新教材(广西专版)高考数学一轮复习第七章平面向量、复数第三节平面向量的数量积与平面向量的应用课件

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知识梳理1.平面向量数量积的概念(1)向量的夹角
(2)平面向量的数量积已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ. 
|a||b|cs θ
微点拨两个向量夹角的取值范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况.
微思考 两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗?
提示 不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0).
2.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
微点拨已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.(1)公式a·b=|a||b|cs θ与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两个向量的数量积的.(2)a·b=0不能推出a=0或b=0,因为当a·b=0时,还有可能a⊥b.
微思考已知向量a=(x,y),与a共线的单位向量的坐标是什么?与a垂直的单位向量的坐标又是什么?
3.向量数量积的运算律
微点拨要准确理解数量积的运算律,例如,a·b=a·c(a≠0),不能得出b=c,两边不能约去同一个向量.
常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(3)(a·b)c=a(b·c).(　　)
2.已知向量a,b满足a·(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为(　　)
3.(2023全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cs=(　　)
解析∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有csA.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]
解析(1)如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cs θ,sin θ),θ∈[0,2π],
由基本不等式a2+b2-|a||b|≥2|a||b|-|a||b|=|a||b|,故|a||b|≤1,当且仅当|a|=|b|时取得等号,
方法总结求两个向量的数量积的三种方法
考向1.平面向量的模典例突破
方法总结求平面向量的模的两种方法
对点训练2(2023新高考Ⅱ,13)已知向量a,b满足|a-b|= ,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
解析由|a-b|= ,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①.又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2,代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|= .
考向2.平面向量的夹角典例突破
解析由a+b+c=0,得a+b=-c,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2,即
不妨设a=(1,0),b=(0,1).因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),
方法总结求平面向量夹角的两种方法
对点训练3已知向量 a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=(　　)A.-6B.-5C.5D.6
考向3.平面向量的垂直典例突破 
例4.(2023新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　)A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-1
解析 (方法1)由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.(方法2)由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.
方法总结已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
对点训练4已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a⊥b,若(a+b)⊥(a-λb),则实数λ的值为(　　)
解析因为a⊥b,所以a·b=0,依题意(a+b)·(a-λb)=|a|2-λ|b|2-(λ-1)a·b=4-λ=0,则λ=4.
典例突破例5.已知向量a=(cs x,sin x),b=(3,- ),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
名师点析向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.