河南省南阳市华龙高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷

这是一份河南省南阳市华龙高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A．44B．C．66D．
3．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第1个孩子分得棉花的斤数为（ ）
A．48B．65C．82D．99
5．若，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣9D．﹣12
6．曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
7．已知是函数的极值点，则（ ）
A．1B．2C．D．
8．是定义在的函数，导函数在内的图像如图所示，则下列说法有误的是（ ）
A．函数在一定存在最小值
B．函数在只有一个极小值点
C．函数在有两个极大值点
D．函数在可能没有零点
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设数列的前n项和为，，，则（ ）
A．是等比数列B．是单调递增数列
C．D．的最大值为12
10．设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等比数列 中， ， 则首项 .
14．在等比数列中，，，则 .
15．已知函数.则 .
16．函数，其导函数为函数，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其余12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．等差数列的前项和记为，已知.
(1)求的通项公式：
(2)求，并求为何值时的值最大.
18．已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
19．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
20．已知等差数列的前项和满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
21．设数列的前n项和为，且满足（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和.
22．已知函数.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥ 0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】求出等差数列的公差，进而可求得的值.
【详解】由题意可知，等差数列的公差为，因此，.
故选：A.
2．D
【分析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.
【详解】因为，是方程的两个根，所以，
而，所以，
则,
故选：.
3．C
【分析】根据给定条件结合等比数列性质可得，再把所求的式子用等比数列性质化成用表示即可得解.
【详解】因数列是正数组成的等比数列，则，
所以.
故选：C
4．B
【分析】根据等差数列的前n项和求解即可.
【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为
则由题意得，，，解得，即第1个孩子分得棉花的斤数为65斤.
故选：B.
5．D
【分析】先把等价转化为，从而导出其最终结果．
【详解】
故A，B，C错误.
故选：D．
6．A
【分析】利用导数的几何意义即可求解﹒
【详解】
∴在(0，1)处切线方程为：，即﹒
故选：A﹒
7．A
【分析】求导，根据是的极值点，由求解.
【详解】因为，
所以．
又是的极值点，
所以，
解得，经检验知不符合条件．
故选：A
8．A
【分析】由导函数的图像确定函数的单调性依次判断4个选项即可.
【详解】
由导函数的图像可知原函数的图像如图所示，
对于A：不确定端点及极小值的大小，同时端点值取不到，故不一定有最小值，A错误；
对于B：由图像可知只有一个极小值，B正确；
对于C：由图像可知有两个极大值，C正确；
对于D：函数图像极值大小不确定且可以上下平移，故在可能没有零点，D正确.
故选：A.
9．CD
【分析】由题设，结合等差、等比数列的定义和性质判断A、B；进而求出的通项公式，根据的二次函数性质求最值判断C、D.
【详解】由题设知：，故是等差数列且递减，又，
所以，且，
当或，的最大值为12.
综上，A、B错误，C、D正确.
故选：CD
10．CD
【分析】利用等差数列前n项和公式结合等差数列的性质计算判断作答.
【详解】等差数列的前项和为，由得：，
由得，，
因此，等差数列的公差，即数列是递增等差数列，则有，，
所以选项A，B都不正确；选项C，D都正确.
故选：CD
11．BD
【分析】根据等比数列公式得到，，计算得到，，对比选项得到答案.
【详解】，，解得，，故，， ，故BD正确，AC错误.
故选：BD.
12．BC
【分析】函数在上有极值，即导数在上有变号零点，列出关于的不等式组，进而求出参数的取值.
【详解】由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递增，故，
可得，解得，故可取2，3.
故选：BC.
13．/0.25
【分析】设等比数列 的公比为，由求出，即可得答案.
【详解】设等比数列 的公比为，
则， 则，
则，
所以.
故答案为：.
14．16
【分析】利用等比数列中性质成等比数列得解
【详解】，
成等比数列
故答案为：16
【点睛】本题考查等比数列和的性质．
当或且为奇数时是等比数列，其公比为
15．0
【分析】根据导数的运算法则即可计算.
【详解】∵，∴，
∴，∴.
故答案为：0.
16．
【分析】根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.
【详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
17．(1)；
(2)当或时，的值最大.
【分析】（1）根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质进行求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，
所以有，
即；
（2）由（1）可知，所以该数列是递减数列，
而，当时，解得：，
因此当或时，的值最大.
18．(1)；
(2).
【分析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解.
(2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，
所以数列的通项公式是：.
（2）由(1)知，，，
，
所以数列的前n项和.
19．（1）；（2）单调增区间，，单调减区间；极小值为，极大值为．
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值
【详解】解：（1），所以,
故切线方程为；
（2），
解，得或；解，得；
所以，为函数的单调增区间，
为函数的单调减区间
所以的极小值为，极大值为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知求出首项和公差即可求出；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，．
所以，化简得，解得，
所以．
（2）由（1）可知，
所以，
所以.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，得到，两式相减得到，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）证明：当时，，解得，
由，可得，
两式相减得，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）可得，所以，
则，
则，
两式相减可得
，
所以．
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.
【详解】（1）解：求导可得
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
②时，令可得；令，得或，由于知或；
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
③时，，函数在上单调递增；
④时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）时，，（不符合，舍去）
当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可
∴.
综上，.