2024年江西省抚州市南城县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江西省抚州市南城县中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果+10℃表示零上10度，则零下3度表示( )
A. +3℃B. −3℃C. +10℃D. −10℃
2.下列计算正确的是( )
A. (a2)3=a6B. a6÷a2=a3C. a3⋅a4=a12D. a2−a=a
3.如图所示摆放的水杯，其俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC=OD；
②分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是( )
A. ∠1=∠2且CM=DMB. ∠1=∠3且CM=DM
C. ∠1=∠2且OD=DMD. ∠2=∠3且OD=DM
5.2024年大年初一甜甜和乐乐去南城县滨江国际影城看电影，分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则她们观看的影片相同的概率为( )
A. 12
B. 13
C. 16
D. 19
6.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1.若点A的坐标为(−4,0)，则下列结论正确的是( )
A. 2a+b=0
B. −4a−2b+c>0
C. x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
D. 点(x1,y1)，(x2,y2)在抛物线上，当x1>x2>−1时，y1二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.2024年全国高考报名人数约13530000人，数13530000用科学记数法表示为______．
8.若关于x的方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为______．
9.小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
10.不等式组2x−1≥3x−2<4的解集为______．
11.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．
12.矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=2.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：(13)−1+(π−2024)0−2sin30°
(2)如图，OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB.求证：△AOB≌△COD
14.(本小题6分)
图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中找点D，连接DA、DB、DC，使得DA=DB=DC．
(2)在图②中找点E，连接AE、BE，使得∠AEB=∠ACB．
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(3aa2−1−1a−1)÷2a−1a+1，选一个你喜欢的a值代入求值．
16.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D分别作AE/​/BD，DE//BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
17.(本小题6分)
如图，一次函数y=mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=−8x(x<0)的图象交于点B(−4,a)．
(1)求点B的坐标；
(2)当△OAB的面积为9时，求一次函数y=mx+n的表达式．
18.(本小题8分)
四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B，C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度).已知AD=BC，DH=208cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6)
19.(本小题8分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，求至少购买多少个A型充电桩？
20.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为5，sinB=35时，求CE的长．
21.(本小题9分)
为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间(分钟)，并对数据进行整理、描述和分析(运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x<70，中等70≤x<80，优等x≥80)，下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a= ______，b= ______，m= ______；
(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
22.(本小题9分)
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B).当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：(2)老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9，AC=12，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果．
23.(本小题12分)
如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，与y轴交于点C.直线y=−3x+3过抛物线的顶点P．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线x=m(−5①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如果+10℃表示零上10度，则零下3度表示−3℃，
故选：B．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，若零上用“+”表示，则零下用“−”表示，据此可得答案．
本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2.【答案】A
【解析】解：A.(a2)3
=a2×3
=a6，
则A符合题意；
B.a6÷a2
=a6−2
=a4，
则B不符合题意；
C.a3⋅a4
=a3+4
=a7，
则C不符合题意；
D.a2与a不是同类项，无法合并，
则D不符合题意；
故选：A．
根据幂的乘方，同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】D
【解析】解：如图所示摆放的水杯，其俯视图为：
．
故选：D．
俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个圆形，右边有一条短线．
此题主要考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM=DM，又OC=OD，OM=OM，因此△OCM≌△ODM(SSS)得到∠1=∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
由△OCM≌△ODM(SSS)推出∠1=∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM(SSS)．
5.【答案】B
【解析】解：设三部电影分别为1，2，3，由题意可得树状图如下图，
，
总共有9种情况，相同的情况有3种，
∴P(相同)=39=13，
故选：B．
用树状图法表示出所有情况及需要情况求解即可得到答案．
本题考查列表和树状图，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵对称轴为直线x=−1，
∴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，故①错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴−4a−(2b−c)<0，
即−4a−2b+c<0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于(−4,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，
∴x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x1>x2>−1时，y1>y2，故④错误，
故选：C．
根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握上述知识点是解决本题的关键．
7.【答案】1.353×107
【解析】解：由题意可得，
13530000=1.353×107，
故答案为：1.353×107．
根据将一个数写成a×10n(1≤|a|<10)的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案．
本题考查科学记数法，正确记忆相关知识点是解题关键．
8.【答案】4
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4m=0，
解得m=4．
故答案为：4．
根据根的判别式的意义得到Δ=(−4)2−4m=0，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】解：∵ab=bc= 2，
∴a= 2b，c= 22b，
∴ac= 2b 22b=2．
故答案为：2．
【解析】根据题意得出a= 2b，c= 22b，进而即可求解．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10.【答案】2≤x<6
【解析】解：2x−1≥3①x−2<4②
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x<6，
∴不等式组的解集为2≤x<6，
故答案为：2≤x<6．
先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式是关键．
11.【答案】6π
【解析】解：由题意得，∠BAH=180°×(8−2)8=135°，
∴S阴影=135π×42360=6π，
故答案为：6π．
先根据多边形内角和定理求出∠BAH=135°，再根据扇形面积计算公式求解即可．
本题主要考查了正多边形与圆，关键是扇形面积公式的应用．
12.【答案】4或2+2 2
【解析】解：分两种情况：①如图1，当∠MND=90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴MN//AB，
∴DNAN=DMBM，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴AN=DN，
∵AN=AB=2，
∴AD=2AN=4；
②如图2，当∠NMD=90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN，
∵∠A=90°，AB=AN=2，
∴BN= AB2+AN2= 22+22=2 2，
∴DN=2 2，
∴AD=AN+DN=2+2 2；
综上所述，AD的长为4或2+2 2，
故答案为：4或2+2 2．
分两种情况，①当∠MND=90°时，②当∠NMD=90°时，根据矩形的性质和勾股定理分别求出DN的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
13.【答案】解：(1)原式=3+1−2×12
=3+1−1
=3；
(2)证明：∵∠AOD=∠COB，∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠COB=∠COD+∠BOD，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB与△COD中，
∵OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)．
【解析】(1)根据a0=1，a−p=1ap，sin30°=12直接求解即可得到答案；
(2)根据∠AOD=∠COB得到∠AOB=∠COD，结合边角边判定即可得到证明；
本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等判断是关键．
14.【答案】解：(1)如图①所示，线段AC的垂直平分线与线段BC垂直平分线的交点D即为所求；
(2)由图形可得，∠C=45°，
根据格点作等腰直角△ABE1，△ABE2，
∴∠AE1B=∠AE2B=∠C=45°，
∴点E如图②所示．

