
解析：作于点P,设,则,,,,
在中,,即,
解得,所以,同理可得,
所以的面积等于.
14．答案：4或-2
解析：令,因,由得,
令,由得,
于是,所以,因此方程可化为,
解方程得两根分别为4或-2.
15．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）原方程可化为
令,则原方程可化为,
于是,
整理得,所以
于是或,
当时,,解得;
当时,,解得.
综上,原方程的根为或.
（2）不妨设两根为,,
则根据韦达定理可知,,
于是,所以
因,为整数,,于是,也为整数,且,
所以或,
当时,解得,此时;
当时,解得,此时
综上所述,实数a的值为或.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：证明：（1）在正方形和正方形中,
,
所以,即,
所以,
所以,
又,所以A,F,C三点共线
（2）因,设,则,,
因,,公共,所以,
所以,
于是即,解得,
所以,
于是.
17．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）由条件可知
又,解得
所以抛物线的解析式为.
（2）当点A在x轴上方时,过点A作轴于点P,过点B作直线的垂线,垂足为点Q,
因,,所以,
又,,所以,于是.
设,则,所以,解得,
所以点
同理当点A在x轴下方时,可求得,
综上所述,点A的坐标为或.
（3）由条件知,
联立得,于是点,
同理可得,
设,则,解得,
所以,
其过定点.
18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析
（2）
解析：（1）的大小是定值,定值大小为,
理由如下：在等边和等边中,,,,
于是,即,所以,
所以,
所以C,D,F,E四点共圆,
所以,
于是
（2）由（1）知,所以A,F,C,B四点共圆.
若最大,则最小.
当时,最大,
因,,所以,
由（1）得,,
于是在和中,,
所以,
所以,
于是,
所以线段长的最小值为.