2023-2024学年江苏省南京市玄武区外国语学校八年级（下）第三次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市玄武区外国语学校八年级（下）第三次月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各式与分式ab相等的是(    )A. −ab B. a−b C. −−ab D. −−a−b2.下列关于x的方程①x−13=5，②1x=4x−1，③3−x3=x−1，④xa=1b−1中，是分式方程的有个．(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是(    )A. AD//BC B. ∠B=∠D C. AB=CD D. AD=BC4.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥DC交其延长线于点F，若AE=4，AF=6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为(    )A. 24 B. 36 C. 40 D. 485.已知关于x的分式方程mx(x−3)(x−6)+2x−3=3x−6无解，且一次函数y=(m−12)x+m−32的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的和为(    )A. 92 B. 72 C. 52 D. 326.如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是(    )A. (1,1)B. (1,2)C. (1,3)D. (1,4)二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7.关于x的方程5+mx−2+1=1x−2有增根x=2，则m的值是______．8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE/​/BC交AC于点E，BC=3cm，AB=2cm.那么△ADE的周长为______cm．9.如果x2−3x−1=0，则 x2+1x2−7的值是______．10.如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为        ．11.如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是______．12.如图所示，将矩形ABCD分别沿BE，EF，FG翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上.若AB=2，则GH= ______．13.某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x本，根据题意，列方程为______．14.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+2k−3(k为不为0的常数)与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A，B，则2OA−3OB的值是______．15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为______．16.用换元法解方程组5x−61−y=11x+1y−1=1时，可设1x=m,1y−1=n，那么原方程组可化为关于m、n的整式方程组为______．三、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题9分)解方程：x−3x+3−2x−3=1．18.(本小题9分)先化简(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4，然后在−1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．19.(本小题10分)如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE/​/AC且DE=OC，连接CE，OE，OE=CD．(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB=4，∠ABC=60°，求AE的长．20.(本小题10分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， 5， 13；(3)如图3中∠BCD是不是直角？请说明理由(可以适当添加字母)21.(本小题10分)某公司为表达对员工的关怀，准备为全体员工发放节日礼品.该公司在超市购进了甲、乙两种礼品.已知甲礼品的单价比乙礼品的单价的2倍少30元，用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍.问甲礼品的单价是多少元？22.(本小题10分)如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=BF，连接AF，BE相交于点G，连接CE，DF相交于点H，连接GH.求证：GH=12AD．23.(本小题10分)阅读与理解下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______(填序号)；①x+1x ②3x+2x2 ③x−1x−3 ④4x2−12x+1 (2)将“和谐分式”m2+3m+1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．24.(本小题10分)如图1，将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上.若A(m,n)满足 m−12+|n−8|=0； (1)求点A的坐标；(2)取AC中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连接AN并延长，交x轴于点P．①求AP的长；②如图2，点D位于线段AC上，且CD=8.点E为平面内一动点，满足DE⊥OE，连PE.请你求出线段PE长度的最大值．25.(本小题10分)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE、DF．(1)求证：DE⊥DF；(2)连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形；②求证：BG=DG；③若∠EGB=45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：A.∵−ab=−ab，∴ab≠−ab，故本选项不符合题意；B.∵a−b=−ab，∴ab≠a−b，故本选项不符合题意；C.ab=−−ab，故本选项符合题意；D.∵−−a−b=−ab∴ab≠−−a−b，故本选项不符合题意；故选：C．根据分式的基本性质逐个判断即可．