2024年广东省河源市中考二模数学试题（学生版+教师版）

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注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 实数0，，，3中，最大的数是（ ）
A. 0B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，即可推出，据此可得答案．
详解】解：∵，
∴，
∴四个数中最大的数是3，
故选D．
2. 年月日时，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，该届冰雪大世界共计运营天，累计接待游客人次，为海内外游客展示了中国东北地区的冰雪魅力．将“”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示，根据科学记数法正确表示即可，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
3. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
4. 如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据“三角形的内角和为”，结合等腰三角形两个底角相等，得出答案即可，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴另一个底角为，
∴顶角，
∴另外两个角的度数分别为和，
故选：B．
5. 若是关于x的方程的解，则的值是（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键．
【详解】解：将代入方程，
得，
解得，
则．
故选：D．
6. 如图，四边形的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形，故选项A，C正确；
当时，但与可能不相等，四边形不是菱形，故选项B错误；
当时，
由得：，
，
，
平行四边形是菱形，故选项D正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和判定．
7. 如图，是的切线，切点分别为点A、B，点C为上一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先由切线的性质得到，再由四边形内角和为360度求出，则由圆周角定理即可得到．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴，先根据图形得到，表示出，再根据得出答案即可，数形结合是解题的关键．
【详解】解：∵点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，点所表示的数为，
∴，，
∵，
∴，
∴点所表示的数，
故选：B．
9. 已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集，先求出一次函数和反比例函数的交点横坐标，根据函数图象分析得出答案即可，熟练掌握根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数和反比例函数，
∴时，，
整理得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
如图，画出图象观察分析，
∴当时，的取值范围为或，
故选：A．
10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案．
【详解】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16，
∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4，
∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为，
∴在一个直角三角形中应用勾股定理：，
解得或（舍去）
∴长直角长为10，短直角边长为6，
∴，
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式直接分解即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了在y轴上的点的坐标特点，根据在y轴上的点横坐标为0进行求解即可．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
∴，
故答案为：0．
13. 罗浮山、丹霞山、西樵山和鼎湖山是广东四大名山，游客甲和游客乙都计划从这四大名山中任选一座进行游玩，则他们选择游玩同一座山的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择游玩同一座山的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：将罗浮山、丹霞山、西樵山和鼎湖山分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择游玩同一座山的结果有4种，
∴他们选择游玩同一座山的概率为．
故答案为：．
14. 如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝_____
【答案】115°
【解析】
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，可得∠DFE＝∠2，由三角形的外角性质可求∠2的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DFE＝∠2
∵∠DFE＝∠1+∠E＝115°
∴∠2＝115°
故答案为115°
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形外角性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
15. 如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，过点B作于H，先求出，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，证明，则，可得；同理可得，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
同理可得，
∴，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：．
（2）如图，点在的边上，请用尺规作图法在边上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、尺规作线段的垂直平分线、垂直平分线的性质，熟练掌握实数的混合运算、尺规作线段的垂直平分线是解题的关键．
（1）先计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再加减计算即可；
（2）根据线段的垂直平分线的作法，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连接两个交点直线交于点，连接，根据“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可得．
【详解】解：（1）
；
（2）如图，即为所求，
．
17. 已知，，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可．
【详解】证明：，
等式的两边都乘，得，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
即．
18. 第19届亚运会在杭州举行，亚运会上的志愿者们被称为“小青荷”，“青荷”的谐音是亲和，彰显志愿者的热情和友好．某场馆比赛结束后，为了选出一位“最佳志愿者”，分别从责任心、亲和力、热情度三个方面对其中三位“小青荷”A、B、C的服务情况进行了评价 （满分100分），统计如下表：
（1）你能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”吗？为什么？
（2）“小青荷”的责任心、亲和力、热情度缺一不可，请你将这三个维度从高到低排序，并按的权重计算加权平均数，从中选出“最佳志愿者”．（结果保留一位小数）
【答案】（1）不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”，理由见解答；
（2）成为“最佳志愿者”．
【解析】
【分析】本题考查加权平均数、近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．
（1）先判断，然后通过计算说明理由即可；
（2）根据题意和题目中的数据，即可计算出加权平均数，然后比较大小即可．
【小问1详解】
解：不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”，
理由：的平均分为：（分），
的平均分为：（分），
的平均数为：（分），
∴三人的平均分相同，
∴不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”；
【小问2详解】
的加权平均数为：，
的加权平均数为：，
的加权平均数为：，
∵，
∴成为“最佳志愿者”．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，四边形中，，，且．
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形内角和定理、等腰三角形三线合一、等边对等角、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的判定、含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等边对等角，得出，根据三角形内角和定理，计算求出度数，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明；
（2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质、等腰三角形三线合一，结合勾股定理，求出、、的长，根据、计算，最后根据得出答案即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，由（1）得，
∴，，
∴，
如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍．
（1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？
（2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？
【答案】（1）鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒
（2）至少购进鸡仔饼41盒
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．
（1）设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
【小问1详解】
解：设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒；
【小问2详解】
设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为41，
答：至少购进鸡仔饼41盒．
21. 综合与实践
中式建筑中的窗户将对称美发挥得淋漓尽致．小明在旅游中看到了如图所示的八边形窗户，发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，这个八边形窗户各个角都相等．图是从图中抽象出来的几何图，其中，，．八边形的周长为．设 ，．

