2024年中考数学压轴题精选专项突破-二次函数

这是一份2024年中考数学压轴题精选专项突破-二次函数，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共36分）
1． 如图，正三角形ABC的边长为6，点P从点B开始沿着路线B→A→C运动，过点P作直线PM⊥BC，垂足为点M，连接PC，记点P的运动路程为x，△PCM的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y= 4x 的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 2B．2＋2 10C．2＋2 13D．5＋ 13
4．如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM=30°，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A．42−4B．22−2C．26−23D．26−3
5．如图，矩形 AOBC 的顶点坐标分别为 A(0，3)，O(0，0)，B(4，0)，C(4，3) ，动点F在边 BC 上（不与 B、C 重合），过点F的反比例函数 y=kx 的图象与边 AC 交于点E，直线 EF 分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题：①若 k=4 ，则 △OEF 的面积为 163 ；②若 k=218 ，则点C关于直线 EF 的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是 0A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知二次函数y=ax2−bx(a≠0)，经过点P(m，2).当y≥−1时，x的取值范围为x≤t−1或x≥−3−t.则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a-b+c，P=4a+2b则（ ）
A．M＞0，N＞0，P＞0B．M＞0，N＜0，P＞0
C．M＜0，N＞0，P＞0D．M＜0，N＞0，P＜0
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0 ② 4ac－b2＞0 ③ a－b＋c＞0 ④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．α+β-γ＝90°B．β＝α+γ
C．α+β+γ＝180°D．β+γ-α＝90°
10．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；②若点M（－2，y1）、点N（ 12 ，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF.给出以下四个结论：①AGAB=AFFC②若点D是AB的中点，则AF= 23 AB；③当B，C，F，D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若 DBAD=12 ，则 S△ABC=9S△BDF ，其中正确的结论序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
12．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y=−140x2−x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
二、填空题（每题3分，共18分）
13．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当10.0mm时，最小.对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝ mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小.
14．已知抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上且经过点 (1，1) ，双曲线 y=12x 经过点 (a，bc) .给出下列结论：①bc>0 ；②b+c>0 ；③b ， c 是关于 x 的一元二次方程 x2+(a−1)x+12a=0 的两个实数根.其中正确的结论是 （填写序号）.
15．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（－1，0）.下列四个结论：
①方程ax2＋bx＋c＝0的解为 x1=−1，x2=3 ；
②3a＋c＝0；
③对于任意实数t，总有 at2+bt⩾a+b ；
④不等式 ax2+(b−k)x+c−k⩾0 （k为常数）的解集为 x<−1 或 x>3+ka .
其中正确的结论是 （填写序号）.
16．如图，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是 ．
17．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1，p)，B(2，q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是 。
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为⊙B上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足CF=12CE，连结BF.当点E与点D重合时，BF的值为 .点E在⊙B上运动过程中，BF存在最大值为 .
三、解答题（共6题，共46分）
19．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为△ABC外一点，AC和BD相交于点E，CE=2AE．
图1 图2 图3
（1）如图1，若CD⊥BC，∠ACB=60°，BC=6，求DE的长；
（2）如图2，若∠ACD=∠ACB，猜想线段BC，CD之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，将△CDE绕点C旋转得到△CD'E'，连结BE'，点P是BE'的中点，当AP取最小值时，直接写出此时△PBC的面积．
20．
21．已知二次函数y=2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A(1，0)，B(0，4)两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y=2(x−h)2−2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y=2(x−m)(x−m−k)，它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y=kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
22．如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．
