2024年山东省济宁市金乡县九年级中考数学三模试题（原卷版+解析版）

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一． 选择题（共10 小题，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 中国传统文化博大精深．下面四个图形其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
4. 设点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是反比例函数y=图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】如图1，根据当x1＜x2＜0时，y1＞y2可知：反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，得k＞0；如图2，再根据一次函数性质：-2＜0，所以图象在二、四象限，由k＞0得，与y轴交于正半轴，得出结论．
【详解】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，
∴图象一、三象限，如图1，
∴k＞0，
∴一次函数y=-2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴，
∴一次函数y=-2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，知道：①当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；②当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；反之也成立；③一次函数y=kx+b中，当k＞0，图象在一、三象限；k＜0，图象在二、四象限；b＞0时，与y轴交于正半轴，当b＜0时，与y轴交于负半轴．
5. 已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．根据根与系数关系得到，，进而求得，，即可．
【详解】解：∵关于的方程的两根分别为和，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
6. 把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三年级内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．
过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出、，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：过点作，则
，，，
，
故选C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标．
【详解】解：与位似，原点是位似中心，
而，，
与的位似比为，
，
点的坐标是为，，即．
故选：A．
8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
【详解】解：过点D作于M，如图，
由勾股定理可求得，
由题中作图知，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为为；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
9. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，与y轴交于点C，D是x轴上一点，连结、、．若轴，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图形与性质是解题的关键．
根据题意设出，，再得出与的面积，然后进行比即可．
【详解】解：点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，
设，，
与y轴交于点C，D是x轴上一点，连结、、，
，，
，
故选：B．
10. 观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得： ，，则可得 ，则可得 ，再利用 ，进行计算即可．
【详解】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令x=n，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ，
，，
．
，



．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 分解因式：3x2y﹣3y＝_______．
【答案】3y(x+1)(x﹣1)
【解析】
【分析】先提取公因式3y，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：3x2y﹣3y
＝3y（x2﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题主要考查了运用提取公因式、公式法进行因式分解，灵活应用相关因式分解的方法成为解答本题的关键．
12. 华为于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米米，7纳米用科学计数法表示为：______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：7纳米米，
故答案为：．
13. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】关于x的一元二次方程有两个实数根，即判别式△＝b2−4ac≥0，m-1≠0，2-m≥0，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14. 如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧， 以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E 处，若，则阴影部分的面积为____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，据此求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．
15. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为______________．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由图可知，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴交于，
∴二次函数图象与x轴另一个交点为，即．
∴当时，，故②正确；
当时，由图及对称性可知，x的取值范围为，故③正确；
当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
正确有：①②③④．
故答案为：①②③④.
二．填空题 （共5 小题，共15分）
16. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，异分母分式的减法运算：
（1）先去绝对值，进行开方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可；
（2）先通分，再进行计算即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式
．
17. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】（1）50，7
（2）条形统计图见解析，
（3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
（4）
【解析】
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
，
故答案为：50，7；
【小问2详解】
解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
【小问4详解】
解：根据题意，列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
18. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ，
【答案】广告牌CD的高约为7.4米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案．
【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、，
由题意可知，，，，米，米，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，米，
（米，
，
答：广告牌CD的高约为7.4米．
19. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元）
（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式；
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）250件（2）w=（3）当销售单价为45元，最大利润是3750元．
【解析】
【分析】（1）求出最高价，算出比35元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350件减去少卖的件数，即可得到结论；
（2）用含x的式子表示出每件儿童玩具的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，即可得到解析式；
（3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值即可得到结论．
【详解】解：（1）每件的最高价为30×（1+50％）=45（元），
=250（件），
∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
（2）w=（x-30）（350-50·）=，
∴w与x的函数关系式w=；
（3）w=；
=；
∵销售单价不低于35元且销售利润不高于进价的50％，
∴35≤x≤45，
∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴是x=50，
∴当35≤x≤45时，w随x的增大而增大，
∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为3750，
∴当销售单价为45元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，明确题意找到函数关系式是解题的关键．
20. 如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求直径．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）5
【解析】
【分析】(1)连接OE，由AC是圆的切线得到∠AEO=90°=∠ACB，进而得到OE∥BC，得到∠F=∠DEO；再由半径相等得到∠ODE=∠DEO，进而得到∠F=∠ODE即可证明BD=BF；
(2)连接OE，由求出EC=2，证明∠CEB=∠F进而由求出BC=4，从而可得BD=BF=BC+CF=4+1=5．
【小问1详解】
证明：连接OE，如下图所示：
∵AC为圆O的切线，
∴∠AEO=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠F=∠DEO，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠F=∠ODE，
∴BD=BF．
【小问2详解】
解：连接BE，如下图所示：
由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，
∴，代入数据：，
∴EC=2，
又BD是圆O的直径，
∴∠BED=∠BEF=90°，
∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB，
∴∠F=∠CEB，
∴，代入数据：，
∴BC=4，
由(1)可知：BD=BF=BC+CF=4+1=5，
∴圆O直径为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆中切线的性质、三角函数求线段长度等，熟练掌握圆的切线的性质及圆周角定理是解题的关键．
21. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析
（2）①；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解；
（2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解．
【小问1详解】
解：．
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①
理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②过点A作于点G，连接AF，如下图．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，点F为线段BC中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①点E在抛物线上；②P（0，−）
【解析】
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【小问1详解】
解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵，
∴，
∴，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴，
∴OP＝−3＝，
∴P（0，−）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键． 第一名第二名
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