本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变，②符号变化规律：分式的分子符号，分式本身的符号，分式的分母符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．2.【答案】A 【解析】解：①x−13=5，③3−x3=x−1，④xa=1b−1属于整式方程；②1x=4x−1的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程．故选：A．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．3.【答案】D 【解析】解：A、当AB/​/CD，AD//BC时，故可证明四边形ABCD为平行四边形；B、∵AB/​/CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠C+∠D=180°，∴AD//BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴可证明四边形ABCD为平行四边形；C、当AB/​/CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；D、当AB/​/CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；故选：D．根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．4.【答案】D 【解析】解：∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，∴BC+CD=20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，∴S▱ABCD=4BC=6CD，整理得，BC=32CD②，联立①②解得，CD=8，∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48．故选：D．根据平行四边形的周长求出BC+CD=20，再用面积法求出BC=32CD，然后求出CD的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解．本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于BC、CD的两个方程并求出CD的值是解题的关键．5.【答案】C 【解析】解：分式方程两边同时乘以(x−3)(x−6)，得mx+2(x−6)=3(x−3)，解得(m−1)x=3，∵方程无解，∴m=1或x=3或x=6，∴m=1或m=2或m=32，∵一次函数y=(m−12)x+m−32的图象不经过第二象限，∴m−12>0且m−32≤0，∴120且m−32≤0，最后得出m的值即可解答．本题考查一次函数的图象及性质，分式方程的解，分式方程的增根；熟练掌握分式方程的解法，掌握一次函数的图象及性质，注意切勿遗漏增根的情况是解题的关键．6.【答案】B 【解析】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P(1,2)，∴旋转中心的坐标为(1,2)．故选：B．先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．7.【答案】−4 【解析】解：去分母，得：5+m+(x−2)=1，由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，把x=2代入整式方程，可得：m=−4．故答案为：−4．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−2=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8.【答案】4 【解析】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A=∠B，∴AC=BC=3cm，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=1cm，∠ADC=90°，∵DE/​/BC，∴∠EDC=∠BCD，∠ADE=∠B，∴∠EDC=∠ACD，∠A=∠ADE，∴DE=CE，DE=AE，∴CE=AE=DE，∴DE是△ABC的中位线，∴AE=DE=12BC=32cm，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=1+32+32=4(cm)，故答案为：4．先由等腰三角形的性质得AD=1cm，再证CE=AE=DE，然后由三角形中位线定理得DE=AE=32cm，即可解决问题．本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的性质的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9.【答案】2 【解析】解：当x=0时，则0−3×0−1=−1≠0，故x≠0，则x2−3x−1=0两边同时除以x，得x−3−1x=0，∴x−1x=3，∴(x−1x)2=x2+1x2−2=9，∴x2+1x2=11，则 x2+1x2−7= 11−7= 4=2，故答案为：2．算术平方根，先将方程x2−3x−1=0进行化简，化成含x−1x=3，再整理得出(x−1x)2=x2+1x2−2=9，然后代入 x2+1x2−7，进行开方运算，即可作答．本题考查了完全平方公式的应用以及已知式子的值求代数式的值，熟练掌握二次根式性质是关键．10.【答案】3 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD//BC，∴∠AEO=∠CFO．∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，则S△AOE=S△COF，∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△COF+S△BOF+S△COD=S△BCD，∴S△BCD=12BC⋅CD=12×3×2=3，故S阴影=3．故答案为：3．观察图形，阴影部分显然不规则，想想怎么将它们进行拼组，组成规则图形；首先结合矩形的性质可得OA=OC，∠AEO=∠CFO，试着证明△AOE≌△COF，进而可得△AOE与△COF的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．11.【答案】(7,3) 【解析】解：直线y=−43x+4与x轴，y轴分别交于A(3,0)，B(0,4)两点，∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°∴OA=O′A，OB=O′B′，O′B′//x轴，∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，故点B′的坐标是(7,3)，故答案为：(7,3)．首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA，进而得出B′的坐标．