2024江西省三新协同教研共同体高二下学期5月联考数学试题

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单选题
详解：1.由a5=2,S4−S2=a4+a3=12,得：a5a4+a3=q2q+1=16，即6q2−q−1=0，解得q=−13或q=12.又an不是单调数列，故q=−13，故选D.
2.由m+2m+0.5=1得m=16，EX=0×16+1×13+2×12=43，故选B.
3.f'(x)=3x2−a，kl=3x02−a，切线l的方程为y−(x02−ax0)=(3x02−a)(x−x0)，即y=(3x02−a)x−2x03，由2x03=2得x03=1，∴x0=1，将A(1,2)代入y=f(x)得1−a=2，所以a=−1，故选A.
4.x0+p2=174及2px0=4，消去x0得2p2−17p+8=0解得p=12或p=8.又因为△QOF为锐角三角形，故p=8，故选C.
5.分析得μ=162，P(X≥174)=6840300000=0.0228，故P(1506.该卷筒卫生纸的层数=100−400.2=300，最里一层的周长为4πcm，最外一层的周长为10πcm，整卷卫生纸的长度为（4π+10π）×3002=2100π（cm），所以他可用的次数约为2100×3.1450=132（次），故选B.
7.由f(x+1)−f(2024−x)=3x−1，两边求导数得：f'(x+1)+f'(2024−x)=3,所以f'(1)+f'(2024)=f'(2)+f'(2023)=⋯=f'(2012)+f'(2023)=3，故原式=3×1012=3036，故选C.
8.由k1k2=(y1−y0)2x12−x02=9y02a2b2(y12−y02)=9y02a2b2(3y02)=3b2a2=3得a2=b2，所以a2=c2−a2，即c2=2a2，e2=2即e=2，故选C.
多选题
详解：9. sinπ3是一个常数，故(sinπ3)'=0，所以A错误；ln(−2x)＇=(−12x)×(−2)=1x，所以B正确；f(x)e2x＇=e2xf'(x)−2e2xf(x)e4x=f＇(x)−2f(x)e2x，所以C错误；f'(x)=2f'(1)+32x12，f'(1)=2f'(1)+32，故f＇(1)=−32，则f'(x)=−3+32x12，f'(4)=−3+3=0，所以D正确.
10.设P(x,y)，则由PA=2P0得(x+2)2+y2=2∙x2+y2，化简得x2+y2−4x−4=0，故A正确；又因为圆C的圆心C(2,0)，B(0,2)，所以kBC=−1.又kBC=−1，故AB⊥BC，即直线AB与圆相切，所以直线AB与圆C有且仅有一个公共点，故B正确；因为直线过点P(1,-1)，当且仅当OP⊥AB时AB最小，又OP=2，此时AB=28−2=26，故C错误；圆C上恰有三个点到直线l的距离相等，即圆心C到l的距离等于2，设l：kx−y+2k=0，由d=4kk2+1=2，解得k2=17，故D正确.
11，以A为切点的切线方程为y=(e+1)x−e2−e−1，令y=0得x2=e2+e+1e+1，故A正确；设点(xn,f(xn))为切点，则切线y=f'(xn)x−xnf'(xn)+f(xn)，令y=0得xn+1=xnf'(xn)−f(xn)f'(xn)=xn2−e2xn−(e+1)，所以xn+1−1=xn2−2xn+12xn−(e+1)，xn+1−e=xn2−2exn+e22xn−(e+1)，xn+1−1xn+1−e=(xn−1xn−e)2，lnxn+1−1xn+1−e=2lnxn−1xn−e，所以an是等比数列，首项a1=1，公比为2，故B错误，C正确；又1an是首项为1，公比为12的等比数列，所以S6=1(1−126)1−12=2−125=2−132=6332，故D正确.
填空题
12. 5.25 13. 2 14. ① ②
详解：12. x=3 ∴y= −0.2+1.15×3=3.25，故3.25×5=11+m 得m=5.25
13.设P(x,y),则由OP=|x|+|y|=2 ∴x−y=2(x≥0,y≤0)
的最小值为
14.首先，
由题意得方程在区间 上有两个不相等的实根
解得，
又
令 在(0,12)上递增
解答题
15.（1）由
得时 ···1分
两式相减得

数列为等差数列，公差 ··· 3分
···5分
（i）

3不能表示成 的形式

∴{cn} 的前4项为：0，0，3，0 ···7分
（ii）的前项和记为···9分
···10分
···12分
···13分
16.设表示第轮回答低阶问题，表示第轮回答高阶问题
表示回答正确
（1）第一轮回答问题后获得20元奖金的概率 ···1分
···3分
···5分
···6分
（2）设事件D表示第一轮获得奖金20元，则由（1））可得：
设事件E表示两轮累计获得奖金不低于50元，则事件“DE”可分解为以下两个事件：
①第一轮回答低阶问题正确
②第一轮回答高阶问题错误，第二轮回答低阶问题正确 ···8分

