2020年上海交大自主招生数学试卷

这是一份2020年上海交大自主招生数学试卷，共42页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2020年上海交大自主招生数学试卷
一、填空题
1．（2020•上海自主招生）函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为　 　．
2．（2020•上海自主招生）已知方程2x﹣sinx＝1，则下列判断：
（1）方程没有正数解
（2）方程有无穷多个解
（3）方程有一个正数解
（4）方程的实根小于1
其中错误的判断有　 　．
3．（2020•上海自主招生）小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有　 　个．
4．（2020•上海自主招生）已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为　 　．
5．（2020•上海自主招生）△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为　 　．
6．（2020•上海自主招生）从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有　 　种不同的取法．
7．（2020•上海自主招生）已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝　 　．
8．（2020•上海自主招生）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为　 　．
9．（2020•上海自主招生）用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为　 　．
10．（2020•上海自主招生）若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是 （　　）
A．只有唯一值 B．有两个不同的值
C．有三个不同的值 D．无穷多个值
11．（2020•上海自主招生）非零实数a，b，c，若，，成等差数列，则下列不等式成立的是 （　　）
A．|b|≤|ac| B．|b|≤ C．b2≥|ac| D．a2≤b2≤c2
12．（2020•上海自主招生）若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：
（1）R （2）Q （3）∁RQ （4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为　 　．
13．（2020•上海自主招生）方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有　 　．
14．（2020•上海自主招生）若a，b＜0，且满足+＝，则＝　 　．
15．（2020•上海自主招生）若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是　 　．
16．（2020•上海自主招生）设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为　 　．
17．（2020•上海自主招生）立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有　 　对．
18．（2020•上海自主招生）空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有 　 　条．
19．（2020•上海自主招生）用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为　 　．
20．（2020•上海自主招生）矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为　 　．
21．（2020•上海自主招生）平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有　 　个．
22．（2020•上海自主招生）实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（an+bn）＝　 　．
23．（2020•上海自主招生）甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为 （　　）
A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA
24．（2020•上海自主招生）函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是　 　．

2020年上海交大自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（2020•上海自主招生）函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为　（c，1﹣c）　．
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意可得，，结合c的范围解不等式可求．
【解答】解：由题意可得，，
解可得，，
因为0＜c＜，
所以﹣c＜c＜1﹣c＜1+c，
所以c＜x＜1﹣c．
故函数的定义域（c，1﹣c），
故答案为：（c，1﹣c）
【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础试题．
2．（2020•上海自主招生）已知方程2x﹣sinx＝1，则下列判断：
（1）方程没有正数解
（2）方程有无穷多个解
（3）方程有一个正数解
（4）方程的实根小于1
其中错误的判断有　（1）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】在同一直角坐标系内画出函数y＝2x﹣1与y＝sinx的图象，由两函数图象的交点逐一分析四个命题得答案．
【解答】解：由2x﹣sinx＝1，得2x﹣1＝sinx，
作出函数y＝2x﹣1与y＝sinx的图象如图：

当x＝时，sin＝，＜＜＝，
可知函数y＝2x﹣1与y＝sinx的图象在（0，1）上一定有一个交点，且唯一，
故（1）错误，（3）（4）正确；
由图可知，方程有无穷多个解，故（2）正确．
∴其中错误的判断有（1）．
故答案为：（1）．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．（2020•上海自主招生）小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有　686　个．
【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】先求出5的倍数有200个，7的倍数有142个，35的倍数有28个，从而可求．
【解答】解：因为小于1000的正整数中，5的倍数有1000÷5＝200个，1000÷7＝142…6即7的倍数有142个，
因为1000÷35＝28…20即35的倍数有28个，
故既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有1000﹣（200+142﹣28）＝686个
故答案为：686
【点评】本题主要考查了等差数列的简单应用，属于基础试题．
4．（2020•上海自主招生）已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为　60°　．
【考点】两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【分析】以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，分别求得A，B，C，D，E的坐标，以及直线AE，CD的斜率，由两直线的夹角公式，计算可得所求值．
【解答】解：以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，
可得A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），
由AD＝BE＝，可得E（﹣a，0），
又＝，可得D（，a），
即为（﹣a，a），
则直线AE的斜率为kAE＝＝3，
直线CD的斜率为kCD＝＝﹣，
可得两直线AE，CD的夹角的正切为||＝，
则所求夹角为60°．
故答案为：60°．

