【名校】山东省滨州市渤海综合高中2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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1. 的虚部为（）
A. 1B. -1C. D. -
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用，化简，再得到其虚部．
【详解】因为，
的虚部为1．
故选：．
2. 已知向量，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以=（5，7），故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
3. 袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意给小球编号，列举出所有基本情况及满足要求的基本情况，由古典概型概率公式即可得解.
【详解】由题意，给2个红球编号为1、2，给3个黄球编号为3、4、5，
则无放回的先后取出两个球的所有基本情况有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共20种；
取到红球的基本情况有：，，，，，，，，，，，，，，共14种.
故所求概率.
故选：C.
【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
4. 下列说法中正确的是（）
A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 棱柱的各条棱都相等
C. 所有几何体的表面都能展成平面图形D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】从棱柱的定义出发判断ABD的正误，找出反例否定C，即可推出结果．
详解】棱柱的侧面都是四边形，A不正确；
棱柱的各条侧棱相等，所以B不正确；
球不能展开为平面图形，C不正确；
正方体和长方体都是特殊的四棱柱，D正确；
故选：D．
5. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简，求出其共轭复数，得到结果.
【详解】∵，
∴，即的共轭复数的虚部为
故选：C．
6. 已知球的体积为，则它的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据球的体积公式直接计算求解即可.
【详解】解：设球的半径为，则，解得.
故选：A
7. 在中，已知则等于（）
A. 4B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理即可求出．
【详解】由余弦定理可得，，所以．
故选：C．
8. 若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体的体对角线长为其外接球的直径，再根据球的体积公式即可求出．
【详解】因为正方体的体对角线长为其外接球的直径，所以球的直径为，即半径，故其体积为．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的选项.
9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的关系即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A, 可能平行或者异面，故A错误，
对于B，若，则，故B正确，
对于C，或，故C错误，
对于D，一个平面内的一条直线要垂直于另一个平面内的两条相交直线，才可以得到两个平面垂直，故D错误，
故选：ACD
10. 下列命题中正确的有（）
A. 一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B. 数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D. 为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据中位数与众数的定义判断A；求出分位数可判断B；求出乙组数据的方差可判断C；根据平均数的求法可判断D.
【详解】解：对于A，1，2，3，3，4，5的中位数为3，众数也为3，故A错误；
对于B，将数据由小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，
因为，所以数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5，故B正确；
对于C，乙的平均数为，
方差为，
所以这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为分钟，故D正确.
故选：BCD.
11. 在中，若，则（）
A. 60°B. 150°C. 120°D. 30°
【答案】AC
【解析】
【分析】由大边对大角可知，从而得，由正弦定理可得，根据特殊三角函数值即可得答案.
【详解】解：因为，
所以(大边对大角)，
由正弦定理可知，
∴，
又因为，
∴或．
故选:．
12. 如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（）
A. 当E与重合时，异面直线与所成的角为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 在平面内的射影长为
D. 当E向运动时，二面角的平面角保持不变
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：当E与重合，BD中点为O并连接，可得，即为异面直线与所成角的平面角，应用余弦定理求余弦值，即可确定大小；B：由及A到面、B到直线的距离为定值即可判断；C：在平面内的射影在上，即可求射影长；D：由二面角为二面角即可判断.
【详解】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误；
B：，易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；
C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确；
D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有人，二年级有人，三年级有人.现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了人，则这个样本中共有___________人.
【答案】
【解析】
【分析】设这个样本中共有个人，根据分层抽样列等式可求得的值.
【详解】设这个样本中共有个人，则，解得.
故答案：.
14. 中，分别为的对边，，则_____
【答案】
【解析】
【分析】由已知及余弦定理可求的值，再由正弦定理计算可得．
【详解】解：由余弦定理可得：，可得：，
由正弦定理可得：，
故答案为：．
15. 已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，即可求得的值．
【详解】单位向量的夹角为，
，
与垂直，
则实数，
故答案为：
16. 如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．
【答案】
【解析】
【分析】连、、，利用平行四边形可得，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果.
【详解】在正方体中，连、、，
，依次是和的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以且，又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
，是异面直线与所成角（或所成角的补角），
设正方体的棱长为2，则，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 已如i为虚数单位，复数．
（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求出；
（2）根据复数的运算以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以．
（2）当时，，则，．
18. 若，求下列的值.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），其中为的夹角
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】（1）根据向量加法的坐标运算即可求解，
（2）根据向量减法的坐标运算即可求解，
（3）根据数量积的坐标运算即可求解，
（4）（5）根据模长的坐标运算即可求解，
（6）由夹角公式即可代入求解.
【小问1详解】
由，得
【小问2详解】
由，得
【小问3详解】
由，得
【小问4详解】
由得，
【小问5详解】
由得
【小问6详解】
19. 本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过40分钟．
（1）求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率：
（2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，运用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件的加法公式进行求解；
（2）题意可得，三人的租车费用组合为3，4，4，运用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件的加法公式进行求解．
【小问1详解】
由题意可得，甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别
为，
三人都为不超过20分钟还车的概率，
三人都20分钟以上且不超过30分钟还车的概率，
三人都30分钟以上且不超过40分钟还车的概率
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为．
【小问2详解】
由题意可得，甲、乙、丙三人的租车费用和为11元，
则三人的租车费用组合为3，4，4，
甲租车费用为3元，其余租车费用为4元的概率
乙租车费用为3元，其余租车费用为4元的概率
丙租车费用为3元，其余租车费用为4元的概率
即甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率为．
20. 已知△中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）△的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】若选择①，（1）由余弦定理可得或．
（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算;
若选择②，（1）由余弦定理求得．
（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算．
【详解】解：若选择①，
（1）由，得，
由，，得，
解得或．
（2），，则
当时，，△面积，
当时，，△的面积
若选择②，
（1）由，得，
由，，得，
解得．
（2），，则
所以△的面积．
21. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面；
（2）由于，为的中点，可得，再由平面平面，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面；
（3）由于平面，所以求，可得三棱锥的体积
【详解】(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
(2)证明：∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，
且平面，∴平面，又平面，
∴平面平面；
(3)解：在等腰直角三角形中，，
∴，，∴等边三角形的面积，
又∵平面，∴三棱锥的体积，
∴.
22. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，
（1）求证：平面；
（2）求证：直线平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；
(2)根据线面垂直的判定定理证明；
(3)根据线面夹角的定理找到线面角，再根据直角三角形中求正切值.
【小问1详解】
证明：因为四边形是菱形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
证明：因为四边形是菱形，所以．
又因为平面，平面，所以．
又因为，平面，
所以BD⊥平面．
【小问3详解】
如图，过B作，连接，
因平面，平面，所以．
又因为
平面，所以平面．
所以是直线与平面所成的角．
因为所以
在中，，，
所以．
所以直线与平面所成角的正切值是．