2024年广东省深圳市南山部分学校中考三模数学试题

这是一份2024年广东省深圳市南山部分学校中考三模数学试题，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14B．C．D．
2．铜鼓是我国古代南方少数民族使用的打击乐器和礼器，世界上最重的铜鼓王出土于广西、如图是铜鼓的实物图，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差B．中位数，方差
C．中位数，众数D．平均数，众数
4．如图，已知三角板，，，，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．如图，在中，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以点 E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点O；作射线交于点H，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．如图，在 中，cm，，，过点 向作垂线，垂足为．直线垂直于，直线分别与相交于点，直线分别与相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及围成的多边形的面积是 ，直线m的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有 个．
13．关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
14．如图，在中，，交x轴于点D，，C点坐标为，点A在双曲线上，则 ．
15．如图，在中，，，是边上一点，连接，于点，点在上，连接，，，若，，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）中的一种，小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测．
(1)小明检测的溶液变成红色的概率为 ；
(2)用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果，并求小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率．
18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格, 均在格点上．
（1）在图①中，的值为______；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在上找一点，使；
②如图③，在上找一点,使．
19．去年夏天，全国多地出现了极端高温天气，某商场抓住这一商机，先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，商店在销售这种太阳伞时，每把定价都是50元，每天可卖出20把．
(1)求两次共购进这种太阳伞多少把；
(2)商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价1元，则每天可多售出2把，这种太阳伞降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？每天最大的销售额是多少元？
20．如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．

(1)求证：；
(2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．
21．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．
图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况．
定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）．
问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度．
问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示．
问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：）
22．【问题呈现】
（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系 ．
【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．
成绩
24
25
26
27
28
29
30
人数
■
■
3
3
6
7
9
参考答案：
1．C
【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【详解】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意；
B、，是有理数，此项不符题意；
C、是无理数，此项符合题意；
D、是分数，属于有理数，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键．
2．B
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．准确掌握定义是解题的关键．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，可得选项B的图形，
故选：B．
3．C
【分析】通过计算成绩为24、25分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．
【详解】解：由表格数据可知，成绩为24分、25分的人数为30-3-3-6-7-9=2（人），
成绩为30分的，出现次数最多，因此成绩的众数是30，
成绩从小到大排列后处在第15、16位的两个数都是29分，因此中位数是29，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：C．
【点睛】考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
4．D
【分析】本题根据30度所对直角边等于斜边的一半，得到，根据勾股定理求得的长度，再根据题意得到是等边三角形，根据等边三角形的性质确定转动的角度，最后运用弧长公式即可解题．
【详解】解：，，，
，
，
，
当落在边时，，，
是等边三角形，
转动了，
点转过的路径长，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质和判定、30度所对直角边等于斜边的一半、弧长公式，熟练掌握相关性质定理即可解题。
5．A
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，
，，
∵，
，.
.
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题，本选项符合题意；
C、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
8．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，过H作，根据平行四边形得到，，结合得到，结合角平分线得到，即可得到，得到，即可得到即可得到答案；
【详解】解：过H作，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．分别求出当和时的y与x之间函数关系式即可判断．
【详解】解：中，，过点 向作垂线，
∴，
∴，
∴，
同理
∵cm，，
∴，
在中，运用勾股定理得，
∵，∴，
由得：，
当时，，
由，得：，，
∴，
∴
；
当时，
．
∴ ，根据函数解析式判断A选项符合题意，
故选：A．
10．D
【分析】根据可以确定A，D，P，E四点共圆，根据三角形内角和定理确定，进而确定当时，线段取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定，根据相似三角形的判定定理和性质可，设，根据等角对等边和勾股定理表示出和，根据所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中计算即可．
【详解】解：∵于D，于E，
∴，
∴，
∴A、D、P、E四点共圆，且直径为，
∵，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小，此时，
在中，
∴是等腰直角三角形，，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
则，
∵，
∴，
过D作于M，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
则线段的最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，含的直角三角形，正确确定何时取得最小值是解题关键．
11．
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
直接运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
用黑球的个数除以球的总个数等于0.75列出关于n的方程，解之即可．
【详解】解：根据题意知 ，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
∴这个袋中白球大约有3个，
故答案为：3．
13．且
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据分式方程的解为正数，得到大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：解得，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
14．/
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求的坐标，依据在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．要求的值，通常可求的坐标，可作轴的垂线，构造相似三角形，利用和可以求出的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确定的值．
【详解】解：过作轴，垂足为，
，
，
，，
，
，
；
又轴平分，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】如图，作交的延长线于，连接，根据余角的性质得到，求得是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质得到，延长交于，根据三角函数的定义得到，，，作于，设，，，，，在和中，根据勾股定理得，，进而可得，的值，进而可得，由，可知，在中，由勾股定理得，计算求解可得值，进而可得的值．
【详解】解：如图，作交的延长线于，连接，
，
，
，，
，
∴是等腰直角三角形，
，
在和中，
∵，
∴，、
∴，
如图，延长交于，
∴，，
∴，，，
∴，
如图，作于，
设，则，，，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正切，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．
【分析】本题考查了实数的运算，分别化简绝对值，零指数次幂，负整数指数幂的运算、二次根式的化简，再进行实数运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
．
17．(1)
(2)见解析，
【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：4种溶液中，有2瓶呈碱性，
则检测的溶液变成红色的概率为，
故答案为：；
（2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果，
小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率为：．
18．（1）；（2）①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【详解】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴，
故答案为．
（2）在网格图中，
①如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵BC∥AD，
∴，
解得：AP=3
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
∴点P即为所要找的点，
【点睛】本题考查了作图-相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
19．(1)两次共购进这种太阳伞600把
(2)太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元
【分析】本题考查的是分式方程的应用，二次函数的应用，理解题意，确定相等关系建立方程与函数关系式是解本题的关键；
（1）设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞．利用所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，再建立方程求解即可；
（2）设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元．由总利润等于每件利润乘以销售量建立函数关系式，再利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞．
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，则，
答：两次共购进这种太阳伞600把；
（2）设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元．
由题意得，
化简得：，
当时y有最大值，y最大值，
答：太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元．
20．(1)证明过程见解析
(2)①2；②
【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论；
（2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解；
②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，点D为切点，
∴，
∵，，，
∴，
∴；

（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半圆O的半径为2；
②在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21．问题一：影长米；问题二：；问题三：
【分析】问题一：过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在在中，利用正弦函数关系则可求得；
问题二：延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解；
问题三：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围．
【详解】问题一
解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，
，
，
四边形为矩形，米，
，
，
由题可知，米，米，
在中，由勾股定理得米，
则，
在中，，
解得米，即影长为米，
问题二
解：
延长交于点，
，
，即，
中，，则，
，
在中，，
，则，
当点N在点E右侧时，，
则，
当点N在点E左侧时，，
则，
当点N与点E重合时，，即，
综上所述，；
问题三
解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，
当时，都为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
由题可知：，
，
当时，解得：
，
即．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键．
22．（1）；（2）改变，，见解析；（3），见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论；
（3）如图③，将绕点D逆时针旋转得到，连接，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵以为边作等边，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）（1）中的结论改变，，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，E是的中点，
∴，，
∴，
如图③，将绕点D逆时针旋转得到，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵厘米，厘米，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．