（1）当tan∠MOF=13时，求OMNE的值；
（2）设OM=x，ON=y，当OMOD=12时，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．
23．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
24．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣ 83 ，直线l的解析式为y=x．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；
（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：①点P在AB上，
∵正三角形ABC的边长为6，P的运动路程为x，
∴∠B=60°，AB=BC=AC=6，BP=x，
∴PM=sin∠B⋅x=32x，MC=BC−cs∠B⋅x=6−x2，
∴S△PMC=12PM⋅MC=12×32x⋅(6−x2)=−38x2+332x，
∴−38<0，
∴图象是一个开口向下的抛物线；
②点P在AC上时，
∵正三角形ABC的边长为6，P的运动路程为x，
∴∠C=60°，AB=BC=AC=6，CP=12−x，
∴PM=sin∠C⋅(12−x)=32(12−x)，MC=cs∠C⋅(12−x)=12(12−x)，
∴S△PMC=12PM⋅MC=12×32(12−x)×12×(12−x)=38x2−33x+183，
∵38>0，
∴图象是一个开口向上的抛物线．
故选：B．
【分析】①点P在AB上，可得S△PMC=12PM⋅MC=12×32x⋅(6−x2)=−38x2+332x；②点P在AC上时，可得S△PMC=12PM⋅MC=12×32(12−x)×12×(12−x)=38x2−33x+183，再画出函数图象即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：①由x2+2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2+2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1•x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y= 4x 的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ 1m ，x2=﹣ 4m ，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y= 4x 的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作 OC∥MN且OC=MN=2 ，连接O'C交AB于点D，连接MC，MO'，
∴四边形MNOC为平行四边形，
∴O'M=OM ， ON=CM ，
∴OM+ON=O'M+MC ，
在 ΔO'MC 中， O'M+CM>O'C ，即 OM+ON>O'C ，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线， OM+ON 取得最小值，
∵∠BAO=30° ， AO=6 ，
设 OB=x ，则 AB=2x ，
x2+62=(2x)2 ，
解得： x=33 ，
即： BO=33 ， AB=63 ，
S△AOB=12×BO×AO=12×AB×OF ，
解得： OF=3 ，
∴O'O=6 ，
∵OO'⊥MN ，
∴∠FMO+∠MOF=90° ，
∵OC∥MN ，
∴∠FMO=∠MOC ，
∴∠FMO+∠MOC=∠FOC=90° ，
在 Rt△O'OC 中，
O'C=OC2+O'O2=210 ，
即： OM+ON=210 ，
∴MN+OM+ON=2+210 ，
故答案为：B.
【分析】作点O关于直线AB的对称点O′，作OC∥MN且OC=MN=2，连接O′C交AB于点D，连接ON，MO，则四边形MNOC为平行四边形，OM+ON=O′M+MC，结合三角形的三边关系可得OM+ON>O′C，当O′、M、C三点共线，OM+ON取得最小值，设OB=x，则AB=2x，根据勾股定理求出x，得到BO、AB，然后根据△AOB的面积公式求出OF，进而得到O′O，在Rt△O′OC中，由勾股定理求出O′C，据此解答.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接BD，在BD上截取BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H.
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴∠CBD=45°，CD=CB=4，∠DCB=90°，
∴BD=BC2+CD2=42，BG=BC=4，
∴DG=BD−BG=42−4，
∵线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，
∴∠EBF=45°，BE=BF，
∴∠CBG=∠EBF，
∴∠CBE=∠GBF，
在ΔCBE和ΔGBF中，
CB=GB∠CBE=∠GBFBE=BF，
∴ΔCBE≅ΔGBF(SAS)，
∴∠BCE=∠BGF=30°，
∴点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，
∵DH⊥FH，∠DGH=∠BGF=30°，
∴DH=12DG=22−2，
∴DF的最小值为22−2.
故答案为：B.
【分析】连接BD，在BD上截取BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H，根据正方形的性质得∠CBD=45°，CD=CB=4，∠DCB=90°，由勾股定理算出BD的长，由旋转得∠EBF=45°，BE=BF，易得∠CBE=∠GBF，用SAS判断出△CBE≌△GBF，由全等三角形的对应角相等得∠BCE=∠BGF=30°，故点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，根据含30度角直角三角形的性质可得DH的长，从而即可得出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：命题①正确.理由如下：
∵k=4 ，
∴E(43 ， 3) ， F(4，1) ，
∴CE=4−43=83 ， CF=3−1=2 .
∴SΔOEF=S矩形AOBC−SΔAOE−SΔBOF−SΔCEF=S矩形AOBC−12OA⋅AE−12OB⋅BF−12CE⋅CF=4×3−12×3×43−12×4×1−12×83×2=12−2−2−83=163 ，故①正确；
命题②正确.理由如下：
∵k=218 ，
∴E(78 ， 3) ， F(4，2132) ，
∴CE=4−78=258 ， CF=3−2132=7532 .
如答图，过点 E 作 EM⊥x 轴于点 M ，则 EM=3 ， OM=78 ；
在线段 BM 上取一点 N ，使得 EN=CE=258 ，连接 NF .
在 RtΔEMN 中，由勾股定理得： MN=EN2−EM2=78 ，
∴BN=OB−OM−MN=4−78−78=94 .