【点评】本题考查两直线的夹角的求法，运用坐标法是解题的关键，考查直线的斜率和两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．
5．（2020•上海自主招生）△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为　7x﹣y﹣17＝0　．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【分析】求出|AB|、|AC|的长，利用定比分点坐标公式求出点T的坐标，即可写出AT所在的直线方程．
【解答】解：由A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），
所以|AB|＝＝5，
|AC|＝＝10，
设角A的平分线AT交BC于点T，
则点T分BC所成的比为λ＝＝，
由定比分点坐标公式，得xT＝＝，
yT＝＝﹣；
所以点T（，﹣），
所以AT所在的直线方程为＝，
即7x﹣y﹣17＝0．
【点评】本题考查了线段的定比分点和直线方程的应用问题，是中档题．
6．（2020•上海自主招生）从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有　11　种不同的取法．
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】根据题意，按不同颜色球的数目列举所有的情况，即可得答案．
【解答】解：根据题意，从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，有以下情况：
1、2个红球，3个黑球，1个白球；
2、2个红球，2个黑球，2个白球；
3、2个红球，1个黑球，3个白球；
4、2个红球，4个白球；
5、1个红球，3个黑球，2个白球；
6、1个红球，2个黑球，3个白球；
7、1个红球，1个黑球，4个白球；
8、1个红球，5个白球；
9，3个黑球，3个白球；
10、2个黑球，4个白球；
11、1个黑球，5个白球；
共11种情况；
故答案为：11．
【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意分类讨论要做到不重不漏，属于基础题．
7．（2020•上海自主招生）已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝　0　．
【考点】二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】计算题；分析法；函数的性质及应用；数学运算；数据分析．
【分析】由二次函数图象的对称性，可得对称轴方程为x＝1，可解出答案．
【解答】解：图象过A，B两点，可知该函数一定是二次函数，对称轴方程为，所以b＝﹣2a，b+2a＝0．
故答案为0．
【点评】本题考查了二次函数的对称性．
8．（2020•上海自主招生）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为　当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．　．
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】设直线方程为x＝ty+，联立可得x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，，根据5﹣p的符号判定即可．
【解答】解：设直线方程为x＝ty+，
联立整理可得y2﹣2pty﹣p2＝0，y1+y2＝2pt，
x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，t•2pt+p＝5
∴，
当p＞5时，直线条数为0条；
当p＝5时，直线条数为1条；
当p＜5时，直线条数为2条．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．
9．（2020•上海自主招生）用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为　3，4，6　．
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；推理和证明；逻辑推理．
【分析】设m个正n边形可以铺满平面，得到关于m和n的式子，找到 满足条件的正整数解即可．
【解答】解：设m个正n边形可以无重叠，无缝隙地平铺平面如图所示，则
，
化简可得：2（m+n）＝mn，
则满足条件的有，，，
因此满足条件的n的值为3，4，6，
故答案为：3，4，6

