2024年山东省枣庄市部分中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省枣庄市部分中学中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. x2+x2=x4B. (2x2)3=6x6C. 4x6+2x2=2x3D. x⋅x3=x4
2.如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2：1，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是( )
A. −2a+3
B. −2a+1
C. −2a+2
D. −2a−2
3.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E.若△ADE的周长为15，AC=7，则AB的长为( )
A. 4B. 8C. 9D. 10
4.2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps表示每秒传输10000000000位(bit)的数据.将10000000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.1×1011B. 1×1010C. 1×1011D. 10×109
5.定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如[3.6]=3,[− 3]=−2，按此规定，若[1−3x2]=−1，则x的取值范围为( )
A. 136.世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
7.若3个正数a1，a2，a3的平均数是a，且a1>a2>a3，则数据a1，a2，0，a3的平均数和中位数是( )
A. a1，a2B. 34a,a2+a32C. 34a,a22D. 34a,a1+a22
8.如图，△ABC内接于⊙O，AC=BC=8，AD是⊙O的直径，连结BD，AE平分∠BAC交BD于E，若DE=2，则⊙O的半径为( )
A. 92
B. 133
C. 174
D. 5
9.如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为( )
A. 30×18−30x−18x=480B. (30−x)(18−x)=480
C. 30x+18x=480D. (30−x)(18−x)+x2=480
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的图象关于直线x=−1对称，则下列五个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a−3b+c<0；④a(m2−1)+b(m+1)≤0(m为任意实数)；⑤3a+c<0.其中正确的是( )
A. ①②③
B. ②③⑤
C. ①②④⑤
D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(∠C=60°,∠F=45°)，其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF=______°.
12.已知实数a，b满足3a2+4a−2=0，3b2+4b−2=0，则ab+ba= ______．
13.已知关于x的方程3xx−2=1−m2−x的解为正数，则m的取值范围为______．
14.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF.若∠AOE=150°，DF= 3，则EF的长为______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(x>0)的图象与半径为10的⊙O交于A，B两点，若∠AOB=60°，则k的值是______．
16.已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2=1+a11−a1，a3=1+a21−a2，a4=1+a31−a3，⋯，an+1=1+an1−an，若a1=2，则a2024的值是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：|− 3|+(12)−1+(π+1)0−tan60°；
(2)先化简，再求值：(2xx−3+3xx+3)÷x2x2−9，其中x= 3．
18.(本小题12分)
某学校对校内社团活动进行了调查，分别从A足球，B音乐，C舞蹈，D美术，E书法五个项目了解学生的参与情况，对部分学生参与的社团活动类别进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：

(1)此次抽样调查的样本容量是______；
(2)将图1中的条形统计图补充完整；
(3)图2中，“E”所占圆心角的度数是______；
(4)若该学校共有学生1200人，请估算该校参与足球社团的学生人数．
19.(本小题8分)
某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
(1)求A，B两种商品每件的利润；
(2)已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
20.(本小题8分)
如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，∠AEB=53°，∠CED=45°，已知BE=60米，ED=20米.求两栋楼楼顶A，C之间的距离(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43，测角仪的高度忽略不计)．
21.(本小题9分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知点A的坐标是(2,3)，BC=2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式kx+b>mx的解集；
(3)点P为反比例函数y=mx在第一象限内的图象上一点，若S△POC=2S△ABC，求点P的坐标．
22.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若AB与PC交于点M，PA=PM，且BC=4 2，求阴影部分的面积．
23.(本小题9分)
综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；
解决问题：
(3)如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长．
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−14x2+bx+c与x轴分别相交于A(−2,0)，B(8,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②若G是AC的中点，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、x2+x2=2x2，故A不符合题意；
B、(2x2)3=8x6，故B不符合题意；