在 RtΔBFN 中，由勾股定理得： NF=BN2+BF2=7532 .
∴NF=CF ，
又 ∵EN=CE ，
∴ 直线 EF 为线段 CN 的垂直平分线，即点 N 与点 C 关于直线 EF 对称，故②正确；
命题③正确.理由如下：
由题意，点 F 与点 C(4，3) 不重合，所以 k≠4×3=12 ，
∴0命题④正确.理由如下：
设 k=12m ，则 E(4m，3) ， F(4，3m) .
设直线 EF 的解析式为 y=ax+b ，则有 4ma+b=34a+b=3m ，解得 a=−34b=3m+3 ，
∴y=−34x+3m+3 .
令 x=0 ，得 y=3m+3 ，
∴D(0，3m+3) ；
令 y=0 ，得 x=4m+4 ，
∴G(4m+4，0) .
如答图，过点 E 作 EM⊥x 轴于点 M ，则 OM=AE=4m ， EM=3 .
在 RtΔADE 中， AD=OD−OA=3m ， AE=4m ，由勾股定理得： DE=5m ；
在 RtΔMEG 中， MG=OG−OM=(4m+4)−4m=4 ， EM=3 ，由勾股定理得： EG=5 .
∴DE·EG=5m×5=25m=2512 ，解得 m=112 ，
∴k=12m=1 ，故命题④正确.
综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】①若k=4，可求出△OEF的面积=矩形OACB的面积-△OAE的面积-△OBF的面积-△CEF的面积=163，故正确；②若 k=218 ，可得E(78，3) ，F(4，2132) ，从而求出CE=258 ， CF=7532 ，
过点 E 作 EM⊥x 轴于点 M ，则 EM=3 ， OM=78，在线段 BM 上取一点 N ，使得 EN=CE=258 ，连接 NF，在 RtΔEMN 中，由勾股定理MN=78，BN=94，在 RtΔBFN 中，由勾股定理得NF=7532，即得NF=CF，由EN=CE，可证明直线EF垂直平分CN，据此判断即可；③由于点 F 与点 C(4，3) 不重合，所以 k≠4×3=12，据此判断即可；④设 k=12m ，则 E(4m，3) ， F(4，3m)，可得直线 EF 的解析式为y=−34x+3m+3，可求D(0，3m+3)G(4m+4，0)，过点 E 作 EM⊥x 轴于点 M ，则 OM=AE=4m ， EM=3 ，由勾股定理得DE=5m ，EG=5，从而得出DE·EG=5m×5=25m=2512，求出m值，即得k值，从而判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：当y≥-1时，ax2-bx≥-1，
∴ax2-bx+1≥0，
∵当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，
∴x=t-1或x=-3-t是方程ax2-bx+1=0的两个根，
∴t-1-3-t=-−ba，
∴b=-4a，
∴y=ax2-bx=ax2+4ax=a（x+2）2-4a，
∴x=-2是函数的对称轴，
又∵当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t.
∴-4a≤-1，
∴a≥14，
∵函数经过点P（m，2），
∴am2+4am=2，
∴a=2m2+4m，
∴2m2+4m≥14，
∴m2+4m≤8，
∴m2+4m-8≤0，
∴-2-23≤m≤-2+23，
∴m的可能取值为1，
故答案为：A.
【分析】由于当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，可得x=t-1或x=-3-t是方程ax2-bx+1=0的两个根，从而得出b=-4a，继而得出y=ax2-bx=ax2+4ax=a（x+2）2-4a，由此得出-4a≤-1，即得a的范围，将点P坐标代入函数解析式中，可求得a=2m2+4m，根据a的范围确定m的范围即可求解.
7．【答案】D
【解析】【分析】由于当x=2时，y=4a+2b+c＜0，因此可以判断M的符号；
由于当x=-1时，y=a-b+c＞0，因此可以判断N的符号；
由抛物线的开口向上知a＞0，对称轴为x=-b2a＞1，得2a+b＜0，然后即可判断P的符号；
【解答】∵当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
∴M＜0，
∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，
∴N＞0，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
而对称轴为x=-b2a＞1，
得2a+b＜0，
∴P=4a+2b＜0．
故选D．
【点评】此题主要考查了点与函数的对应关系，还考查了二次函数的对称轴．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
8．【答案】B
【解析】【解答】解： ①观察图象可知，开口向上a>0， 结合对称轴在右侧b<0， 与轴交于负半轴c<0， ∴abc＞0 ，故正确；
② ∵抛物线与x轴有两个交点，∴4ac－b2＞0，即4ac－b2<0，故错误 ；
③ 当x=-1时，y=a－b＋c， 由图象知（-1，a－b＋c）在第二象限，∴a－b＋c＞0 ，故正确；
④设C（0，c），则OC=|c|， ∴A（c，0）代入抛物线得ac2＋bc＋c＝0， 又∵c≠0，∴ac＋b＋1＝0 ，
故正确；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：B.