本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B和点B′位置的特殊性，以及点B′的坐标与OA和OB的关系．12.【答案】 22 【解析】解：依题意AE=EH=ED，DF=HF=12CD=12AB=1，AB=BH=2，CG=GH，DF=FC=HF设AE=ED=a，∵∠BEH+∠FEH+∠AEB+∠DEF=180°，∠BEH=∠AEB，∠FEH=∠DEF，∴∠BEF=∠BEH+∠FEH=90°，在Rt△BEF中，BE2+DF2=BF2，∴AB2+AE2+DE2+DF2=BC2+FC2∴22+a2+a2+12=(2a)2+12解得：a= 2，同理∠EFG=90°，又∵DF=FC，在Rt△EFG中，EG2=EF2+FG2，∴DE2+DF2+FC2+CG2=EG2，设CG=GH=x，BG=2 2−x∵BC=2 2，AB=BH=2，在Rt△BHG中，BH2+HG2=BG2∴22+x2=(2 2−x)2，解得：x= 22．故答案为： 22．由折叠的性质得出AE=EH=ED，DF=HF=12CD=12AB=1，由勾股定理，得出AE=ED= 2，进而在Rt△EFG中，EG2=EF2+FG2，列出方程即可求解．本题考查了矩形折叠问题，勾股定理，得出AE=DE，DF=FC是解题的关键．13.【答案】400x=500x+10 【解析】解：∵第二次数量比第一次多10本，且该书店第一次购进x本，∴第二次购进(x+10)本．依题意得：400x=500x+10．故答案为：400x=500x+10．由两次购进数量之间的关系，可得出第二次购进(x+10)本，利用单价=总价÷数量，结合两次进价相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．14.【答案】−1 【解析】解：当y=0时，kx+2k−3=0，解得：x=3−2kk，∴点A的坐标为(3−2kk,0)，∵点A在x轴正半轴上，∴OA=3−2kk；当x=0时，y=k×0+2k−3=2k−3，∴点B的坐标为(0,2k−3)，∵点B在y轴负半轴上，∴OB=3−2k，∴2OA−3OB=23−2kk−33−2k=2k−33−2k=−1．故答案为：−1．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，结合点A，B所在的位置，可得出OA，OB的值，再将其代入2OA−3OB中，即可求出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及分式运算，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标是解题的关键．15.【答案】6 【解析】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF=DF，∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=AB=4，∠DAB=90°，∵点E在AB上且BE=1，∴AE=3，∴DE= AD2+AE2=5，∴△BFE的周长=5+1=6，故答案为：6．连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可．此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．16.【答案】5m+6n=1m+n=1 【解析】解：将1x=m,1y−1=n代入方程组5x−61−y=11x+1y−1=1得：5m+6n=1m+n=1，故答案为：5m+6n=1m+n=1．本题考查了换元法解方程组，将1x=m,1y−1=n代入原方程组即可得．本题考查换元法解分式方程，正确进行换元是解题关键．17.【答案】解：(x−3)2−2(x+3)=x2−9，x2−6x+9−2x−6=x2−9，−8x=−12，x=32，经检验x=32为原方程的根． 【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4 =x+2−1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2 =x+1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2 =x−2x+1，∵x−2≠0，x+1≠0，∴x≠2，−1，∴当x=0时，原式=0−20+1=−2． 【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．19.【答案】解：(1)证明：∵DE/​/AC，DE=OC，∴四边形OCED是平行四边形．∵OE=CD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠COD=90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，CD=AB=BC=4，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴OA=OC=2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD= CD2−OC2= 42−22=2 3，由(1)可知，四边形OCED是矩形，∴CE=OD=2 3，∠OCE=90°，∴AE= AC2+CE2= 42+(2 3)2=2 7，即AE的长为：2 7． 【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．(1)先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD=90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；(2)证△ABC是等边三角形，得AC=AB=4，再由勾股定理得OD=2 3，然后由矩形的在得CE=OD=2 3，∠OCE=90°，即可解决问题．20.【答案】解：(1)面积为10的正方形的边长为 10，∵ 32+12= 10，∴如图1所示的四边形即为所求；(2)∵ 22+12= 5， 22+32= 13，∴如图2所示的三角形即为所求；(3)∠BCD是直角，理由如下：如图3：BD= BG2+GD2= 32+42=5，BC= BF2+CF2= 42+22=2 5，CD= CE2+DE2= 22+12= 5，∵( 5)2+(2 5)2=25=52，即BC2+CD2=BD2，∴∠BCD=90°． 【解析】(1)根据正方形的面积为10可得正方形边长为 10，画一个边长为 10正方形即可；(2)根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；(3)利用勾股定理的逆定理可得答案．本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．21.