2024年山东省临清市中考模拟检测(三)数学试题（学生版+教师版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 在0，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较、求一个数的绝对值、负整数指数幂，掌握负数正数；两个负数，绝对值大的反而小是本题的关键，是一道基础题．
根据负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴最小的数是．
故选：B．
2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代 表“大雪”、“白露”、“芒种”、“立春”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为，
故选：B．
4. 直线BD∥EF，两个直角三角板如图摆放，若∠CBD＝10°，则∠1＝（ ）
A. 75°B. 80°C. 85°D. 95°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角板求出∠ABC=30°，∠F=45°，利用角的和求出∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+10°=40°，利用平行线性质求出∠FAB=∠ABD=40°，再根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵△ABC是含30°的三角板，△DEF为含45°的三角板，
∴∠ABC=30°，∠F=45°，
∵∠CBD＝10°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+10°=40°，
∵EF∥BD，
∴∠FAB=∠ABD=40°，
∴∠1=180°-∠F-∠FAB=180°-45°-40°=95°．
故选D．
【点睛】本题考查三角板中角的计算，平行线的性质，三角形内角和，掌握三角板中角的计算，平行线的性质，三角形内角和是解题关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项的法则，同底数幂乘法法则积的乘方法则．根据合并同类项的法则，同底数幂乘法法则和积的乘方法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：A、，A选项错误，
B、，B选项错误，
C、，C选项错误，
D、，故D选项正确，
故选：D．
6. 下列说法正确是（ ）
A. 检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是
C. 数据1，4，9，5，7，10的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查和抽样调查、例举法求解概率、中位数、方差的意义分别进行判断即可．
【详解】解：A．检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；
B．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任取三条，共有2、3、4；2、3、5；2、4、5； 3、4、5；四种，能够组成三角形有三种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是，故选项错误，不符合题意；
C．数据1，4，9，5，7，10；按照从小到大的顺序排列为：1，4，5，7，9，10
∴中位数是，故选项准确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据稳定，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了普查和抽样调查、利用例举法求解概率、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7. 为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．
根据的正切可得，而，进而即可求解．
【详解】解：在直角三角形中，，
，
根据题意可得：，
，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是关键．
作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，通过，求得、的坐标，根据全等三角形的性质可以求得、的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得的坐标，求出，即可求出．
【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，
在中，令，解得：，即的坐标是．
令，解得：，即的坐标是．
则．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴，
同理，，
，
故的坐标是的坐标是．
代入得：，则函数的解析式是：．
，
则的横坐标是2，把代入得：．
即的坐标是，
，
，
故选：B．
9. 数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是圆与圆的位置关系，圆锥的理解，勾股定理的应用，正方形的性质，弧长的计算，选择合适的方法解题是关键，先设正方形的边长为，设小圆的半径为，再分别计算每个选项的小圆的周长与扇形的弧长，再比较即可．
【详解】解：设正方形的边长为，
如图，连接，，则，
，在上，
设，
过作于，连接，
∴四边形为矩形，
∴，，，
而，
∴，
解得：（舍去），，
∴大半圆的弧长为，
小圆的周长为，故A不符合题意；
如图，
由正方形与圆的性质可得：，
∴大的半圆的弧长为，
小圆的周长为，故B符合题意；
如图，连接，，则，
设，
同理可得：，，，
∴，
解得：，
∴∴大的扇形的弧长为，
小圆的周长为，故C不符合题意；
如图，连接，，

设，
当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长，
∴，
∴，
而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意；
故选B
10. 如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（ ）

A. B. C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，动点问题的函数图象，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理．
连接交于点，连接，由当时，的值恒等于1，推出点的运动路径是的中位线，则可得到，再由当时，，求出，由菱形的性质求出的长即可得到答案．
【详解】解：连接交于点，连接，如图，

由题意知，当时，的值恒等于1，
∴．
∴点的运动路径是的中位线，且．
∵当时，，
∴．
由菱形的性质可得，
，
，
，
，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件．
【详解】要使在实数范围内有意义，
必须且．
故答案为x≥-1且x≠2
【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件．
12. 已知，，则_________．
【答案】37
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：．
根据完全平方公式得到，然后把，代入计算即可．
【详解】解：因为，
所以
故答案为：37．
13. 如图数轴上表示了某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，熟练的建立不等式解题是解本题的关键．
由数轴可得不等式的解集为，再结合是该不等式的一个解，可得， 再解不等式可得答案．
【详解】不等式的解集为，且是该不等式的一个解
解得：
故答案为：
14. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据题意可得，再由一元二次方程根的判别式，可得，再把代入，解出即可．
【详解】解：∵是“凤凰”方程，
∴，即，
∵有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：-2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15. 如图，，以为圆心，4为半径画弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交弧于点，为上一动点，连接，．那么的最小值是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造的最小值，是解题的关键．先作点D关于的对称点，连接交于点，连接O，则，此时，的最小值，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：平分，
∴，
作点D关于的对称点，连接B交于点，连接，
则，此时，的最小值，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值，
故答案是：4．
16. 如图，正方形的边长为1，以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，，围成阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，与围成阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设，，围成阴影部分面积为，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，解直角三角形，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
正方形的边长为1，则，以为圆心，为半径作扇形，得到；以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，得到，依此类推得到，于是得到结论．
【详解】解：正方形的边长为1，
∴，，
以为圆心，为半径作扇形，
得到；
以对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，
则，
得到；
依此类推得到，
得到，
故，
故．
故答案为：．
三、解答题：本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，满足．
【答案】（1）；（2），2
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分别计算绝对值，平方根，立方根，乘方和乘法运算，在计算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据，可得，再整体代入化简后的式子计算即可．
【详解】（1）
；
（2）解：
，
，
，
∴原式．
18. 如图，延长矩形的边到点，使，连接，是上一点，连接交于点，交于点．