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a>0，-1根据抛物线与x轴有两个交点即可对②作出判断；当x=-1时，y=a－b＋c， 再结合（-1，a－b＋c）所在现象对③作出判断；由OA=OC推出A（c，0）， 把该点坐标代入解析式，结合c≠0， 对D进行判断．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG，
∴∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-∠MCG=90°-α，
∵∠NDH=180°-β，∠NDH=180°-∠EHD-∠γ，
∴180°-β=180°-∠EHD-∠γ
∴180°-β=180°-（90°-α）-∠γ，
∴α+β-γ＝90° .
故答案为：A
【分析】过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，可推出AB∥EF∥CG，利用平行线的性质可证得∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-α，利用邻补角的定义和三角形的内角和定理可得到180°-β=180°-∠EHD-∠γ，据此可得到α、β、γ的关系.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：将y＝－x2＋2x＋m＋1化为顶点式为： y=−(x−1)2+m+2
∴顶点坐标为 (1，m+2) ，函数图形与直线y＝m＋2相切，只有一个公共点，①符合题意；
根据“上加下减，左加右减”将 y=−(x−1)2+m+2 向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到： y=−(x−1+2)2+m+2−2=−(x+1)2+m ，③符合题意；
二次函数的对称轴是直线 x=1 ，故P（2，y3）可对称到 P'(0，y3) ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故 y2>y3>y1 ，②不符合题意；
当m=1时，函数解析式为： y=−x2+2x+2 ，故 A(0，2) ， C(2，2) ， B(1，3)
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则 N(−1，3)，M(2，−2) 连接MN，
则MN为BE，DE，CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
BC=(1−2)2+(3−2)2=2，MN=(−1−2)2+(3+2)2=34
∴当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 34+2 ，④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用 抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1 的图象与性质，再结合函数图象，一一判断即可。
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴AGBC=FGFB ．∵BC=AB，∴AGAB=FGFB ，∴①正确．
∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG．∵AB=BC，∠GAB=∠DBC=90°，∴△CBD≌△BAG，∴AG=BD．∵BD= 12 AB，∴AGBC=12 ，∴AFFC=12 ，∴AFAC=13 ．∵AC= 2 AB，∴AF= 23 AB，∴②正确；
∵B，C，F，D四点共圆，∠DBC=90°，∴CD为直径，∴∠CFD=90°．∵BF⊥CD，∴BE=EF，∴BD=DE，∴③正确；
∵AG∥BC，∴AGBC=AFCF ．∵BC=AB，∴AGAB=AFCF ．∵AG=BD， BDAD=12 ，∴BDAB=13 ，∴AGAB=AFCF = 13 ，∴AF= 14 AC，∴S△ABF= 14 S△ABC，∴S△BDF= 13 S△ABF，∴S△BDF= 112 S△ABC，即S△ABC=12S△BDF，∴④错误．
故答案为：①②③．
【分析】对于（1），首先根据同旁内角互补，两直线平行得AG∥BC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△AGF∽△CFB，再根据相似三角形的对应边成比例以及AB=BC即可证明；
对于（2），根据同角的余角相等可得∠BCD=∠ABG然后由ASA判断出，△ABG≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等可得AG=BD；由点D是AB的中点可得BD=12AD，再根据（1）中的相似三角形，AF=12AC，结合等腰直角三角形可得AC=2AB，从而可证明结论；
对于（3），根据∠ABC=90°，结合B，C，F，D四点在同一圆上，可得CD为四边形CFDB外接圆的直径，根据垂径定理可得弧DF=弧BD，从而可证明结论；
对于（4），根据已知可得BD∶AB=13，结合（1）可得AF∶CF=∶，从而可得AF=14AC，根据等高的两个三角形的面积之比等于底边之比即可证明结论.．
12．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可设y=a（x-20）2+k，
把（0，1），（20，11）代入得400a+k=1k=11，解得a=-140，k=11，
∴y=-140（x-20）2+11= =−140x2+x+1，故A错误；
∵坡度为1∶10 ，
∴直线OA：y=0.1x，
当x=40时，y=4，
令y=4时，得y=−140x2+x+1=4，
解得x=20±270≠40，故B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h=−140x2+x+1-0.1x=−140x2+910x+1，
∴当x=-b2a=18时，h最大值=9.1，故C正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中x=30时抛物线上的点的纵坐标等于x=37时的函数值，
当x=37时，y=−140x2+x+1=3.775，
图2中，当x=30时，点B的纵坐标y=0.1×30+2.3=5.3，
则点A的纵坐标为5.3-2.3=3＜3.775，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意可设y=a（x-20）2+k，利用待定系数法求出解析式，即可判断A；求出抛物线y=4时x值，再与40比较即可判断B；求出喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度h=−140x2+x+1-0.1x，求出其最值即可判断C；求出点ADE纵坐标，再与x=37时抛物线的y值，两种比较即可判断D.
