2024年甘肃省武威二十中联片教研中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年甘肃省武威二十中联片教研中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
2.若单项式2x3ym和−15y2xn的和也是单项式，则mn的值为( )
A. 8B. 6C. 5D. 9
3.下面的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.已知x=2y=a是方程3x−y=5的一个解，则a的值为( )
A. a=−1B. a=1C. a=73D. a=−73
5.下列调查中，适合用全面调查的是( )
A. 了解20万只节能灯的使用寿命
B. 了解某班35名学生的视力情况
C. 了解某条河流的水质情况
D. 了解全国居民对“垃圾分类”有关内容的认识程度
6.如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为( )
A. 5.5cm2
B. 6cm2
C. 5cm2
D. 4.5cm2
7.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 3− 3=3C. 24÷ 6=4D. 3× 5= 15
8.如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且AD=CD，∠E=70°，则∠ABC的度数为( )
A. 30°
B. 40°
C. 35°
D. 50°
9.如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE=2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为( )
A. 2
B. 83
C. 3
D. 103
10.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1：2，连接AC，过点O作OP/​/AB交AC的延长线于P.若P(1,1)，则tan∠OAP的值是( )
A. 33B. 22C. 13D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若2am+1b2与−3a3bn是同类项，则m+n的值为______．
12.在平面直角坐标系中，如果点A(m+32,2m−13)在第四象限，则m的取值范围是______．
13.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是______．
14.若关于x的方程x−4x−5=m5−x有增根，则m= ______．
15.如图，正方形ABCD中，点E为BC边上一点，点F为AB左侧一点，∠AFE=∠FED=90°，若DE=4，EF=3，则AB= ______．
16.如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB= ______．
17.如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5，OA：OD=1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是______．
18.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点且sin∠CAB=35，E，F分别为AC，BC的中点，弦EF分别交AC，CB于点M，N.若MN=3 2，则AB= ______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：|− 3|+(12)−1+(π+1)0−tan60°；
(2)先化简，再求值：(2xx−3+3xx+3)÷x2x2−9，其中x= 3．
20.(本小题4分)
如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在线段AC上找一点D，使得ADCD=34．
(2)如图2，画出△ABC的角平分线BE．
21.(本小题6分)
某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械.该厂经过调研发现：当生产线适当减少后(减少的条数在总条数的20%以内时)，每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台，若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
22.(本小题6分)
某校团委决定组织部分学生参加主题研学活动，全校每班可推选2名代表参加，901班根据各方面考核，决定从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名参与研学活动．
(1)若甲已抽中，求从剩余3名学生中抽中乙参与研学的概率；
(2)用画树状图或列表等适当的方法求甲和乙同时参与研学的概率．
23.(本小题6分)
如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF.求证：AF=EC．
24.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF．
(1)求证：∠B=∠C；
(2)连接AD，求证：AD⊥BC．
25.(本小题7分)
如图，矩形ABCD中，⊙O经过点A，且与边BC相切于M点，⊙O过CD边上的点N，且CM=CN．
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若BE=2，AE=6，求BC的长．
26.(本小题7分)
如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．
(1)求证：△ABF∽△EAD．
(2)若AB=10，BC=6，DE=3，求BF的长度．
27.(本小题6分)
在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度.如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2m，已知此时高1.2m的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高度是多少？
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵单项式2x3ym和−15y2xn的和也是单项式，
∴2x3ym和−15y2xn是同类项，
∴n=3，m=2，
∴mn=23=8，
故选：A．
根据同类项定义列式求出m与n的值，代入求解即可得到答案．
本题考查合并同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】B
【解析】解：将x=2y=a代入原方程得：3×2−a=5，
解得：a=1，
∴a的值为1．
故选：B．
将x=2y=a代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.了解20万只节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.了解某班35名学生的视力情况，适合用全面调查，故本选项符合题意；
C.了解某条河流的水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.了解全国居民对“垃圾分类”有关内容的认识程度，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
由普查得到的调查结果比较准确，但耗费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.【答案】C
【解析】解：延长AP交BC于M，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠MBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠BPM=90°，
∴∠BAP=∠BMP，
∴AB=BM，
∵AP⊥BP，
∴AP=MP，
∴△MPB的面积=△APB的面积，△CPM的面积=△CAP的面积，
∴△MPB的面积+△CPM的面积=△APB的面积+△CAP的面积，
∴△PBC的面积=12×△ABC的面积=12×10=5(cm2).
故选：C．
延长AP交BC于M，由角平分线定义得到∠ABP=∠MBP，由垂直的定义得到∠APB=∠BPM=90°，由三角形内角和定理推出∠BAP=∠BMP，得到AB=BM，由等腰三角形的性质推出AP=MP，得到△MPB的面积=△APB的面积，△CPM的面积=△CAP的面积，推出△PBC的面积=12×△ABC的面积=12×10=5(cm2).
