四川省成都市成都市石室联合中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法．根据合并同类项法则，多项式乘多项式法则及平方差公式，完全平方公式逐项判断．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意；
故选：D．
2. 今年9月1日华为Mate60手机的发布，宣告美国对我国高端芯片技术封锁的失败，据测速网监测，用Mate60手机下载一个2.4M的文件大约只需要秒，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据用科学记数法表示为，
故选：C．
3. 如图，直线，D为直线l上一点，，为的角平分线，交直线l于点E，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到，由角平分线定义即可求出的度数．
【详解】解：∵直线，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴．
故选：C．
4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD
【答案】D
【解析】
【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
5. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）

A. 全等形B. 稳定性C. 灵活性D. 对称性
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性解答；
【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形全等
C. 面积相等的两个三角形全等
D 内错角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质对A项进行判断；根据全等三角形的判定方法对B，C选项进行判断；根据平行线的判定方法对D选项进行判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了平行线的判定．
【详解】解：A．两直线平行，同旁内角互补，所以A项不符合题意；
B．两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，所以B项不符合题意；
C．面积相等的两个三角形不一定全等，所以C项不符合题意；
D．内错角相等，两直线平行，所以D项符合题意．
故选：D
7. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度随飞行时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ）

A. 风筝最初的高度为B. 时高度和时高度相同
C. 时风筝达到最高高度为D. 到之间，风筝飞行高度持续上升
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象逐项判断即可得．
【详解】解：A、风筝最初的高度为，则此项正确，不符合题意；
B、时高度和时高度相同，均为，则此项正确，不符合题意；
C、时风筝达到最高高度为，则此项正确，不符合题意；
D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，则此项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
8. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
则，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9. 计算：__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再进一步计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：
10. 在中，已知，那么是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【解析】
【分析】设，则，，根据三角形内角和求出的值，计算出每个内角度数即可判断．
【详解】解：设，则，，
，
，
，
，
，，，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，运用方程思想是解本题的关键．
11. 如果是一个完全平方式，那么k的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是完全平方公式的应用，解题的关键是掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去的系数和常数3的积的2倍，故．
【详解】解：中间一项为加上或减去的系数和常数3的积的2倍，
．
故答案为：．
12. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
【答案】55°
【解析】
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
13. 若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．本题考查了多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，，
解得：，，
故答案为：2．
三、解答题（本大题5个小题，每题6分）
14. 计算题：
（1）；
（2）
【答案】（1）15 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和多项式乘以多项式：
（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可．
（2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，根据完全平方公式和整式的计算法则进行化简；再将数值代入求出结果即可．解题的关键是根据公式法和计算法则来解答．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
16. 如图，点、在上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）∠D的度数是
【解析】
【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明；
（2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．
小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
，，
，
，
的度数是．
17. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
（1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；
（2）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；
（3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度
（2）
（3）小乐与燃放烟花所在地大约相距远
【解析】
【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
（2）根据表格中的数据求出关系式；
（3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离．
【小问1详解】
解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
【小问2详解】
由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大，
∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为，
故答案为：；
小问3详解】
，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远．
18. 如图，在中，平分，平分，连接、，且．
（1）证明：；
（2）若，，求的度数；
（3）作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
，证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论；
（2）设，，根据三角形的内角和定理可得：，从而可得结论；
（3）如图2，设，，根据角平分线的定义可得，，根据8字形可得①，②，由①②可得结论．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的内角和定理解决问题．
【小问1详解】
证明：如图1，过点作，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图2，，理由如下：
设，，
平分，平分，
，，
，
，即①，
，
，即②，
由（1）知：，
由（2）知：，
得：，
．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
19. 若，，则___________．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得，又由，，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：12．
20. 已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据，即，可得，，而，为等腰三角形的边长，因此等腰三角形的第三条边的边长为6，分别计算即可．本题考查的是因式分解的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
，
，，
，为等腰三角形的边长，
等腰三角形的第三条边的边长为6，
当第三条边的边长为6时，的周长为：，
故答案为：15．
21. 为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），例如： ，若，则______， _____．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到和的值，本题得以解决．本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出的值．
【详解】解：，
，
，
，，
故答案为：4，．
22. 如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连结，先证明，进一步推得，再证明，求出的长，即可利用三角形面积公式求的答案．
【详解】解：如图，在上截取，连结，
，是高，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
∴，
， ，
，
，
．
故答案为：16．
23. 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河提的情况，如图，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达之前，当A灯转动_______秒时，两灯的光束互相平行．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，设秒后两灯的光束互相平行，表示出和，证明出，列等式解答即可．依题意得出等式并计算是本题的解题关键．
【详解】解：设t秒后两灯的光束互相平行，
∵灯A转动的速度是秒，
∴灯A转动了，
∵灯B转动的速度是秒，
∴灯B转动了，
如图，
∴，，
∵光束互相平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24. 如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A和B）的面积；
（2）若，，求卧室（含卧室和）比客厅大多少平方米．
【答案】（1）客厅平方米；卧室平方米
（2）卧室比客厅大33平方米
【解析】
【分析】（1）用客厅面积卧室面积，再进行化简即可；
（2）80元乘以总面积即可求解．
本题考查了列代数式问题，解题的关键是求出住房的各部分的长和宽，然后代入矩形的面积计算公式进行计算．
【小问1详解】
解：客厅的长为，宽为，
因此面积为：平方米，
卧室是长为米，宽为：米的长方形，
因此卧室的面积为： 平方米；
【小问2详解】
解：卧室比客厅大的面积为：
，
当，时，
原式（平方米），
答：卧室比客厅大33平方米．
25. 刘师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池满电量为60干瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算刘师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系．
（1）已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？
（2）当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的关系式，当电池剩余电量为时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？
（3）刘师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，两种方案费用一样．
【答案】（1）电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要108元
（2），当电池剩余电量为时，理论上还能继续行驶30千米
（3）累计行驶里程为22500千米时，两种方案费用一样
【解析】
分析】（1）根据“充电费用=一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”计算即可；
（2）利用待定系数法求出y与x的关系式，将代入函数关系式求出充满电行驶的最大里程，从而确定x的取值范围；将代入函数关系式，求出电池剩余电量为时行驶的里程，根据“理论上还能继续行驶的进程=充满电行驶的最大里程﹣电池剩余电量为时行驶的里程”计算即可；
（3）当时，求出新能源车每千米消耗的电量；设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样，根据“费用=安装费用+一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”分别计算方案一和方案二的费用，由两种方案费用相等列方程并求解即可．
本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数的关系式是解题的关键
【小问1详解】
解：（元），
∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要108元．
【小问2详解】
解：当时，设y与x的关系式为（k、b为常数，且）．
将坐标和代入
得，
解得
∴，
当时，得，解得，
∴；
当时，得，解得，
∴（千米），
∴y与x的关系式为，当电池剩余电量为时，理论上还能继续行驶30千米．
【小问3详解】
解：当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时）．
设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样．
根据题意，得
解得，
∴累计行驶里程为22500千米时，两种方案费用一样．
26. 在的高、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，求的度数；
（3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；
（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．
【小问1详解】
证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
【小问2详解】
解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
【小问3详解】
解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．气温
0
1
2
3
4
5
声音在空气中的传播速度
331
331.6
332.2
332.8
333.4
334
方案
安装费用
每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩
2700元
0.5元
方案二：公共充电桩充电
0
1.5元（含服务费）