【点评】本题考查一般推理能力，属于中档偏难题目．
10．（2020•上海自主招生）若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是 （　　）
A．只有唯一值 B．有两个不同的值
C．有三个不同的值 D．无穷多个值
【考点】两条直线的交点坐标；直线的一般式方程与直线的平行关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数据分析．
【分析】由题意可得其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，再利用两条直线平行的条件求出k的值．
【解答】解：若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，
则其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，则k＝﹣2或k＝0，
或者三条直线经过同一个点，即x﹣2y+2＝0和x＝2的交点（2，2）在直线x+ky＝0上，此时k＝﹣1．
综上，k＝﹣2 或k＝0或 k＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，两条直线的位置关系，属于基础题．
11．（2020•上海自主招生）非零实数a，b，c，若，，成等差数列，则下列不等式成立的是 （　　）
A．|b|≤|ac| B．|b|≤ C．b2≥|ac| D．a2≤b2≤c2
【考点】等比数列的通项公式；不等关系与不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由等差数列的性质得2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，推导出|b|≤，进而得到≤≤，或，由此能求出结果．
【解答】解：∵由题意得+＝，即2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，
∴b2≤|ac|，∴，即|b|≤，
又2b2c2＝（a2+c2）b2．∴，
∴≤≤，或，
即a2≤b2≤c2，或c2≤b2≤a2．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2020•上海自主招生）若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：
（1）R （2）Q （3）∁RQ （4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为　2　．
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；新定义；定义法；集合；逻辑推理．
【分析】由题意结合封闭集合的定义逐一考查所给的集合是否满足题中的定义即可确定封闭集合的个数．
【解答】解：两个实数的和差积商仍然是实数，故R是一个封闭集合；
两个有理数的和差积商仍然是有理数，故Q是一个封闭集合；
注意到 ，而 ，故∁RQ不是封闭集合；
令，
注意到，而 ，
故 不是封闭集合；
综上可得，封闭集合的个数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查集合中的新定义问题，属于中等题．
13．（2020•上海自主招生）方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有　0　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；推理和证明；数学抽象；逻辑推理．
【分析】由已知等式可得y＞x，y﹣1＜x，进一步得到x＜y＜x+1，由此可得满足该式的正整数y不存在，从而得到方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．
【解答】解：由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣x2＝x+1，
∵x为正整数，∴x+1＞1，即y2﹣x2＞1，则y＞x，
由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣1＝（y﹣1）（y+1）＝x（x+1），
∵y+1＞x+1，∴y﹣1＜x，
则x＜y＜x+1，满足该式的正整数y不存在，
则方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．
故答案为：0．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
14．（2020•上海自主招生）若a，b＜0，且满足+＝，则＝　　．
【考点】有理数指数幂及根式．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】推导出a2﹣b2＝ab，整理得（）2﹣﹣1＝0，由此能求出的值．
【解答】解：∵a，b＜0，且满足+＝，
∴＝，整理得a2﹣b2＝ab，
∴＝1，
∴（）2﹣﹣1＝0，
由a，b＜0，解得＝．
故答案为：．
【点评】本题考查两数比值的求法，考查指数定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2020•上海自主招生）若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是　7　．
【考点】点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；立体几何；直观想象．
【分析】分3种情况分类讨论即可，①四个顶点均在平面的一侧，②平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点，③平面的两侧各有两个顶点．分别求出中位面的个数再相加可得答案．
【解答】解：将所考虑的四面体记作ABCD．
若四个顶点均在平面 的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面 平行的平面内，不符合条件；
只考虑以下两种情形．
（i）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点．
不妨设点A，B，C在平面 的一侧，点D在另一侧，
则A，B，C三点所确定的平面必平行与，
由点D作平面ABC的垂线DD1，D1为垂足．
则中位面必为经过DD1的中点且与DD1垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面ABC．
这种类型的中位面共有4个．

（ii）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点 A，B在平面α的一侧，点 C，D在另一侧，
显然 ，
易知，AB与CD为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）．
由于四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组，
于是这种类型的中位面共有3个．