13．【答案】x1+x2+⋯+xnn
【解析】【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，
∵二次项的系数为3＞0，
∴当x＝ −602×3 ＝10.0时，y有最小值，
设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），
∵n＞0，
∴当x＝﹣ −2(x1+x2+…+xn)2n=(x1+x2+…+xn)n 时，w有最小值.
故答案为： x1+x2+⋯+xnn .
【分析】设w＝(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x-xn)2＝nx2-2(x1+x2+…+xn)x+(x12+x22+…+xn2)，然后根据二次函数的最值求解即可.
14．【答案】①③
【解析】【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上且经过点 (1，1) ，双曲线 y=12x 经过点 (a，bc) ，
∴a>0a+b+c=1bc=12a ，
∴bc>0 ，故①正确.
当a > 1时，则b、c均小于0，此时b+c<0，
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0 0，故②错误.
∴关于 x 的一元二次方程 x2+(a−1)x+12a=0 可以转化为： x2−(b+c)x+bc=0 ，则 x=b 或 x=c ，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】根据抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上且经过点 (1，1) ，双曲线 y=12x 经过点 (a，bc) ，可得a＞0，从而得出bc=12a>0，然后再对a、b、c进行讨论，从而判断①②③；
将方程 x2+(a−1)x+12a=0 可以转化为（x-b)(x-c)=0，解出方程即可判断④.
15．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵抛钱与x轴交于点（-1，0），且抛物线的对称轴：x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的解即就是抛物线与x轴交点的横坐标：x1=-1，x2=3，则①正确；
将（-1，0）代入抛物线y＝ax2＋bx＋c得：a-b+c=0
又∵抛物线的对称轴x= −b2a =1，即：2a+b=0，
∴3a+c=0，则②正确；
∵抛物线的对称轴x=1且a>0，
∴抛物线开口向上，
∴物物线的最小值为a+b+c，
∴对任意t，at2+bt+c≥a+b+c，即at2+b≥a+b，则故③正确；
由②可得：c=-3a，b=-2a，
∴y=ax2+（b-k）x+c-k=ax2-（2a+k）x-3a-k对称轴 x=−−(2a+k)2a=1+k2a
当x=-1时，y=0，
设y=ax2-（2a+k）x-3a-k与x轴另一交点横坐标为t，则 t−12=1+k2a 得： t=3+ka
当 3+ka <-1，即k<-4a时， ax2-（2a+k）x-3a-k≥0的解集为：x≤ 3+ka 或x≥-1，
当k≥-4a时，ax2-（2a+k）x-3a-k≥0的解集为：x≥ 3+ka 或x≤-1，则④错误.
故填：①②③.