C、4x6与2x2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、x⋅x3=x4，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2.【答案】A
【解析】【分析】
设点B′的横坐标为x，用a、x表示出点B、C，点B′、C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离之比等于对应边的比列出方程是解题的关键．、
【解答】
解：设点B′的横坐标为x，
则点B、C间的水平距离为a−1，点B′、C间的水平距离为−x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2(a−1)=−x+1，
解得：x=−2a+3，
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：由作法得AD=AC=7，MN垂直平分BD，
∴EB=ED，
∵△ADE的周长为15，
∴AE+DE+AD=15，
∴AE+BE+7=15，
即AB+7=15，
解得AB=8．
故选：B．
利用基本作图得到AD=AC=7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，然后利用等线段代换，根据△ADE的周长为15可计算出AB的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
4.【答案】B
【解析】解：10000000000=1×1010．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】A
【解析】【分析】
先由题意得−1≤1−3x2<0，再解不等式组进行求解即可．
此题考查了新定义问题与一元一次不等式组的求解能力．理解新定义的意义是解题的关键．
【解答】
解：由题意得−1≤1−3x2<0，
即1−3x2<01−3x2≥−1，
解得13故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：从左边看，可得选项C的图形．
故选：C．
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
7.【答案】B
【解析】解：∵3个正数a1，a2，a3的平均数是a，
∴a1+a2+a3=3a，
∴a1，a2，0，a3的平均数为14(a1+a2+0+a3)=34a，
∵3个正数a1，a2，a3，且a1>a2>a3
∴把数据a1，a2，0，a3从大到小排列为a1，a2，a3，0，
∴中位数为a2+a32，
故选：B．
根据平均数和中位数的定义计算即可．
此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：作直径CM，连接AM，
∵AC=BC，AO=BO，CO=CO，
∴△AOC≌△BOC(SSS)，
∴∠ACO=∠BCO，
∴CM⊥AB，
∵AD是圆的直径，
∴∠ABD=90°，
∴DB⊥AB，
∴BD//CM，
∵OA=OD，
∴AN=NE，
∴ON是△ADE的中位线，
∴ON=12DE=12×2=1，
设圆的半径是r，
∴MN=r−1，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠ANM=∠CAN+∠ACO，∠MAN=∠BAE+∠MAB，∠MAB=∠BCO，
∴∠ANM=∠MAN，
∴MA=MN=r−1，
∵AM是圆的直径，
∴∠CAM=90°，
∴CM2=AC2+AM2，
∴(2r)2=82+(r−1)2，
∴r=133(舍去负值)，
∴⊙O的半径为133．
故选：B．
作直径CM，连接AM，OB，由SSS推出△AOC≌△BOC，得到∠ACO=∠BCO，由等腰三角形的性质推出CM⊥AB，由圆周角定理推出∠ABD=90°，由平行线分线段成比例定理推出AN=NE，得到ON是△ADE的中位线，因此ON=12DE=1，设圆的半径是r，得到MN=r−1，由角平分线定义得到∠CAE=∠BAE，由三角形外角的性质得到∠ANM=∠MAN，推出MA=MN=r−1，由勾股定理得到(2r)2=82+(r−1)2，求出r=133(舍去负值)，即可得到⊙O的半径为133．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，圆周角定理，关键是由三角形中位线定理求出ON的长，由勾股定理列出关于r的方程．
9.【答案】B
【解析】解：利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．
根据题意可得：(30−x)(18−x)=480．
故选：B．
先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可．
本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由函数图象可知，
a<0，b<0，c>0，
所以abc>0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，
所以−b2a=−1，
即2a−b=0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且x=1时，函数值小于零，
所以x=−3时，函数值小于零，
则9a−3b+c<0．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且开口向下，
所以当x=m时，am2+bm+c≤a−b+c，
即am2−a+bm+b≤0，
所以a(m2−1)+b(m+1)≤0．
故④正确．
由函数图象可知，
当x=1时，函数值小于零，
则a+b+c<0，
又因为b=2a，
所以3a+c<0．
故⑤正确．
故选：D．
根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键．
11.【答案】15
【解析】解：∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=60°，
∴∠EAG=120°，
∴∠AGE=180°−120°−45°=15°，
∴∠CGF=∠QGE=15°，
故答案为：15．
根据直角三角形的性质得到AD=CD，求得∠DAC=∠C=60°根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结论．
本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
12.【答案】−143或2
【解析】解：∵实数a，b满足3a2+4a−2=0，3b2+4b−2=0，
∴可将a，b看作一元二次方程3x2+4x−2=0的两个实数根，
∴当a=b时，则ab+ba=2，
当a≠b时，a+b=−43，ab=−23，
则ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=(−43)2−2×(−23)−23=−143，
故答案为：−143或2．
由实数a，b满足3a2+4a−2=0，3b2+4b−2=0，可将a，b看作一元二次方程3x2+4x−2=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得出a+b=−43，ab=−23，将其代入ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2−2abab中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，牢记“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