【解析】(1)根据网格的特点，找到线段AC的垂直平分线与线段BC垂直平分线的交点即为所求点D；
(2)根据网格特点得到∠C=45°，根据等腰直角三角形的性质作图即可得到答案．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线的性质等知识是解题的关键．
15.【答案】解：(3aa2−1−1a−1)÷2a−1a+1
=[3a(a+1)(a−1)−a+1(a+1)(a−1)]÷2a−1a+1
=2a−1(a+1)(a−1)⋅a+12a−1
=1a−1，
当a=0时，原式=10−1=−1．
【解析】先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后选择一个让分式有意义的a值代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
16.【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接BE，

∵AE/​/BD，DE//BA，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE=BD，
∵BD=CB，
∴AE=CB，
又∵AE/​/BD，点D在CB的延长线上，
∴AE/​/CB，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵∠C=90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴BE⊥CD；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接CE，BE，

由①可知四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵四边形AEDB是平行四边形，
∴DE=AB，
∴CE=DE．
【解析】选择小星的说法，先证四边形AEDB是平行四边形，推出AE=BD，再证明四边形AEBC是矩形，即可得出BE⊥CD；选择小红的说法，根据四边形AEBC是矩形，可得CE=AB，根据四边形AEDB是平行四边形，可得DE=AB，即可证明CE=DE，
本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是：掌握平行四边形和矩形的判定方法．
17.【答案】解：(1)将B(−4,a)代入y=−8x 中，
a=−8−4=2，
∴B坐标为(−4,2)；
(2)∵S△OAB=12OA×4=9，
∴OA=92，
∴A(0,−92)，
将A(0,−92),B(−4,2)代入y=mx+n中，
−92=n2=−4m+n，
解得：m=−138n=−92，
∴y=−138x−92．
【解析】(1)把将B(−4,a)代入y=−8x 中可得a的值，进而可求出B坐标为(−4,2)；
(2)先求出A(0,−92).将A(0,−92),B(−4,2)代入y=mx+n中，用待定系数法求得一次函数解析式．
本题考查了一次函数与反比例函的交点问题，掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面积是解题关键．
18.【答案】解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，

∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC//AH，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠ADC=∠GAE=60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH=208cm，
∴DK=288−208=80(cm)，
在Rt△CDK中，CD=DKcs60∘=8012=160(cm)，
如图，当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，