（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例性质等知识，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
（1）先根据四边形是矩形，可得，再得出，由四边形是平行四边形，可得，再由平行线分线段成比例定理可得最后可得结论；
（2）由平行线性质可得，再由直角三角形性质可得，再证明，再由相似三角形的性质可得，求得，最后可得结果．
【小问1详解】
四边形是矩形，
．
，
四边形是平行四边形，
，
．
【小问2详解】
，
．
．
，
，
即
，
．
19. 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
【答案】任务一：每个排球80元，每个足球100元．任务二：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键．
（1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可．
（2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可．
【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元，
根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每个排球80元，每个足球100元．
任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得，
解得，
设总费用为w元，根据题意，
故y随x的增大而减小，
∴时，w最小，最小为4000元，
故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
20. 为提高全体学生校园安全意识，学校在本校2000名学生中采取随机抽样的方式进行校园安全知识测试（满分100分），并将测试成绩分为A，B，C，D，E五级进行整理，以下是部分数据和不完整的统计图表．
等级为B的成绩：81，89，82，83，81，82，85，82，86，80．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）_________，_________；
（2）B等级成绩的众数为_________；
（3）请补全条形统计图；
（4）如果不低于80分的成绩记为优秀，根据调查结果，估计该校学生成绩为优秀的人数．
【答案】（1），
（2）82 （3）见详解
（4）估计该校学生成绩优秀的人数为720人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据成绩为的人的成绩的人数即可求出，首先根据组的人数和在扇形图中的度数求出总人数，然后根据组的人数求出所占的百分比；
（2）根据众数的概念求解即可；
（3）用总人数减去其他四组的人数即可求出的值，进而补全条形统计图即可；
（4）根据样本估计总体的方法求解即可．
【小问1详解】
解：∵成绩为的人的成绩：，共10人，
∴频数，
样本容量：（人），
成绩为的人百分比为：，
∴；
【小问2详解】
∵成绩为的人的成绩：
出现的次数最多，
∴等级成绩的众数为82；
【小问3详解】
，
补全统计图如下：
小问4详解】
解：（人)，
∴估计该校学生成绩优秀的人数为720人．
21. 如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．
【解析】
【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，
则，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤坝高为8米，山高为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，是的内接三角形，点，分别在直径，弦上，点在线段的延长线上，连接．
（1）请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．
①；②；③是的切线．
你选择的补充条件是_________，结论是_________；（填写序号）
（2）在（1）的条件下，若，，．
①求，的长；②求的半径．
【答案】（1）；，证明见解析
（2）①，；②的半径为
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，，由对顶角的性质得到，由直角三角形的性质即可推出，即可证明问题；
（2）①作于，由，得到，由三角形内角和定理得到，因此，得到，即可求出，由勾股定理求出，由，求出的长，得到的长，可得的长；②由，即可求出，得到圆的半径长．
【小问1详解】
解：补充条件是，结论是，理由如下：

连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：①作于，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∴；
②∵，，
∴，
，
，
，
的半径长是．
【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，切线的判定，关键是由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出；由锐角的正切求出长，由和．
23. 如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，其中，，点从点出发，在线段上以1单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作PQ∥BC，交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用含的代数式表示直线的解析式；
（3）当为何值时，的面积最大？求出面积的最大值．
【答案】（1）
（2）直线为
（3）当时，面积最大，最大面积为
【解析】
【分析】（1）利用交点式直接可得抛物线的解析式；
（2）先求解顶点坐标为，再求解的解析式，结合进一步解答即可；
（3）先求解的解析式为：，再求解，利用，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线（，是常数）过，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴顶点坐标为，
设直线为，
，
解得：，
∴为，
∵，
设为，
∵，
当时，
∴，即，
当时，
∴，即，
∴，
∴，
∴直线为；
【小问3详解】
∵，，
同理可得：的解析式为：，
∴，
解得：，
∴，
∴
，
当时，面积最大，最大面积为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的应用，二次函数与动态图形的面积，熟练的表示，的坐标是解本题的关键．
24. 【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】
如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析
【解析】
【分析】（1）由，，推出，进而得出结论；
（2）在上截取，连接，可证得，从而，进而得出；
（3）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，可得出，从而，进一步得出结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
；
（2）解：如图，

在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
故答案为：；
（3）证明：如图，

以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”．
如何确定排球和足球购买方案？
素材1
某体育器材店每个排球价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等．
素材2
该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1
请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2
运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
成绩等级
分数段
频数
A
8
B
C
D
7
E
5