【答案】解：设乙礼品的单价是x元，则甲礼品的单价是(2x−30)元，根据题意得：1200x=9002x−30×2，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，∴2x−30=2×60−30=90，答：甲礼品的单价是90元． 【解析】设乙礼品的单价是x元，则甲礼品的单价是(2x−30)元，根据用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.【答案】证明：如图，连接EF， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC．∵AE=BF，∴DE=CF．∵AE/​/BF，DE/​/CF，∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形，∴AG=FG，FH=DH，∴GH是△AFD的中位线，∴GH=12AD． 【解析】连接EF，证四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，即可求解．本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，正确作出辅助线是解决此题的关键．23.【答案】①③ 【解析】解：(1)①x+1x=1+1x是“和谐分式”；②3x+2x2不是“和谐分式”；③x−1x−3=x−3+2x−3=1+2x−3是“和谐分式”；④4x2−12x+1=2x−1不是“和谐分式”；故答案为：①③；(2)m2+3m+1=m2+2m+1−2m−2+4m+1=(m+1)2−2(m+1)+4m+1=(m+1)2−2(m+1)+4m+1=m+1−2+4m+1=m−1+4m+1．(1)根据“和谐分式”的定义，即可求解；(2)根据题意化简分式，即可．本题主要查了分式的加减法，根据题意理解“和谐分式”的定义是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵ m−12+|n−8|=0．∴m−12=0，n−8=0，解得m=12，n=8，∴点A的坐标为(12,8)；(2)①∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，∴ON=OC=8，MN=CM=AM=6，CN⊥OM，如图，连接NC， ∵MN=AM=MC，∴∠MAN=∠MNA，∠MNC=∠MCN，设∠MAN=∠MNA=α，∠MNC=∠MCN=β，在△ACN中，∠ACN+∠CAN+∠ANM+∠MNC=180°，∴2α+2β=180°，∴α+β=90°，∴∠CNA=90°，∴∠NCA+∠CAN=90°，∵∠NCA+∠OMC=90°，∴∠CAN=∠OMC，∴OM//AP，∵AC/​/OB，∴四边形AMOP是平行四边形，∴OP=AM=6=12OB，∴点P为OB的中点，∴P(6,0)；∴AP= 62+82=10 ②取OD的中点Q，连接QE，QP． ∵∠OED=∠OCA=90°，点Q是OD的中点，CD=8．∴D(8,8)，∴OD= 82+82=8 2，∴QE=12OD=4 2，由中点坐标公式可知：点Q的坐标为(4,4)，∵P(6,0)，∴QP= (4−6)2+(4−0)2=2 5，∴当点P、Q、E三点共线时，PE的长度最大，则PE的最大值为QE+PQ，∴PE的最大值为QE+PQ=4 2+2 5． 【解析】(1)由 m−12+|n−8|=0可得m−12=0，n−8=0，即可求解；(2)①证明∠CNA=90°，得到△OCM≌△ABP(AAS)，可得PB=CM=10=12OB，即可求解；②取OD的中点Q，连接QE，QP.当点P、Q、E三点共线时，PE的长度最大，进而求解．本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质及勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，∴∠DCF=90°，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠A=∠DCFAE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴∠ADE=∠CDF，∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDF+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴DE⊥DF；(2)①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由(1)可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG=12EF，BG=12EF，∴BG=DG；③解：BG2+HG2=4AE2，证明如下：由(1)可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，∴DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG=45°，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，DG=12EF=EG，BG=12EF=EG=FG，∴∠EGD=∠HGF=∠DGF=90°，∠GDF=45°，∠EDG=∠DEG=45°，∠GBF=∠GFB，∵∠EGB=45°，∴∠GBF=∠GFB=22.5°，∵∠DHF+∠HFG=∠DHF+∠CDH=90°，∴∠HFG=∠CDH=22.5°，∴∠CDF=∠GDF−∠HDC=22.5°=∠CDH，又∵∠DCH=∠DCF=90°，CD=CD，在△CDH和△CDF中∠CDH=∠CDFCD=CD∠DCH=∠DCF,∴△CDH≌△CDF(ASA)，∴CH=CF，在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2+HG2=HF2，∵HF=2CF=2AE，GF=BG，∴BG2+HG2=(2AE)2，∴BG2+HG2=4AE2． 【解析】(1)证△ADE≌△CDF(SAS)，得∠ADE=∠CDF，再证∠EDF=90°，即可得出结论；(2)①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得DG=12EF，BG=12EF，即可得出结论；③先证△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG=45°，再证DG⊥EF，DG=12EF=EG，BG=12EF=EG=FG，得∠GDF=45°，∠EDG=∠DEG=45°，∠GBF=∠GFB，然后证△CDH≌△CDF(ASA)，得CH=CF，再由勾股定理即可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等.小学里，把分子比分母小的数叫做真分数.类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，a2−2a+3a−1=(a−1)2+2a−1=a−1+2a−1，则x+1x−1和a2−2a+3a−1都是“和谐分式”．