在Rt△CDQ中，CD=160cm，
∴DQ=CD⋅cs54°≈160×0.6=96(cm)，
∴96−80=16(cm)，
∴点C离地面的高度升高约16cm．
【解析】当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC//AH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB/​/CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC=∠GAE=60°，再根据已知可得DK=80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，
根据题意得：18x=24x+0.3，
解得：x=0.9，
经检验，x=0.9是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.3=0.9+0.3=1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，依据题意得：
0.9m+1.2(25−m)≤26，
解得：m≥403，
∴m=14，
答：至少购买14个A型充电桩．
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，利用数量=总价÷单价，结合用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A型充电桩的单价，再将其代入(x+0.3)中，即可求出B型充电桩的单价；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，根据购买总费用不超过26万元即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵CE⊥AD，
∴∠E=90°，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB=∠OCD，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO=∠D，
∴∠D=∠OCD，
∴OC/​/DE，
∴∠OCE=∠E=90°，
∵OC是圆的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sinB=ACAB=35，
∴AC=6，
∵∠OCE=∠ACO+∠OCB=∠ACO+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠OCB=∠B，
∴sin∠ACE=sinB=AEAC=35，
解得：AE=3.6，
∴CE= AC2−AE2=4.8．
【解析】(1)根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；
(2)根据三角函数的意义及勾股定理求解．
本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．
21.【答案】72 70.5 10
【解析】解：(1)A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a=72，
把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b=70+712=70.5，
m%=1−50%−40%=10%，即m=10．
故答案为：70，70.5，10；
(2)A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；(答案不唯一)；
(3)200×610+120×(1−40%)=120+72=192(架)，
答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
(1)根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；
(2)可比较中位数，众数与方差得出结论；
(3)利用样本估计总体可求解．
本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：
∵∠BED=90°，
∴∠BEG=180°−BED=90°，
∵∠ABE=∠A，
∴AC/​/BE，
∴∠CGE=∠BED=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC=BE．
∴矩形BCGE为正方形；
(2)①结论：AM=BE．
理由：∵∠ABE=∠BAC，
∴AN=BN，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABF=12AN⋅BC=12BN⋅AM，
∵AN=BN，
∴BC=AM.由(1)得BE=BC，
∴AM=BE．
②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，
∵△ACB≌△DEB，
∴BE=BC=9，DE=AC=12，∠A=∠D，∠ABC=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBM，
∵∠CBE=∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∴MD=MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得AB= AC2+BC2=15，
∴DG=12BD=152，
∵cs∠D=DGDM=DEBD，
∴DM=DG⋅BDDE=152×1512=758，即BM=DM=758，
∴AM=AB−BM=15−758=458，
∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH=∠BME，
∴△AMH∽△BME，
∴AHBE=AMBM=35，
∴AH=35BE=35×9=275，即AH的长为275．
【解析】(1)先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB=△DEB可得BC=BE，从而得四边形BCGE是正方形；
(2)①由已知∠ABE=∠BAC可得AN=BN，再由等积方法S△ABF=12AN．BC=12BN−AM，再结合已知即可证明结论；
②设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，则易得MD=MB，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，
∴抛物线对称轴为直线x=1−52=−2，
在y=−3x+3中，令x=−2得y=9，
∴抛物线顶点为(−2,9)，
设抛物线函数解析式为y=a(x+2)2+9，
将A(1,0)代入得：
0=9a+9，
解得a=−1，
∴抛物线函数解析式为y=−(x+2)2+9=−x2−4x+5；
(2)①如图：

在y=−x2−4x+5中，令x=0得y=5，
∴C(0,5)，
由B(−5,0)，C(0,5)得直线BC解析式为y=x+5，
∴E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，
∴EF=−m2−4m+5−(m+5)=−m2−5m=−(m+52)2+254，
∵−1<0，
∴当m=−52时，EF取最大值254，
∴m的值为−52，EF的最大值为254；
②∵E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，C(0,5)，
∴EF2=(m2+5m)2，EC2=m2+(m2+4m)2，FC2=2m2；
若EF=EC，则(m2+5m)2=m2+(m2+4m)2，
解得m=0(E与C重合，舍去)或m=−4，
∴E(−4,5)；
若EF=FC，则(m2+5m)2=2m2，
解得m=0(舍去)或m= 2−5或m=− 2−5(不符合题意，舍去)，
∴E( 2−5,−2+6 2)；
若EC=FC，则m2+(m2+4m)2=2m2，
解得m=0(舍去)或m=−3或m=−5(不符合题意，舍去)，
∴E(−3,8)；
综上所述，E的坐标为(−4,5)或( 2−5,−2+6 2)或(−3,8)．
【解析】(1)由抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，得抛物线对称轴为直线x=1−52=−2，即可得抛物线顶点为(−2,9)，设抛物线函数解析式为y=a(x+2)2+9，将A(1,0)代入可得a=−1，故抛物线函数解析式为y=−(x+2)2+9=−x2−4x+5；
(2)①求出C(0,5)，得直线BC解析式为y=x+5，故E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，得EF=−m2−4m+5−(m+5)=−(m+52)2+254，根据二次函数性质可得答案；
②由E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，C(0,5)，得EF2=(m2+5m)2，EC2=m2+(m2+4m)2，FC2=2m2；分三种情况列方程可解得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE=DE．
类别
A
B
平均数
70
70
中位数
71
b
众数
a
67
方差
30.4
26.6