【分析】利用抛物线的对称轴及抛物线与x轴的另一交点为（3，0）可求出抛物线与x轴的一个交点坐标，由此可求出方程ax2+bx+c=0的解，可对①作出判断；利用点（-1，0）可得到a-b+c=0，结合对称轴，可对②作出判断；利用二次函数的最值，可对③作出判断；由②可得：c=-3a，b=-2a，求出抛物线y=ax2+（b-k）x+c-k=ax2-（2a+k）x-3a-k对称轴，同时可得到当x=-1时，y=0；设y=ax2-（2a+k）x-3a-k与x轴另一交点横坐标为t，可求出t的值；分情况讨论：当 3+ka <-1；当k≥-4a时，分别可得到ax2-（2a+k）x-3a-k≥0的解集，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
16．【答案】13+5
【解析】【解答】解：如图，连接AP、AC、BC，
由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴△APC周长=AP+PC+AC=BP+PC+AC，
∴当BC与对称轴交点则为点P时，
△APC周长=BP+PC+AC=BC+AC最小，
抛物线y＝-38x2+34x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝-2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（-2，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，
在Rt△AOC中，有AC＝OA2+OC2=22+32＝13，
在Rt△BOC中，有BC＝OB2+OC2=42+32＝5，
∴△APC的周长的最小值为：13+5，
故答案为13+5．
【分析】连接AP、AC、BC，利用线段垂直平分线的性质得到AP＝BP，进而得到△APC周长=BP+PC+AC，所有当BC与对称轴交点则为点P时其周长最小，再根据抛物线表达式求得点A，B，C的坐标，进而求得OA，OB，OC的值，利用勾股定理求得AC，BC的值，从而求解.
17．【答案】−2【解析】【解答】解：如图， y=mx+n图象与 y=-mx+n图象关于y轴对称，
由题意得：-m+n=p， 2m+n=q ，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1，p)， (-2，q)，
看图象可知：当-2 抛物线y=ax2+c在直线y=-mx+n在上方，
∴不等式ax2+mx+c>n的解集为-2 故答案为：-2 【分析】因为y=mx+n图象与 y=-mx+n图象关于y轴对称，结合A(-1，p)，B(2，q)两点， 则抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1，p)， (-2，q)， 看图象即可得出：当-2n的解集为-218．【答案】210；35+1
【解析】【解答】解：根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图，
∵CE=BC−BD=6−2=4，
∴CF=12CE=2.
∴在 Rt△BCF中， BF=BC2+CF2=62+22=210；
如图，连接AF、BE
∵ACBC=36=12， CF=12CE，
∴ACBC=CFCE=12.
∵∠ACF+∠ACE=90°， ∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
∴△ACF∼△BCE，
∴AFBE=CFCE=12.
∵BE=BD=2，
∴AF=12BE=1，即AF的长为定值.
∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动.
∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为 AF+AB.
在 Rt△ABC中， AB=BC2+AC2=62+32=35，
∴BFmax=1+35.
故答案为： 210， 1+35.
【分析】第一空直接根据题意，画出草图，用勾股定理求解即可；第二空连接AF、BE，证明 △ACF∼△BCE，列出比例式，可得AF的长为定值，即点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动，当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为AF+AB，只需要在Rt△ABC中运用勾股定理求出AB即可.
19．【答案】（1）解：过点E作EF⊥BC，
∵∠ACB=60°，∠BAC=90°，BC=6，
∴AC=BC⋅cs60°=3，
∵CE=2AE，
∴AE=1，CE=2，则CF=CE⋅cs60°=1，EF=CE⋅sin60°=3，
∴BF=BC−CF=5，则BE=BF2+EF2=27，
又∵CD⊥BC，则CD∥EF，
∴DECF=BEBF，即：DE1=275，
∴DE=275；
（2）解：BC=2CD，理由如下：
过点D作DG⊥AC，则∠BAC=∠DGE=90°，
设∠ACD=∠ACB=α，BC=a，CD=b，
则AC=BC⋅cs∠ACB=acsα，AB=BC⋅sin∠ACB=asinα，
CG=CD⋅cs∠ACD=bcsα，DG=CD⋅sin∠ACD=bsinα，
∵CE=2AE，
∴AE=13AC=13acsα，CE=23AC=23acsα，则EG=CE−CG=23acsα−bcsα，
∵∠AEG=∠GED，
∴△AEG∽△GED，
∴AEEG=ABDG，即：13acsα23acsα−bcsα=asinαbsinα，