综上，一个四面体的中位面由7个互不相同的中位面．
故答案为：7．
【点评】本题考查空间中线面位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
16．（2020•上海自主招生）设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为　　．
【考点】带绝对值的函数．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；分类法；数学运算．
【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行，结合二次函数的单调性及a的正负及 1的大小分类讨论求解M（a）．
【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；
①当a≤0时，f（x）＝x2﹣a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）＝f（1）＝1﹣a≥1．
②当 1＞a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，
所以f（x）在[0，]内的最大值为M（a）＝f（0）＝a，
而f（x）在[，1]上的最大值为M（a）＝f（1）＝1﹣a．
若f（1）＞f（0）得，则1﹣a＞a，求得 0＜a＜．
故当a∈（0，）时，M（a）＝f（1）＝1﹣a＞；
若f（1）≤f（0）得，则1﹣a≤a，求得 1＞a≥．
故当a∈[，1）时，M（a）＝f（0）＝a，
③当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）＝f（0）＝a≥1．
综上，M（a）＝1﹣a，（当a＜时）； 或 M（a）＝a，（当a≥时）．
所以M（a）在[0，]上为减函数，且在[，1]为增函数，
易得M（a）的最小值为M（）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了偶函数的性质的应用，其实由分析可得M（a）＝f（0）或f（1），所以可直接通过比较f（0）与f（1）的大小得出M（a）的解析式从而求解．
17．（2020•上海自主招生）立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有　174　对．
【考点】异面直线的判定．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】求出正方体中不在同一个平面上的4个点的个数，然后求出这4个点中异面直线的对数即可．
【解答】解：立方体中有8个顶点，任意两个顶点所构成的直线有：＝28，
其中不在同一个平面上的4个点的个数有C84﹣12＝58，
4个点中异面直线的对数是：3，
所以过正方体任意两个顶点的直线共有28条，
其中异面直线有：58×3＝174对．
故答案为：174．
【点评】本题考查排列组合的知识，结合空间几何体难度比较大，注意不在同一个平面的4点中，能够出现异面直线，是解答本题的关键．
18．（2020•上海自主招生）空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有 　无穷多条　条．
【考点】异面直线的判定．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β，平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，由面面平行的性质定理，得QR∥a，由点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．
【解答】解：在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，
作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，如右图所示
在c上，即在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β
平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，则
由面面平行的性质定理，得QR∥a，
于是PR不与a平行，但PR与a共面．
故PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．
根据点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．
故答案为：无穷多条．

【点评】本题考查满足条件的直线条件的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（2020•上海自主招生）用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为　3　．
【考点】平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】数形结合；对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】画出图象，结合图象求出六边形的周长，即可求得此六边形周长最小值．
【解答】解：如图示：
，
则结合对称性可知，六边形的周长最小值是6×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力．
20．（2020•上海自主招生）矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为　　．
【考点】二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】根据，可以求出EF，再根据勾股定理即可求出BD的长度．
【解答】解：设AF＝FE＝EC＝x，则
，
，
解得，
故．
故答案为：．