本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，关键是判定AB=BM，由等腰三角形的性质推出AP=MP．
7.【答案】D
【解析】解：A． 2与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B.原式=2 3，所以B选项不符合题意；
C.原式= 24÷6= 4=2，所以C选项不符合题意；
D.原式= 3×5= 15，所以D选项符合题意；
故选：D．
分析：
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握常见辅助线的添法是解题的关键．
连接OD，BD.先求出∠A的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠AOD的度数，进而可求出∠ABD的度数，最后根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠ABC=2∠ABD=40°即可．
【解答】
解：如图，连接OD，BD．
∵∠E=70°，
∴∠A=∠E=70°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠AOD=180°−2∠A=40°．
∴∠ABD=12∠AOD=20°．
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD．
∴∠ABC=2∠ABD=40°．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：延长AD，BE交于点F，
∵⊙O与AF，BF，AB均相切，
∴⊙O是△ABF内切圆，
又∵AF/​/BC，
∴△ABF∽△CEB，
∴ABCE=DE+CECE=3，
∴xy=ABCE=3．
故选：C．
延长AD，BE交于点F，延长AD，BE交于点F，首先推导出△ABF∽△CEB，然后利用相似三角形的性质得到ABCE=DE+CECE=3，进而得解．
本题主要考查了三角形的内切圆与内心，矩形的性质，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP/​/AB，
∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC=OC：BC=1：2，
∵∠AOC=∠AQP=90°，
∴CO//PQ，
∴OQ：AO=CP：AC=1：2，
∵P(1,1)，
∴PQ=OQ=1，
∴AO=2，
∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13．
故选：C．
根据OP/​/AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC=OC：BC=1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC=∠AQP=90°，得到CO//PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2，根据P(1,1)，得到PQ=OQ=1，得到AO=2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵2am+1b2与−3a3bn是同类项，
∴m+1=3，n=2，
解得：m=2，n=2，
∴m+n=2+2=4，
故答案为：4．
根据同类项的定义可得：m+1=3，n=2，从而可得：m=2，n=2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
12.【答案】−3【解析】解：∵点A(m+32,2m−13)在第四象限，
∴m+32>02m−13<0，
解得：−3即m的取值范围是：−3故答案为：−3根据定在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了点的坐标与解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
13.【答案】六
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和定理即n边形的内角和为(n−2)⋅180°，难度较易．根据n边形的内角和(n−2)⋅180°即可求得．
【解答】
解：∵n边形的内角和为(n−2)⋅180°，
∴(n−2)×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是六．
故答案为六．
14.【答案】−1
【解析】解：两边都乘以x−5，得
x−4=−m，
由于分式方程有增根x=5，
当x=5时，即5−4=−m，
解得m=−1．
故答案为：−1．
根据分式方程增根的定义进行计算即可．
本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的意义是正确解答的关键．
15.【答案】2 3
【解析】解：延长AF、CB交于点G，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB/​/DC，AB=DC=BC，
∴∠ABG=∠C=90°，
∵∠AFE=∠FED=90°，
∴∠AFE+∠FED=180°，
∴AF//DE，
∴∠G=∠DEC，
在△ABG和△DCE中，
∠G=∠DEC∠ABG=∠CAB=DC，
∴△ABG≌△DCE(AAS)，
∴BG=CE，AG=DE=4，
∴GE=BG+BE=CE+BE=BC=AB，
∵AB⊥GE，EF⊥AG，且EF=3，
∴12×GE⋅AB=12AB2=12×4×3=S△AGE，
∴AB=2 3或AB=−2 3(不符合题意，舍去)，
故答案为：2 3．
延长AF、CB交于点G，连接AE，由正方形的性质得AB//DC，AB=DC，则∠ABG=∠C=90°，再证明AF/​/DE，则∠G=∠DEC，可证明△ABG≌△DCE，得BG=CE，AG=DE=4，推导出GE=BC=AB，则12×GE⋅AB=12AB2=12×4×3=S△AGE，求得AB=2 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】36°
【解析】解：连接OB，OA，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∠AOB=360°5=72°，
∴∠OAB=12(180°−∠AOB)=54°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°．
∴∠BAP=90°−54°=36°．
故答案为：36°．
连接OB，OA多边形是正五边形可求出∠AOB的度数，再根据三角形内角和即可求出∠OAB的度数，利用切线的性质求出∠PAB即可．