整理得：a2a−3b=ab，即：2a−3b=b，
∴a=2b，即：BC=2CD；
（3）解：当AP取最小值时，S△PBC=332．
【解析】解：（3）由旋转，结合（1）可知，CE=CE'=2，AC=3，
取BC的中点Q，连接PQ，AQ，
∵点P是BE'的中点，点Q是BC的中点，
∴PQ=12CE'=1，
又∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，
∴AQ=12BC=BQ=CQ=3，则△ACQ为等边三角形，
由三角形三边关系可知：AP≥AQ−PQ=2，当点P在线段AQ上时取最小值，如下图，
当AP取最小值时，过点P作PH⊥BC，
∵△ACQ为等边三角形，
∴∠AQC=60°，
∴PH=PQ⋅sin60°=32，
此时，S△PBC=12BC⋅PH=12×6×32=332，
综上，当AP取最小值时，S△PBC=332．
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系的应用，旋转的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质．
（1）过点E作EF⊥BC，可解直角三角形求得AC=3，进而求出AE=1，CE=2，再利用正弦的定义和余弦的定义解直角三角形可求出CF=1，EF=3，利用勾股定理可求出BE，再利用平行线分线段成比例，列出比例式可求出答案；
（2）过点D作DG⊥AC，则∠BAC=∠DGE=90°，设∠ACD=∠ACB=α，BC=a，CD=b，利用解直角三角形和CE=2AE表示出AB、DG、AE、EG，再证明△AEG∽△GED，利用相似三角形的性质可求出a=2b，进而证明结论；
（3）由旋转，结合（1）可知，CE=CE'=2，AC=3，取BC的中点Q，连接PQ，AQ，由三角形中位线定理可求出PQ，再根据直角三角形的性质可推出：AQ=12BC=BQ=CQ=3，进而证明△ACQ为等边三角形，由三角形三边关系可知：AP≥AQ−PQ=2，当点P在线段AQ上时取最小值，如图，当AP取最小值时，过点P作PH⊥BC，利用正弦的定义可求出PH，代入三角形的面积公式可求出答案．
20．【答案】任务1：y=−59x+72+5
任务2：OP的高度为585米
任务3：21521．【答案】（1）解：∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1，0)、B(0，4)，∴y1=2x2−6x+4．
（2）解：把y=2(x−h)2−2化成一般式得，y=2x2−4hx+2h2−2．
∴b=−4h，c=2h2−2．
∴b+c=2h2−4h−2=2(h−1)2−4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h=1时，b+c的最小值是−4．
（3）解：①当k>0时，
（ⅰ）点A(m，0)，B(m+k，0)，则一次函数解析式可以表示为y=k(x−m)，
联立y=2(x−m)(x−m−k)y=k(x−m)得，点C(m+32k，32k2)
由图可知，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB=BC
过点C作CD⊥x轴，则有BC2=CD2+BD2=14k2+(32k2)2
∵AB=k，AB=BC，∴14k2+(32k2)2=k2，∴k=±33，
∵k>0，∴k=33．
（ⅱ）若点A(m+k，0)，B(m，0)，则一次函数解析式可以表示为y=k(x−m−k)，
联立y=2(x−m)(x−m−k)y=k(x−m−k)得，点C(m+12k，−12k2)，发现点C恰好是抛物线顶点，
∴总是有AC=BC，
过点C作CD⊥x轴，则有BC2=CD2+BD2=14k2+(−12k2)2，
∵AB=k，AB=BC，∴14k2+(−12k2)2=k2，∴k=±3，
∵k>0，∴k=3．
②当k<0时，同理可得k=−33或k=−3
∴综上所述，k=±3或k=±33．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出b、c的值，即可求解；
（2）将顶点式化为一般式可得：b=-4h，c=2h2-2，所以b+c=2h2-4h-2=2（h-1）2-4，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意可分两种情况讨论：①k>0时，（ⅰ）点 ， ，则一次函数解析式可以表示为 ，联立方程组求解可得 ，过点C作CD⊥x轴，由图象可知，当三角形以AB为等腰三角形时，则AB=BC，利用勾股定理即可求解；（ⅱ）若点 ， ，则一次函数解析式可以表示为 ，联立方程组解得 与抛物线的顶点重合，所以 ，过点C作 轴，利用勾股定理即可求解；②当 时，同理：可得 或 ，即可求解.
22．【答案】解：（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE="90°" ， ∴∠MOF=∠FEN ．
由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN="90°" ， ∴∠MFO=∠NFE.
∴△MFO∽△NFE．∴OMNE=OFEF.
由∠FEN=∠MOF可得：tan∠FEN=tan∠MOF， ∴OFEF=13， ∴OMNE=13．
（2）∵△MFO∽△NFE ，∴OMNE=OFEF.
又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴ODOE=OFEF．
∴ODOE=OMNE，∴NEOE=OMOD=12．
如图，连接MN，则ME=12DE.