【点评】本题考查二面角的概念，考查学生空间想象能力和运算能力，属于基础题．
21．（2020•上海自主招生）平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有　310　个．
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；推理和证明；排列组合；逻辑推理；数学运算．
【分析】固定一个点进行研究，然后推广开后用排除法去掉不符合要求的即可．
【解答】解：由给定的五个点两两连线共有＝10条，
记五个点为A1，A2，A3，A4，A5，
则以A1为例进行研究：
A2，A3，A4，A5四个点共产生＝6条连线，
由A1向6条连线可引出6条垂线，
则推广到其他点共可得到6×5＝30条垂线．
若每两条垂线均相交，则可得到个交点，
易知每一条线段的垂线互相平行且每一条线段共有3条垂线，
则应减去30个交点，
又A1，A2，A3，A4，A55点共可得到个三角形，
三角形的三边垂线交于一点，
故要减去20个点，
而由A1，A2，A3，A4，A55点中任一点引出的垂线必交于该点，
故减去点，
则最终有435﹣75﹣20﹣30＝310个点．
故答案为310．
【点评】本题考查了排列组合和逻辑推理的相关内容，属于难题．
22．（2020•上海自主招生）实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（an+bn）＝　0　．
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】综合题；方程思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】本题先根据（a+b）59＝﹣1，可得到a+b＝﹣1，以及根据（a﹣b）60＝1，可得a﹣b＝±1，然后列出关于a、b的方程组，解出a、b的值，代入求和表达式，根据等比数列的求和公式即可计算出结果．
【解答】解：依题意，由（a+b）59＝﹣1，可知a+b＝﹣1，
∵（a﹣b）60＝1，∴a﹣b＝±1，
∴，或，
解得，或，
当时，an+bn＝（﹣1）n；当时，an+bn＝（﹣1）n，
∴（an+bn）＝（﹣1）n
＝（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）60
＝
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查根据多项式求值，以及求和的问题．考查了方程思想，等比数列的求和公式，以及定义法，转化法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
23．（2020•上海自主招生）甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为 （　　）
A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】应用题；整体思想；分析法；推理和证明；逻辑推理．
【分析】由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可得乙的职业为B，进而得到甲的职业为A，丙的职业为C．
【解答】解：由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可知乙的职业为B，进而乙比甲的年龄小，又因为乙的年龄比C大，所以甲的职业不可能为C，从而甲的职业为A，
所以丙的职业为C，
所以甲乙丙的职业分别为ABC，
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
24．（2020•上海自主招生）函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是　2　．
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；换元法；三角函数的求值；不等式；数学运算．
【分析】先利用换元法得到y的表达式，再利用基本不等式求得最值．
【解答】解：令t＝sinx+cosx＝sin（x+），x∈（﹣，），
则t∈（0，]，2sinxcosx＝t2﹣1，
∴y＝＝2t+，t∈（0，]，
∴y≥2＝2（当且仅当t＝时取等号）．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查换元法、基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．

考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
3．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
4．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
5．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
6．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
7．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
8．带绝对值的函数
1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究．
2．①形如y＝|f（x）|的函数，由于|f（x）|＝，因此研究此类函数往往结合函数图象，可以看成由 的图象在x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称得到，例如y＝|x2﹣1|的图象如下图：
②f（x）＝a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的图象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））为折点的折线．
当a+b＞0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为min{f（m），f（n）}；
当a+b＜0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Max{f（m），f（n）}；
当a+b＝0时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为Max{f（m），f（n）}；最小值为min{f（m），f（n）}；例如：y＝2|x﹣1|+3|x﹣2|和y＝2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的图象分别为

9．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
【例题解析】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝　　
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【考点点评】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
10．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
11．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
12．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．

2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
13．异面直线的判定
【知识点的知识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
14．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
15．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


16．直线的一般式方程与直线的性质
【直线的一般式方程】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
17．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
18．两条直线的交点坐标
【知识点的知识】
两条直线的交点坐标：
（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．
（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．
19．两直线的夹角与到角问题
【知识点的知识】
1、直线的到角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．
（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′＝，l1到l2的角的取值范围是（0，π）．

2、直线的夹角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π﹣θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π﹣θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ．
（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ＝（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是（0，]．

【解题方法点拨】

（1）首先应注意到在tanθ′＝，中两个斜率k1，k2的顺序是不能改变的，θ′是直线l1到直线l2的角，若写成tanθ′＝，则θ′为直线l2到直线l1的角，这两者是有区别的，而在夹角公式tanθ＝中，两直线的斜率没有顺序要求．
（2）在两直线的夹角为900时，我们有k1k2+1＝0若k1k2＝﹣1则直线l1与直线l2垂直，用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题．
20．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

21．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
22．进行简单的合情推理
【知识点的知识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般步骤
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）
（1）找出两类事物之间相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示
①大前提﹣﹣M是P．
②小前提﹣﹣S是M．
③结论﹣﹣S是P．
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