···10分
···12分
“在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下，甲两轮累计获得奖金不低于50元的概率”为 ···15分
17.解：由2a=b+c得：AC+AB=2BC=4 ···1分
所以，点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆，且点A不在直线AB上 ···2分
设该椭圆的方程为x2m2+y2n2=1(m>n>0）
则m=2,n2=m2−1=3 ···5分
又点A不在直线BC 上，所以轨迹E的方程为：x24+y23=1(y≠0) ···7分
分析得直线l 与x轴不重合，设 l 的方程为：x=my−1
联立方程组x=my−13x2+4y2=12 消去x得 (3m2+4)y2−6my−9=0
∆=144(m2+1)>0,∴m∈R
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6m3m2+4, y1y2=−93m2+4, ···9分
PQ=1+m2 y1−y2=12(m2+1)3m2+4 ···10分
又原点O到直线的距离d=11+m2，所以S∆POQ=6m2+13m2+4=13m2+1+1m2+1 ···12分
令t=m2+1则t≥1，∴S∆POQ=63t+1t
3t+1t在1,+∞上单调递增，∴t=1时，S∆POQ最大为32. ···15分
（1）从中一次性提出4个球有C104=210种方法 ···1分
n(A)=210−C84=140 ···3分
n(B)=C51∙C42∙C21∙C21=120 ···6分
∴P(A)=140210=23，P(B)=120210=47 ···8分
（2）X的取值可能为1,2,3,⋯,n ···9分
当1≤k≤n−1时，P(X=k)=(45)k−1∙15 ···10分
当k=n时，P(X=k)=(45)n−1 ···12分
所以EX=1×(45)0∙15+2×(45)1∙15+3×(45)2∙15+⋯+(n−1)×(45)n−2∙15+n×(45)n−1
···13分
=15(45)0+2×(45)1+3×(45)2+⋯+(n−1)×(45)n−2+n×(45)n−1
令S=(45)0+2×(45)1+3×(45)2+⋯+(n−1)×(45)n−2
则45S= (45)1+2×(45)2+⋯+(n−2)×(45)n−2+(n−1)×(45)n−1
相减得15S=(45)0+(45)1+(45)2+⋯+(45)n−2−(n−1)×(45)n−1=1−(45)n−11−45−(n−1)×(45)n−1=5−(n+4)×(45)n−1
∴EX=5−4×(45)n−1 ···17分
（1）f(x)的定义域为x∈R
又f'(x)=−1ex−a ···1分
①当a≥0时，f'(x)<0; f(x)在定义域R上单调递减，
∴f(x)在定义域R上无极值 ···2分
②当a<0时，令f'(x)>0得：x>ln(−1a),
即f(x)在ln(−1a),+∞单调递增 ···3分
令f'(x)<0得：x即f(x)在−∞，ln(−1a单调递减 ···4分
∴f(x)有极大值f(ln(−1a))=−a+aln(−a)，无极小值 ···5分
综上所述：当a≥0时，f(x)在定义域R上无极值 ；当a<0时，f(x)有极大值f(ln(−1a))=−a+aln(−a)，无极小值. ···6分
（2）不等式f(x)x>1+lnxex 可化为1−axex>x(1+lnx)， ···7分
令ℎ(x)=1−axex(a>0,x>0)，
ℎ'(x)=−a(x+1)ex<0，∴ℎ(x)在（0,+∞)上单调递减.
又ℎ(0)=1>0,ℎ(1a)=1−e1a<0
∴在0，+∞上存在唯一的x0使得ℎ(x0)=0，即1−ax0ex0=0
且x∈0，x0时ℎ(x)>0，x∈x0，+∞时ℎ(x)<0， ···9分
(ⅰ)当x∈0，x0时ℎ(x)>0，由1−axex>x(1+lnx)得:
aex−1x+lnx+1<0，令n(x)=aex−1x+lnx+1(a>0,x∈0，x0)，
n'(x)=aex+1x2+1x>0 ∴n(x)在(0,x0)递增,
则n(x)由 1+lnx0≤0 解得:0（ⅱ）当x∈x0，+∞时，1−axex≤0，由1−axex>x(1+lnx)得:
aex−1x−lnx−1>0，
令m(x)=aex−1x−1−lnx(a>0,x∈x0，+∞)，m'(x)=aex+1x2−1x
1−axex≤0,所以aex−1x>0,则m'(x)=aex+1x2−1x>0
∴m(x)在x0，+∞递增,m(x)m(x0)=aex0−1x0−lnx0−1=−lnx0−1
由 −lnx0−1>0 解得:0由(ⅰ)（ⅱ）可得:0又a=1x0ex0，g(x)=xex在0，+∞单调递增，
∴当011ee1e=e1−1e，即a∈e1−1e，+∞ ···17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
A
B
C
C
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
ACD
X
1
2
3
...
K
...
n
P
(45)0∙15
(45)1∙15
(45)2∙15
...
(45)k−1∙15
...
(45)n−1