由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 .∴MN=2.
在Rt△MON中，OM2+ON2=MN2，即x2+y2=4.
∴y关于x 的函数解析式为y=4-x2（0（3）由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
∴由题意，可得：OE2=EF·DE ， ∴EF=2y24=y2.
∵又OFEF=ODOE，∴OFy2=2x2y，∴OF=xy.
由题意，可得：∠NOF=∠FEC ，
∴由△ECF与△OFN相似，可得：OFON=EFEC或OFON=ECEF.
当OFON=EFEC时，xyy=y22x，∴y2=2x2.
又x2+y2=4，∴x2+2x2=4，解得：x1=233，x2=-233（舍去）.
∴OD=433.
②当OFON=ECEF时，xyy=2xy2，∴y2=2，
又x2+y2=4，∴x2=2，∴解得：x1=2，x2=-2（舍去）
∴OD=22.
综上所述，OD=433或22.
【解析】【分析】1.双动点问题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.由实际问题列函数关系式；5.勾股定理；6.锐角三角函数定义；7.分类思想的应用.
（1）由△MFO∽△NFE和tan∠FEN=tan∠MOF，根据相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 即可求得结果.
（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得NEOE=OMOD=12，即ME=12DE，从而根据勾股定理可得出x2+y2=4，即y=4-x2（0（3）分OFON=EFEC或OFON=ECEF两种情况讨论即可.
23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴设y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，OC⊥AB，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
如图1，过点F作FH⊥PE于点H，
则FH=12PE，
∴S△PEF=12×PE×FH=14PE2，
当PE最大时，S△PEF最大，
设直线AC的解析式为y＝kx+d，
则-3k+d=0d=3，
解得：k=1d=3，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+32）2+94，
∵﹣1＜0，
∴当t=-32时，PE取得最大值94，
∴S△PEF=14PE2=14×（94）2=8164，
∴△PEF的面积的最大值为8164；
（3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
∠PGQ=∠AOC∠PQG=∠ACOPQ=AC，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（-32，32），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（-32）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
【解析】【分析】(1) 把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入函数解析式，计算求解即可；
（2）由题意可得△PEF是等腰直角三角形，所以S△PEF=14PE2，设直线AC的解析式为y＝kx+d，把（﹣3，0），（0，3）代入可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），PE＝-t2-2t+3-（t+3）＝-t2-3t，根据二次函数的性质求出PE取得最大值为94，即可得△PEF的面积的最大值；
（3）由y＝﹣x2﹣2x+3，求出函数对称轴x=-1，根据平行四边形性质，分类讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，分别求出P点坐标，即可得解.
24．【答案】（1）解：由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣ 83 ），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣ 83 ，
把（0，0）代入得到a= 23 ，
∴抛物线的解析式为y= 23 （x﹣2）2﹣ 83 ，即y= 23 x2﹣ 83 x
（2）解：如图1中，设E（m，0），则C（m， 23 m2﹣ 83 m），B（﹣ 23 m2+ 113 m，0），
∵E′在抛物线上，
∴E、B关于对称轴对称，
∴m+(−23m2+113m)2 =2，
解得m=1或6（舍弃），
∴B（3，0），C（1，﹣2），
∴直线l′的解析式为y=x﹣3
（3）解：如图2中，
①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．
②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），
则有（m﹣ 322 ）2+（m﹣3﹣ 322 ）2=（3 2 ）2，
解得m= 32+3−332 或 32+3+332 ，
∴P2（ 32+3−332 ， 32−3−332 ），P3（ 32+3+332 ， 32−3+332 ）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（ 32+3−332 ， 32−3−332 ）或（ 32+3+332 ， 32−3+332 ）．
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标设出顶点式，根据抛物线经过原点，将原点坐标代入即可求出解析式；
（2）设E（m，0），然后用含m的式子表示出点B和点C的坐标，根据E′在抛物线上，可知E、B关于对称轴对称，进而根据点E和点B到对称轴的距离相等列式，求出m的值，得到点B和点C的坐标，即可求出直线l′ 的解析式；
（3）分两种情况分析：①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形；②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），然后利用勾股定理求出m的值，即可得解.设计喷水方案
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米
素材2
如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OPOP⊥CD，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m (如图4)．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度
若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足GM=27FM时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度．
任务3
选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围
若选择乙装置(图4)，为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围．