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安徽省阜阳市红旗中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题
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这是一份安徽省阜阳市红旗中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，，是复数，下列说法正确的是，中，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
2.在中，D是BC边上的中点，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，，则D.若，，则
4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A.B.4C.D.
5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
6.已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，若三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为（ ）
A.B.C.D.
8.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术可以视为将一个圆内按正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）（取近似值3.14）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.，是复数，下列说法正确的是（ ）
A.若则是纯虚数
B.若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称
C.若，则
D.若，则
10.中，下列说法正确的是（ ）
A.若，则ABC为钝角三角形.
B.若，，则点P的轨迹一定通过的内心.
C.若G为重心，则
D.若点O满足，，，则
11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列说法中正确的（ ）
A.存在点E，F使得
B.异面直线EF与所成的角为60°
C.三棱锥的体积为定值
D.到平面AEF的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的体积为______.
13.文峰塔位于安徽省阜阳市中心干道颍州路文峰公园内，文峰公园因此得名，康熙三十五年（1696）于此建文峰塔，以振兴阜阳文风。文峰塔是安徽省级文物保护单位。小张为了测量文峰塔的高度AB，采取了以下方法：在公园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退22.1米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小张的眼睛距离地面高度为米，则文峰塔高度AB约为______米.（结果保留小数点后一位，参考数据：）.
14.如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则______，______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知复数，
（1）若，求复数；
（2）若z是关于x的方程的一个虚根，求的值.
16.（本小题满分15分）
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且，且.
（1）求角A：
（2）若，，求的面积.
17.（本小题满分15分）
如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点.
（1）求证：平面PAB：
（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使平面PAB？说明理由.
18.（本小题满分17分）
在中，已知，，，点M是边AB的中点，且，直线CM与BN相交于点P.
（1）求；
（2）求的值.
19.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，平面PDC，，，，，，.
（1）求证：平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
答案
1-8BACC BABC
8【解答】
解：将一个单位圆分成个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为，
这扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
，
9.AB 10.BD 11.BCD
12. 13.31.8 14.
15.【答案】解：（1）因为，所以，所以，
因为，所以
（2）由题意可得，即.
则解得
故.
16.【解答】解：（1）由题意得：，所以，
由正弦定理得：，
又因为，则有，
又，所以.
（2）由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
则的面积.
17.【答案】证明：（1）取的中点，连接，，
是的中点，
，，
在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，，
，，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面.
（2）取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由（1）可得平面，，、平面，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，线段上存在点，使得平面.
18.（1），.
（2）因为三点共线，且，点是边的中点，
所以存在实数x满足，
又因为三点共线，所以，
所以，而，
且，
所以
.
19.【答案】
（1）证明：因为平面，在平面上，
所以，
又因为，所以，
又，，，均在平面上，
所以平面；
（2）解：过点作的平行线交于点，连接，如图，
则与平面所成的角等于与平面所成的角，
因为平面，故为在平面上的射影，
所以为直线和平面所成的角，
由于，，
所以四边形为平行四边形，
故，
由已知，得，
因为平面，在平面上，
，又，
故，
，
在中，可得.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
2.在中，D是BC边上的中点，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，，则D.若，，则
4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A.B.4C.D.
5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
6.已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，若三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为（ ）
A.B.C.D.
8.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术可以视为将一个圆内按正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）（取近似值3.14）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.，是复数，下列说法正确的是（ ）
A.若则是纯虚数
B.若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称
C.若，则
D.若，则
10.中，下列说法正确的是（ ）
A.若，则ABC为钝角三角形.
B.若，，则点P的轨迹一定通过的内心.
C.若G为重心，则
D.若点O满足，，，则
11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列说法中正确的（ ）
A.存在点E，F使得
B.异面直线EF与所成的角为60°
C.三棱锥的体积为定值
D.到平面AEF的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的体积为______.
13.文峰塔位于安徽省阜阳市中心干道颍州路文峰公园内，文峰公园因此得名，康熙三十五年（1696）于此建文峰塔，以振兴阜阳文风。文峰塔是安徽省级文物保护单位。小张为了测量文峰塔的高度AB，采取了以下方法：在公园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退22.1米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小张的眼睛距离地面高度为米，则文峰塔高度AB约为______米.（结果保留小数点后一位，参考数据：）.
14.如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则______，______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知复数，
（1）若，求复数；
（2）若z是关于x的方程的一个虚根，求的值.
16.（本小题满分15分）
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且，且.
（1）求角A：
（2）若，，求的面积.
17.（本小题满分15分）
如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点.
（1）求证：平面PAB：
（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使平面PAB？说明理由.
18.（本小题满分17分）
在中，已知，，，点M是边AB的中点，且，直线CM与BN相交于点P.
（1）求；
（2）求的值.
19.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，平面PDC，，，，，，.
（1）求证：平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
答案
1-8BACC BABC
8【解答】
解：将一个单位圆分成个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为，
这扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
，
9.AB 10.BD 11.BCD
12. 13.31.8 14.
15.【答案】解：（1）因为，所以，所以，
因为，所以
（2）由题意可得，即.
则解得
故.
16.【解答】解：（1）由题意得：，所以，
由正弦定理得：，
又因为，则有，
又，所以.
（2）由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
则的面积.
17.【答案】证明：（1）取的中点，连接，，
是的中点，
，，
在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，，
，，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面.
（2）取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由（1）可得平面，，、平面，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，线段上存在点，使得平面.
18.（1），.
（2）因为三点共线，且，点是边的中点，
所以存在实数x满足，
又因为三点共线，所以，
所以，而，
且，
所以
.
19.【答案】
（1）证明：因为平面，在平面上，
所以，
又因为，所以，
又，，，均在平面上，
所以平面；
（2）解：过点作的平行线交于点，连接，如图，
则与平面所成的角等于与平面所成的角，
因为平面，故为在平面上的射影，
所以为直线和平面所成的角，
由于，，
所以四边形为平行四边形，
故，
由已知，得，
因为平面，在平面上，
，又，
故，
，
在中，可得.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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