2024年浙江省杭州市临平县教育联盟中考数学二模试题（学生版+教师版）

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1. 冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．根据正数和负数的意义求解即可．
【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作，
故选：B．
2. 2023年“十一”黄金周，某旅游城市共接待游客大约1670000人次，这个数用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是用科学记数法表示绝对值较大的数． 科学记数法的形式是： ，其中 n为整数． n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到1的后面，所以．
【详解】解：．
故选：B．
3. 如图所示的是零件三通的立体图，则这个几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形是一个倒“T”形，即看到的图形如下：
，
故选：B．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
【详解】解：∵不是同类项，无法计算，
故A不合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C不合题意．
∵，
∴D合题意．
故选：D．
5. 如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
6. 一次函数的函数值y随x的增大而增大，当x=2时，y的值可以是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值．
【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而增大
∴
∴当时，
∴当x=2时，y的值可以是2．
故选：D．
7. 如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理得：，由平分，可得，由D，E分别为的中点，可得，，，进而可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵平分，
∴，
∵D，E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边．熟练掌握勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边是解题的关键．
8. 九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
9. 如图，在矩形中，，，E是边上的中点，以E为圆心，长为半径画弧，交边于点F，连结交对角线于点G，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，延长交于点，由题意知，，，由，可得，则，，，，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵矩形，
∴，，，
由题意知，，，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
10. 已知二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和，则直线一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与各项系数的关系，一次函数的性质等知识，由题意可知m，n为一元二次方程的两个实数根，且，根据根与系数的关系可知，，即 ，，再进行对和分类讨论得出，即可根据一次函数的性质求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和
∴m，n为一元二次方程的两个实数根，且，
∴，，
∵，
∴，，
即 ，，
∴，
当时，则，，则，则，
当时，则，，则，则，
∴当时，总有，，
∴直线一定经过一、二、三象限，一定不经过第四象限，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：___．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查因式分解－公式法，掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】，
故答案为：．
12. 某学校开设了劳动教育课程，小明从感兴趣的“陶艺”“电工”“ 烹饪”3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“陶艺”的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式．直接利用概率公式可得答案．
【详解】解：∵共有“陶艺”“电工”“烹饪”3门课程，
∴小明恰好选中“陶艺”的概率为．
故答案为：．
13. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键．
详解】解：根据题意得，
解得：或（舍去），
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，圆心为点O，自点A作半圆的切线，则的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，矩形的性质，勾股定理，中等难度，正确作出作辅助线是解题关键．
连接，证明得垂直平分，根据面积法即可解题．
【详解】解：连接，交于点，
∵四边形为矩形，
∴，即切圆与点，
∵、分别切圆与，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，为直径，圆心为点O，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，则，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，已知反比例函数第一象限的图象经过的顶点A，且交于点C，点B在x轴的正半轴上，将沿翻折，点C的对应点D恰好落在第二象限的图象上，平行x轴，若点E在上，且是的重心，连结，已知的面积为4，则的值为___．

【答案】12
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数中的几何意义，由点E在上，且是的重心，的面积为4，可得，可得，再进一步解答即可．
【详解】解：∵点E在上，且是的重心，的面积为4，
∴，，，
∴，
由对折可得：，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：
16. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长交于点M，交于点N，连接．当时，____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，求一个角的正切值，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点M作于点P，于点Q，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，设，证明，得出，求出，根据正切函数的定义求出．
【详解】解：过点M作于点P，于点Q，如图所示：
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，整式的乘法运算；
（1）根据化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
18. 如图，在四边形中，，．
（1）求证：．
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边：
（1）只需要证明，即可证明；
（2）证明，得到，则，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
；
【小问2详解】
解：∵，
，
∵，
，
，
∵，，
，
∵，
四边形的周长为20．
19. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程．
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答．
【小问1详解】
解：原方程为，
方程两边同时乘以得
，
解得
经检验，是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：设？为m，
方程两边同时乘以，
得
∵原方程无解
∴是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得
解得，
∴原分式方程中“？”代表数是．
20. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格；9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表：根据信息，解答下列问题：
学生成绩统计表
（1）学生成绩统计表中______，______．
（2）求七年级学生成绩的平均数；
（3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由．
【答案】（1）
（2）7.55 （3）七年级，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键．
（1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可；
（2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可；
（3）利用中位数和众数进行判断即可．
【小问1详解】
解：七年级中8分的人数所占的比重最大，
∴；
八年级的成绩排序后，第10个和第11个数据为7和8；
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：七年级掌握更好，理由如下：
七年级和八年级的平均数相同，七年级的中位数和众数都比八年级的大，故七年级掌握更好．
21. 小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．

（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的性质，经过圆心的直径最大，圆心外端的圆上点最远点，圆心内端的圆上点最近点，确定这两个点的位置，后计算即可．
（2）过点D作交于点M，解直角三角形计算即可．
本题考查了圆的性质，解直角三角形，熟练掌握圆的性质，解直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
∵直径，
．
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
．
【小问2详解】
过点D作交于点M（如图）

∵
∵
，
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
（即）．
22. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求a和b的关系式；
（2）当时，函数y有最小值，求a的值；
（3）若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
（1）将点代入，即可求得a和b的关系式；
（2）根据第（1）问得到的结果，二次函数即为，对称轴为直线，分别讨论当时，对称轴直线在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；当时，在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；
（3）若时，则二次函数为，平移后的解析式为，设，则，则，可求出、坐标，代入即可求出m．
【小问1详解】
∵ 的图象经过点．
，
；
【小问2详解】
∵
对称轴为直线，
①当时，对称轴直线在范围内，
当时，函数取得最小值，即，
，
②当时，在范围内，
当时，函数取得最小值，即，
，
或
【小问3详解】
若时，则二次函数为，将函数图象向下平移个单位长度，
平移后的函数解析式为，
设，则．
，
，
，，
将或代入，得，
解得．
23.
【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，，
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，
任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可；
任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可；
【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x，
由题意得：
，得：
小明：由题意得：
∵
，得．
∵
，得：
∵
．
任务二：由题意得：
设：，，
同理：
，得
∵
，得：
．
矩形的边长为：；．
24. 如图1，内接于⊙，，点D为上的动点，连结交于点E，连结并延长交于点F，连结．

（1）当时，求的度数；
（2）如图2，当，，时，求的长；
（3）如图3，当为⊙的直径，，时，求k的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连结，，先证明，可得，再进一步可得答案；
（2）连结，证明，可得，再证明，可得，再进一步求解即可．
（3）先表示，，．延长交于点H，证明，可得，证明，利用．设，，半径：，再进一步解答即可．
【小问1详解】
解：连结，

∵，，
∵
；
【小问2详解】
解：连结

∵，由（1）得：，
∵
∵
∵，，
．
【小问3详解】
解：∵，
，，．
延长交于点H，

由（1）可得：，
∵是直径
∵，
∴是的中位线．
∵
．
设，，半径：
则，在中
得
即：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
七年级
八年级
平均数
755
中位数
8
众数
7
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1
图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．

素材2
小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．

素材3
小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上；
步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．

问题解决
任务1
请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2
请求出小富同学裁下的矩形各边长．