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、弦切角定理；作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
17.【答案】( 5−1,2)
【解析】解：∵矩形ABCD的边 AD=5，OA：OD=1：4，
∴OD=4，OA=1，BC=AD=5，AB=CD，AB/​/x轴，∠D=∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠D1OC1，∠BAO=∠D1=90°，
∴△AOB∽△D1C1O，ABD1O=OAD1C1，
由折叠性质得OD1=OD=4，CE=C1E，∠D1=∠D，D1C1=CD=AB，
∴AB4=1AB，则AB=2 (负值舍去)，
∴CD=2，
如图，OC1=OC= CD2+OD2= 22+42=2 5，OF=AB=2，
∴C1F=OC1−OF=2 5−2，
设EF=x，则EC1=CE=5−x，
由EF2+C1F2=EC12得x2+(2 5−2)2=(4−x)2，
解得x= 5−1，
综上，点E坐标为( 5−1,2)，
故答案为：( 5−1,2)
先证明△AOB∽△D1C1O求得AB=CD=2，设EF=x，分别由勾股定理求解OC1=OC=2 5、x值即可．
本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．
18.【答案】15
【解析】解：如图，连接OE，OF分别交AC，BC于点P，Q．
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC．
又∵AB为⊙O的直径，OE=OF，
∴∠EOF=12∠AOB=12×180°=90°，
∴∠E=∠F=45°，
∴∠EMP=∠CMN=∠CNM=∠FNQ=45°，
∴△PEM，△QFN，△OEF，△CMN都是等腰直角三角形．
∵MN=3 2，
∴CM=CN= 22MN= 22×3 2=3．
∵sin∠CAB=35，
设BC=3x，则AB=5x，由勾股定理可得AC= AB2−BC2=4x．
又∵OE⊥AC，OF⊥BC，OA=OB，
∴AP=PC=OQ=12AC=2x，OP=QC=QB=12BC=32x，
∴PE=PM=PC−CM=2x−3，OP=OE−PE=52x−2x+3．
又∵OP=CQ，
∴52x−2x+3=32x，
解得x=3，
∴AB=5x=15．
由于点E、F分别为AC，BC的中点，根据垂径定理可得OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC，再由直径所对的圆周角是直角得出△PEM、△QFN、△OEF、△CMN都是等腰直角三角形，根据sin∠BAC=35，设未知数，表示ME，NF，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)|− 3|+(12)−1+(π+1)0−tan60°
= 3+2+1− 3
=3；
(2)(2xx−3+3xx+3)÷x2x2−9
=2x(x+3)+3x(x−3)(x+3)(x−3)⋅(x+3)(x−3)x2
=2(x+3)+3(x−3)x
=2x+6+3x−9x
=5x−3x，
当x= 3时，原式=5 3−3 3=5− 3．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，点D即为所求；
(2)如图所示，线段BE即为所求．
【解析】(1)利用数形结合的思想画出图形即可；
(2)根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：设应减少x条生产线，则每条生产线每个月可生产(8+410x)台该种医疗器械，
依题意得：(80−x)(8+410x)=840，
整理得：x2−60x+500=0，
解得：x1=10，x2=50．
∵x<80×20%=16，
∴x=10．
答：应减少10条生产线．
【解析】设应减少x条生产线，则每条生产线每个月可生产(8+410x)台该种医疗器械，根据每个月的产能=开工生产线的数量×每条生产线每个月的产能，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合减少的条数在总条数的20%以内，即可确定x值．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得，从剩余3名学生中抽中乙参与研学的概率为13．
(2)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同时参与研学的结果有2种，
∴甲和乙同时参与研学的概率为212=16．
【解析】(1)直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB/​/CD
∵BE=DF
∴AE=CF
∵AB/​/CD
∴四边形CEAF是平行四边形
∴AF=EC．
【解析】根据ABCD是平行四边形，得出AB=CD，AB/​/CD，由BE=DF，从而可得到AE=CF，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF是平行四边形，从而不难得到结论．
此题主要考查学生对平行四边形的性质及判定的理解及运用，关键是根据平行四边形的性质和判定解答．
24.【答案】(1)证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C；
(2)
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC底边上的中线，
∴AD也是△ABC底边上的高，即AD⊥BC．
【解析】(1)先证明BD=CD，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
(2)先证明AB=AC，再利用等腰三角形的性质可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记全等三角形的判定方法与等腰三角形的三线合一是解本题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OM、ON、OC，如图，
∵⊙O与BC边相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
在△OCN和△OCM中，
OM=ONOC=OCCM=CN,
∴△OCN≌△OCM(SSS)，
∴∠ONC=∠OMC=90°，
∴ON⊥CD，
∵ON为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
(2)解：延长NO交AB于点P，连接OA，如图，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠B=90°，
∵OM⊥BC，ON⊥CD，
∴四边形MCNO是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MCNO是正方形，
