山东省滨州市滨州渤海综合高中2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省滨州市滨州渤海综合高中2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．的虚部为( )
A.1B.-1C.iD.
2．已知向量,,则( )
A.B.C.D.
3．袋中有大小相同,质地均匀的2个红球和3个黄球,从中无放回的先后取两个球,取到红球的概率为( )
A.B.C.D.
4．下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱柱的各条棱都相等
C.所有几何体的表面都能展成平面图形D.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
5．已知i是虚数单位,若,则z的共轭复数的虚部为( )
A.B.C.D.
6．已知球的体积为,则它的半径为( )
A.2B.C.4D.
7．在中,已知,,则等于( )
A.4B.3C.D.
8．若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中不正确的为( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
10．下列命题中正确的有( )
A.一组数据1,2,3,3,4,5的众数大于中位数
B.数据6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的分位数为5
C.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是乙
D.为调查学生每天平均阅读时间,某中学从在校学生中,利用分层抽样的方法抽取初中生20人,高中生10人．经调查,这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟,这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟,那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
11．在中,若,则B( )
A.60°B.150°C.120°D.30°
12．如图,正方体的棱长为a,线段上有两个动点E,F,且.则下列结论正确的是( )
A.当E与重合时,异面直线与所成的角为
B.三棱锥的体积为定值
C.在平面内的射影长为
D.当E向运动时,二面角的平面角保持不变
三、填空题
13．某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有____________人.
14．中,a,b,c分别为,,的对边,,,则______________.
15．已知单位向量,的夹角为,与垂直,则___________.
16．如图,在正方体中,E,F依次是和的中点,则异面直线与所成角的余弦值为________________．
四、解答题
17．已如i为虚数单位,复数．
（1）当实数m取何值时,z是纯虚数;
（2）若,求的值．
18．若,求下列的值.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）,其中为,的夹角
19．本着健康、低碳的生活,租共享电动自行车出行的人越来越多,某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内）,超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次）,设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为,,,20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为,,三人租车时间都不会超过40分钟．
（1）求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率：
（2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率．
20．已知中,,．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求：
（1）b的值;
（2）的面积．
条件①：;
条件②：．
21．三棱锥中,平面平面,为等边三角形,且,O、M分别为、的中点.
（1）求证：平面;
（2）求证：平面平面;
（3）求三棱锥的体积.
22．如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,.
（1）求证：平面;
（2）求证：直线平面;
（3）求直线与平面所成角的正切值．
参考答案
1．答案：A
解析：因为,
的虚部为1．
故选：A．
2．答案：A
解析：因为,所以,故选A.
3．答案：C
解析：由题意,给2个红球编号为1、2,给3个黄球编号为3、4、5,
则无放回的先后取出两个球的所有基本情况有：
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
共20种;
取到红球的基本情况有：,,,,,,,,,,,,,,共14种.
故所求概率.
故选：C.
4．答案：D
解析：棱柱的侧面都是四边形,A不正确;
棱柱的各条侧棱相等,所以B不正确;
球不能展开为平面图形,C不正确;
正方体和长方体都是特殊的四棱柱,D正确;
故选：D．
5．答案：C
解析：,
,即z的共轭复数的虚部为
故选：C．
6．答案：A
解析：设球的半径为r,则,解得.
故选：A.
7．答案：C
解析：由余弦定理可得,,
所以．
故选：C．
8．答案：C
解析：因为正方体的体对角线长为其外接球的直径,所以球的直径为,即半径,
故其体积为．
故选：C．
9．答案：ACD
解析：对于A,m,n可能平行或者异面,故A错误,
对于B,若,,,则,故B正确,
对于C,或,故C错误,
对于D,一个平面内的一条直线要垂直于另一个平面内的两条相交直线,才可以得到两个平面垂直,故D错误,
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：对于A,1,2,3,3,4,5的中位数为3,众数也为3,故A错误;
对于B,将数据由小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,
因为,所以数据6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的分位数为5,故B正确;
对于C,乙的平均数为,
方差为,
所以这两组数据中较稳定的是乙,故C正确;
对于D,被抽中的30名学生每天平均阅读时间为分钟,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：因为,,
所以(大边对大角),
由正弦定理可知,
,
又因为,
或．
故选：AC．
12．答案：BCD
解析：A：当E与重合时,因为,此时F为的中点,记BD中点为O,连接,
由正方体性质可知,,,所以四边形为平行四边形,
所以,又,,,
所以,错误;
B：,易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,正确;
C：易知,在平面内的射影在上,所以射影长为,正确;
D：二面角,即为二面角,显然其平面角不变,正确.
故选：BCD.
13．答案：14
解析：设这个样本中共有n个人，则，解得.故答案为14.
14．答案：
解析：由余弦定理可得：,可得：,
由正弦定理可得：,
故答案为：．
15．答案：
解析：单位向量,的夹角为,
,
与垂直,
则实数,
故答案为：.
16．答案：
解析：在正方体中,连、、,
,F依次是和的中点,
所以且,所以四边形为平行四边形,
所以且,又且,
所以且,所以四边形为平行四边形,
,是异面直线与所成角（或所成角的补角）,
设正方体的棱长为2,则,
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
17．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）若复数是纯虚数,则,解得,所以．
（2）当时,,则,．
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：（1）由,得
（2）由,得
（3）由,得
（4）由得,
（5）由得
（6）
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别
为,
三人都为不超过20分钟还车的概率,
三人都20分钟以上且不超过30分钟还车的概率,
三人都30分钟以上且不超过40分钟还车的概率
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为．
（2）由题意可得,甲、乙、丙三人的租车费用和为11元,
则三人的租车费用组合为3,4,4,
甲租车费用为3元,其余租车费用为4元的概率
乙租车费用为3元,其余租车费用为4元的概率
丙租车费用为3元,其余租车费用为4元的概率
即甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率为．
20．答案：答案不唯一,具体见解析．
解析：（1）若选择①,
由,得,
由,,得,
解得或．
若选择②,
由,得,
由,,得,
解得．
（2）若选择①
,,则
当时,,面积,
当时,,的面积
若选择②
,,则
所以的面积．
21．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析;
（3）.
解析：（1）证明：O、M分别为、的中点, ,
又平面,平面, 平面;
（2）证明：,O为的中点, ,
又平面平面,平面平面,
且平面, 平面,又平面,
平面平面;
（3）在等腰直角三角形中,,
,,等边三角形的面积,
又平面,三棱锥的体积,
.
22．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）证明：因为四边形是菱形,所以．
因为平面,平面,所以平面．
（2）证明：因为四边形是菱形,所以．
又因为平面,平面,所以．
又因为,平面,
所以平面．
（3）如图,过B作,连接,
因平面,平面,所以．
又因为,
,平面,所以平面．
所以是直线与平面所成的角．
因为,,所以
在中,,,
所以．
所以直线与平面所成角的正切值是．