13.【答案】m>2且m≠6
【解析】解：方程两边都乘(x−2)得：3x=x−2+m，
∴3x−x=m−2，
解得：x=m−22，
∵关于x的方程3xx−2=1−m2−x的解为正数，
∴x>0且x−2≠0，
∴m−22>0且m−22≠2，
解得：m>2且m≠6．
故答案为：m>2且m≠6．
首先方程两边都乘(x−2)，将分式方程化为整式方程，解此整式方程，即可求得x的值，又由关于x的方程3xx−2=1−m2−x的解为正数，可得x>0且x−2≠0，继而求得答案．
此题考查了分式方程的解的情况．注意掌握转化思想的应用，注意别忽略x−2≠0的情况．
14.【答案】2 3
【解析】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB=∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，
∵∠AOE=150°，
∴∠BOE=60°；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOE=∠COF=60°，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
过点F作FG⊥OD于G，如图，
∴∠OGF=∠DGF=90°，
∵∠ODC=45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴GF=DG= 22DF= 62，
∵∠AOE=150°，
∴∠BOE=60°，
∴∠DOF=30°，
∴OF=2GF= 6，
∴EF= 2OF=2 3．
故答案为：2 3．
由题意证明△BOE≌△COF(ASA)，所以OE=OF，则△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出△OEF是等腰直角三角形．
15.【答案】25
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出△OAB是等边三角形是解本题的关键．先设点A(a,b)，根据对称性质得B(b,a)，再证△OAB是等边三角形，用两点间的距离公式列出等式，再求解即可得出结论．
【解答】
解：设点A(a,b)，
反比例函数y=kx(x>0)的图象与半径为10的⊙O交于A，B两点，
所以A，B两点关于直线y=x对称，
∴B(b,a)，
∵⊙O的半径为10，
∴OA=OB=10，
∴OA2=100，即a2+b2=100，
∵∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=10，
∴AB2=100，即∴(a−b)2+(b−a)2=100，
化简得：a2+b2−2ab=50，
∴100−2ab=50，
∴ab=25，
∵A(a,b)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=ab=25，
故答案为25．
16.【答案】13
【解析】解：由题知，
因为a1=2，
则a2=1+21−2=−3，
a3=1−31+3=−12，
a4=1−121+12=13，
a5=1+131−13=2，
…，
由此可见，
这一列数按2，−3，−12，13循环出现，
且2024÷4=506，
所以a2024=13．
故答案为：13．
分别求出a1，a2，a3，…，根据发现的规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2，−3，−12，13循环出现是解题的关键．
17.【答案】解：(1)|− 3|+(12)−1+(π+1)0−tan60°
= 3+2+1− 3
=3；
(2)(2xx−3+3xx+3)÷x2x2−9
=2x(x+3)+3x(x−3)(x+3)(x−3)⋅(x+3)(x−3)x2
=2(x+3)+3(x−3)x
=2x+6+3x−9x
=5x−3x，
当x= 3时，原式=5 3−3 3=5− 3．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】200 36°
【解析】解：(1)此次抽样调查的样本容量是：50÷25%=200；
故答案为：200；
(2)C的人数：200−40−50−60−20=30(名)，
补全条形统计图如下：
(3)图2中，“E”所占圆心角的度数是360°×20200=36°，
故答案为：36°；
(4)1200×40200=240(人)，
答：估算该校参与足球社团的学生人数为240人．
(1)由B的人数除以所占百分比即可；
(2)求出C的人数，补全条形统计图即可；
(3)由360°乘以E所占的比例即可；
(4)由该校共有学生人数乘以参加A的学生人数所占的比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为y元，
根据题意，得10x+20y=28020x+30y=480,
解得：x=12y=8,
答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．
(2)设降价a元利润为w元，
根据题意，得：w=(12−a)(200+20a)，
=2400+240a−200a−20a，
=−20a2+40a+2400，
=−20(a−1)2+2420，
∵−20<0，
∴当a=1时，w有最大值，最大值为2420，此时定价24+12−1=35(元)．
答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
【解析】(1)根据题意列出二元一次方程组解答即可；
(2)根据“商品利润=单件利润×销售数量“，列出二次函数解析式，将其化成顶点式，再结合“售价=进价+利润“解答即可．
本题主要考查了二元一次方程组和二次函数的应用，读懂题意并能列出等量关系式是解答本题的关键．
20.【答案】解：如图，过点C作CF⊥AB，交AB于点F．
在Rt△CED中，∠CED=45°，
∴△CED是等腰直角三角形，
∴CD=DE=20米，
在Rt△ABE中，∠AEB=53°，
∴tan∠AEB=tan53°=ABBE=43，
∴AB60=43，
∴AB=80米．
由题意，得BF=CD=DE=20米，CF=BD=BE+ED=80米，
∴AF=AB−BF=80−20=60(米)，
在Rt△ACF中，AC= AF2+CF2=100(米)．
∴A，C之间的距离为100米．
【解析】过点C作CF⊥AB，交AB于点F，根据正切的定义求出AB，然后利用勾股定理计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵点A(2,3)在y=mx上，
∴m=xy=2×3=6，
∴反比例函数解析式为：y=6x，
∵BC=2，
∴B(−3,−2)；
∵点A(2,3)、B(−3,−2)在一次函数y=kx+b图象上，
2k+b=3−3k+b=−2，
解得k=1b=1，
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
(2)根据图象，不等式kx+b>mx的解集为：−32．
(3)S△ABC=12×OC×(xA−xB)=12×2×5=5，
设点P的坐标为(m,6m)，
S△POC=12×3×6m=2S△ABC=10，
∴9m=10，
∴m=910，
∴P(910,203).