∴ON=NC=MC，ON/​/BC，
∴∠APO=∠OPB=∠B=90°，
由垂径定理得PE=AP=12AE=3，
∵BE=2，AE=6，
∴AB=8，
∴BP=2+3=5，
∵∠OPB=∠B=90°，OM⊥BC，
∴四边形BMOP是矩形，
∴OM=BP=5，PO=BM，
∴AO=ON=5，
由勾股定理得PO= AO2−AP2=4，
∴BC=BM+MC=OP+ON=4+5=9．
【解析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定、垂径定理和勾股定理．
(1)连接OM、ON、OC，如图，先根据切线的性质得到∠OMC=90°，再证明△OCN≌△OCM得到∠ONC=∠OMC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
(2)延长NO交AB于点P，连接OA，如图，根据正方形的判定得到四边形MCNO是正方形，根据正方形的性质得到ON=NC=MC，ON/​/BC，由垂径定理得PE=AP=12AE=3，然后根据矩形的判定得到四边形BMOP是矩形，根据矩形的性质得到OM=BP=5，PO=BM，由勾股定理得PO= AO2−AP2=4，即可求出BC=BM+MC=OP+ON=4+5=9．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∴∠EAD+∠BAF=90°，
∵BF⊥AE于点F，
∴∠AFB=90°=∠D，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∴△ABF∽△EAD；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=90°，
∵DE=3，
∴EA= AD2+DE2= 62+32=3 5，
由(1)知，△ABF∽△EAD，
∴BFAD=ABEA，
∵AB=10，
∴BF6=103 5，
∴BF=4 5．
【解析】(1)根据矩形的性质、直角三角形的性质求出∠AFB=∠D，∠EAD=∠ABF，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(2)由矩形的性质得AD=BC=6，∠BAD=∠D=90°，根据勾股定理求出EA，再根据相似三角形的性质求解即可．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，证明△ABF∽△EAD是解题的关键．
27.【答案】解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，DE=BC=5m，CD=BE=2m，
根据题意得AEDE=1.21，
∴AE=1.2DE=1.2×5=6(m)，
∴AB=AE+BE=6+2=8(m)．
答：这棵大树高度是8m．
【解析】过D点作DE⊥AB于E点，如图，DE=BC=5m，CD=BE=2m，由于“在同一时刻物高与影长的比相等”，则AEDE=1.21，于是可求出AE，然后计算AE+BE即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决问题．
28.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+2得：
a−b+2=016a+4b+2=0，
解得a=−12b=32，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PK/​/y轴交BC于K，如图：

在y=−12x2+32x+2中，令x=0得y=2，
∴C(0,2)，
由B(4,0)，C(0,2)得直线BC解析式为y=−12x+2，
设P(t,−12t2+32t+2)，则K(t,−12t+2)，
∴PK=−12t2+32t+2−(−12t+2)=−12t2+2t，
∴S△PBC=12PK⋅|xB−xC|=12×(−12t2+2t)×4=−t2+4t=−(t−2)2+4，
∵−1<0，
∴当t=2时，S△PBC取最大值4，此时P(2,3)，
∴△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为(2,3)；
(3)抛物线上存在点Q，使∠QCB=45°，理由如下：
当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，如图：

∵∠QCB=45°，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴∠BTC=90°，BT=CT，
∴∠CTN=90°−∠BTM=∠TBM，
∵∠M=∠TNC=90°，
∴△BTM≌△TCN(AAS)，
∴BM=NT，TM=CN，
设T(m,n)，则NT=m，BM=n，
∵B(4,0)，C(0,2)，
∴TM=MN−NT=4−m，CN=ON−OC=n−2，
∵BM=NT，TM=CN，
∴n=m4−m=n−2，
解得m=3n=3
∴T(3,3)，
由C(0,2)，T(3,3)得直线CT解析式为y=13x+2，
联立y=13x+2y=−12x2+32x+2，
解得x=73y=259，
∴Q(73,259)；
当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，如图：

同理可得△BSR≌△RWC(AAS)，
∴BS=RW，RS=CW，
设R(p,q)，
∴−q=p4−p=2−q，
解得p=1q=−1，
∴R(1,−1)，
∴直线CR解析式为y=−3x+2，
联立y=−3x+2y=−12x2+32x+2，
解得x=9y=−25，
∴Q(9,−25)，
综上所述，Q的坐标为(73,259)或(9,−25)．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PK/​/y轴交BC于K，求出C(0,2)，直线BC解析式为y=−12x+2，设P(t,−12t2+32t+2)，可得PK=−12t2+32t+2−(−12t+2)=−12t2+2t，故S△PBC=12PK⋅|xB−xC|=12×(−12t2+2t)×4=−t2+4t=−(t−2)2+4，根据二次函数性质可得答案；
(3)当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，证明△BTM≌△TCN(AAS)，有BM=NT，TM=CN，设T(m,n)，可得n=m4−m=n−2，即知T(3,3)，直线CT解析式为y=13x+2，联立y=13x+2y=−12x2+32x+2，解得Q(73,259)；当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，同理可得Q(9,−25)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．