（1）八边形的一个内角的度数为 ．
（2）求关于的函数解析式．
（3）当等于多少时，这个八边形窗户外框透过的光线最多？
【答案】（1）
（2）
（3）当时，这个八边形窗户外框透过的光线最多
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角以及内角和、一次函数的应用、二次函数的应用及性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意、数形结合是解题的关键．
（1）根据“这个八边形窗户各个角都相等”，结合多边形的内角和公式，计算出八边形的一个内角的度数即可；
（2）根据题意得出，，，根据“八边形周长为”，得出，整理得出关于的函数解析式即可；
（3）分别延长、、、，交于点，设这个八边形的面积为，证明构造的四个角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，列出关于的二次函数关系式，根据二次函数性质，求出出取得最大值时，的值即可．
【小问1详解】
解：∵该多边形是八边形，
∴它的内角和，
又∵这个八边形窗户各个角都相等，
∴八边形的一个内角的度数，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，，八边形的周长为，，，
∴，，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，分别延长、、、，交于点，设这个八边形的面积为，
∵八边形的一个内角的度数为，
∴每个外角，
又∵，
∴构造的四个角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，斜边为，则直角边为，
∴，
∴当时，取得最大值，
∴当时，这个八边形窗户外框透过的光线最多．
五、解答题 （三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合探究
如图，在中，，点D在以为直径的圆上， 连接、， ，点E、F分别在、的延长线上，且，．
（1）求证：四边形是正方形．
（2）点M是延长线上一点，连接，若， 求证：．
（3）延长、交于点G，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）13
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理可知，进而可知，则，再根据，可得，结合，，可知，得，进而可证明结论；
（2）连接，交于点，如图，由（1）可知，四边形为正方形，由此得，，进而可知，再利用互余可证，进而证得，得，即可证明；
（3）由勾股定理得，进而可得，由，可知，则，设，可得，在中，由勾股定理得，列出方程求得，即，再根据勾股定理得．
【小问1详解】
证明：由题图可知，为直径所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，且，
∴四边形为正方形；
【小问2详解】
证明：连接，交于点，如图，
由（1）可知，四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵在中，，，，
∴，
∴在中，，
∵，则，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵在中，，且，
∴，
∴，解得：或，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，即，
∵，则，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
23. 综合运用
如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B， 点C、D分别在直线、x轴负半轴上运动，且始终满足．连接， 交y轴于点E，以为斜边构造等腰直角三角形，， 且点C、D、F 按顺时针方向排列， 连接、． 点C的横坐标为m（）．

（1）分别求、的长．
（2）若点C在线段上， 当是直角三角形时，求点C的坐标．
（3）设的面积为S， 求S关于m的表达式．
【答案】（1），
（2）当是直角三角形时，点的坐标为或
（3）当时，；当时，．
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，，进而可求解；
（2）过点分别作轴，轴，由题意得，则，
由，得，，可知，，再证，可知，进而得，，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论即可；
（3）过点分别作轴，轴，根据等腰直角三角形的性质可知，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论即可．
【小问1详解】
解：当时，，解得，
当时，，
∴，，
∴，；
【小问2详解】
过点分别作轴，轴，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，，
∴，，
①当时，则是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，即：，
亦即：，
解得：（舍去），，
∴；
②当时，则是直角三角形，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，，
∴，解得：，
∴；
③当时，
∵，相互矛盾，
∴不存在这种情况；
综上：当是直角三角形时，点的坐标为或；
【小问3详解】
过点分别作轴，轴，
∵等腰直角三角形，，则，
∴，
∴，
①当时，，，

在中，
，
∵，
∴，
∴；
②当时，，，

在中，
，
同理，
∴；
③当时，，，

在中，
，
∵，即：，
∴，
∴，
综上：当时，；当时，．
【点睛】本题考查一次函数，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，图形与坐标，动点问题，利用数形结合，分类讨论是解决问题的关键．A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
小青荷
责任心
亲和力
热情度
A
91
96
95
B
97
91
94
C
92
98
92