【解析】(1)待定系数法求一次函数和反比例函数解析式即可；
(2)根据图象直接写出不等式kx+b>mx的解集即可；
(3)先计算出三角形ABC的面积，后设点P的坐标为(m．6m)，根据面积的等量关系建立关于m的方程解出即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数的解析式．
22.【答案】(1)证明：连接AO，AD，
∵CD是圆O的直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵AO=DO，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠PAD=30°，
∴∠PAO=30°+60°=90°，
∴AO⊥PA，
∵A点在圆上，
∴PA是⊙O的切线；
(2)解：连接OB，
∵AP=PM，
∴∠PAM=∠AMP=∠BMO，
∵OA=OB，
∴∠OAM=∠OBM，
∵∠PAM+∠OAM=90°，
∴∠PMB+∠OBM=90°，
∴OB⊥CD，
∴∠COB=90°，
∵BC=4 2，
∴OC=OB= 22BC=4，
∴OA=4，
∴AP= 3AO=4 3，
∴阴影部分的面积=△APO的面积−扇形AOD的面积=12×4 3×4−60⋅π×42360=8 3−2π3．
【解析】(1)分别求出∠PAD=30°，∠DAO=60°，即可得∠PAO=90°，从而证明PA是⊙O的切线；
(2)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠PAM=∠AMP=∠BMO，得到∠COB=90°，求得OC=OB= 22BC=4，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查切线的判定及性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，扇形公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形BE′FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，
又∵∠BEF=90°，
∴四边形BE′FE是矩形，
又∵BE=BE′，
∴矩形BE′FE是正方形；
(2)CF=FE′；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AH=12AE，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴AH=BE=12AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CE′，
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE=FE′，
∴FE′=12CE′，
∴CF=FE′；
(3)3 17．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
(1)由旋转的性质可得∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，进而可证四边形BE′FE是正方形；
(2)过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12AE，由旋转的性质可得AE=CE′，可得结论；
(3)过点D作DH⊥AE于H，由(2)得△ADH≌△BAE，在Rt△CDE′中可求得BE′的长，再在Rt△DEH中求得结果．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE′=FE′=BE，
∵AB=BC=15，CF=3，BC2=BE′2+E′C2，
∴225=BE′2+(BE′+3)2，
∴BE′=BE=9，
∴CE′=CF+FE′=12，
由(2)可知：△ADH≌△BAE，
∴BE=AH=9，DH=AE=CE′=12，
∴HE=AE−AH=12−9=3，
∴DE= DH2+HE2= 144+9=3 17．
24.【答案】解：(1)将A(−2,0)，B(8,0)代入抛物线y=−14x2+bx+c，得：
−14×(−2)2−2b+c=0−14×82+8b+c=0，
解得b=32c=4，
∴该抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4．
(2)①由抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4，得C(0,4)．
设直线BC的解析式为y=kx+t，将B(8,0)，C(0,4)代入，得：
8k+t=0t=4，
解得k=−12t=4，
∴直线BC的解析式为y=−12x+4．
设第一象限内的点D的坐标为(m,−14m2+32m+4)，则E(m,−12m+4)，
∴DE=(−14m2+32m+4)−(−12m+4)=−14m2+2m，BF=8−m，
∴DE+BF=(−14m2+2m)+(8−m)=−14(m−2)2+9．
∵−14<0，
∴当m=2时，DE+BF有最大值，为9．
②∵A(−2,0)，B(8,0)，C(0,4)，
∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10，
∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80，AB2=102=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵DF⊥x轴于点F，
∴∠FEB+∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠FEB=∠DEC．
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需OADE=AGCE或OACE=AGDE．
∵G是AC的中点，A(−2,0)，C(0,4)，
∴G(−1,2)，OA=2，AG=12AC=12 20= 5．
由①知DE=−14m2+2m，E(m,−12m+4)，
∴CE= m2+[4−(−12m+4)]2= 52m.
当OADE=AGCE时，2−14m2+2m= 5 52m，
解得m=4或m=0(舍去)，
∴D(4,6)．
当OACE=AGDE时，2 52m= 5−14m2+2m，
解得m=3或m=0(舍去)，
∴D(3,254)．
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，点D的坐标为(4,6)或(3,254).
【解析】(1)运用待定系数法求出函数解析式；
(2)①设点D的坐标为(m,−14m2+32m+4)，则求出直线BC的解析式，得到E(m,−12m+4)，求出DE+BF，并根据二次函数的最大值得到答案；
②根据点的坐标得到∠ACB=90°，根据勾股定理求出AG长，由①知DE=−14m2+2m，E(m,−12m+4)，分两种情况：OADE=AGCE和OACE=AGDE，建立方程求出m，得到点D的坐标．
此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．