考题猜想1-2相交线与平行线 七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

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题型技巧1：基本图形（添加辅助线）法
【方法点拨】当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线 ，如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
【例题1】．（2022春•林州市期末）如图，，，则、和的关系是
A．B．C．D．
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长交与，延长交于．
在直角中，；中，，
，
，
，即．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【变式1】．（2023春•长葛市期末）如图，，于，交于点，交于点．若， ．
【分析】延长交于点，根据垂直定义可得，再利用三角形的外角性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【解答】解：延长交于点，
，
，
是的一个外角，，
，
，
，
故答案为：45．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，，，，若，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到，由条件推出，由三角形外角的性质即可求解．过作，延长交于，得到，推出，得到，因此，由三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：过作，延长交于，

，
∴，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：
【变式3】（22-23八年级上·浙江·开学考试）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2＝180°．
(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．
(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH＝40°，求∠1的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)∠1＝80°
【分析】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定；
（2）由GH⊥EG，可得∠EGF＝50°，再由平行线的性质和角平分线的性质可得∠1的度数．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵∠2+∠CFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠CFE，
∴；
（2）∵GH⊥EG，∠DGH＝40°，
∴∠EGF＝50°，
∵，
∴∠AEG＝∠EGF＝50°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEG＝ 100°．
∴∠1＝80°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定与性质及注意“数形结合”数学思想的运用是解题的基础．
题型技巧2：分离图形法
【方法点拨】在复杂图形中辨认“三线八角”比较困难,可先将图形进行分离,即将图形中与所需角、线无关的线遮挡起来,然后根据“三线八角”的基本图形进行辨认和确定
【例题2】（22-23七年级下·山东聊城·期中）如图，三角形的边在直线上，直线平行于分别交，于点，则图中共有内错角的对数为 ．
【答案】对
【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可得到答案．
【详解】解：内错角有和，和，和，与，和，和，和，和，和，和，
∴图中共有内错角的对数为对．
故答案为：对．
【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图所示的八个角中，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对．
【答案】 3 4 4
【分析】本题主要考查了三线八角，同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．
【详解】解：同位角有与，与，与，共3对，
内错角：与，与，与，与，共4对；
同旁内角：与，与，与，与，共4对；
故答案为：3；4；4．
【变式2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，图中内错角有 对．
【答案】5
【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此求解即可．
【详解】解：与，与，与，与，与都是内错角，
∴图中内错角有5对，
故答案为：5．
【变式3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．
【答案】见解析
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即可得到答案．同位角：分别在两条直张的同一侧，并且都在第三条直线的同一旁，同位角类似于角度的平行平移得到的．内错角：在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两旁，类似于字形的顶点．同旁内角：在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁．
【详解】解：当直线，被所截时，
内错角有：与，与；
同旁内角有：与，与．
当直线，被所截时，
内错角有：与；同旁内角有：与．
当直线，被所截时，
同位角有：与；同旁内角有：与．
当直线，被所截时，
同位角有：与；同旁内角有：与．
当直线，被所截时，
同位角有：与；同旁内角有：与．
【点睛】本题考查同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
题型技巧3：平移法
【方法点拨】在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动-定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。
【例题3】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为 ？
【答案】560
【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，根据长方形的面积求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：560．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列式求出答案．．
【变式1】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）张三打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽的长方形为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路，余下的部分要种上蔬菜，若每条道路的宽均为，蔬菜的总种植面积是 ．

【答案】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，结合图形平移的知识，画出等效图，利用长方形形面积公式解答，解题的关键是想法把种菜的部分转化成一个长方形，然后根据长方形的面积计算公式进行解答．
【详解】解：结合图形平移的知识，可将题目中的图等效为下图，则图中空白处的面积为所求面积．

结合题中的信息，可得空白处的面积为，
所以蔬菜的总种植面积为．
故答案为：．
【变式2】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示，
爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？”
爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？”
小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．”
你认为小刚的方法可以吗？说明理由．
【答案】可以，理由见详解；
【分析】本题主要考查了平移的应用，根据题意可知地毯的宽度是确定的，求出长即可，根据平移的性质得到量出楼梯的总高和总长度相加得出答案；
【详解】解：可以，理由如下，
由图可得，
地毯的总长为：，刚好是总长与总高的和，
∴小刚的方法可以．
【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）为实现“绿色江夏·和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为，宽为的长方形空地．
(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 ；
(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路，则这块草地的面积为 ；
(3)方案三：修建一个长是宽的倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)这个篮球场能用做比赛，理由见解析
【分析】本题考查了平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程等知识．熟练掌握平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程是解题的关键．
（1）由平移可知，小路的面积为，根据草地的面积为，计算求解即可；
（2）由题意知，草地的面积为，计算求解即可；
（3）设宽为，则长为，依题意得，，可求，根据，可知宽满足要求；由，，可知长满足要求；然后作答即可．
【详解】（1）解：由平移可知，小路的面积为，
∴草地的面积为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，草地的面积为，
故答案为：；
（3）解：这个篮球场能用做比赛，理由如下；
设宽为，则长为，
依题意得，，
解得，，
∵，
∴宽满足要求；
∵，，
∴长满足要求；
∴这个篮球场能用做比赛．
题型技巧4：方程思想
【方法点拨】方程思想主要应用在有关角的度数的计算中，当已知角之间的关系比较复杂或不容易表达时，利用方程思想可以使解题过程变得比较简洁、清楚．
【例题4】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）以直线上点O为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角形的边放在射线上，则_______．
(2)如图2，将直角三角形绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明所在射线是的平分线；
(3)将直角三角形绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或．
【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
（1）直接利用角的和差关系可得答案；
（2）利用角平分线的定义与余角的含义证明，可得结论；
（3）设，则．分两种情况：①如图1，在内部时，②如图2，在的内部时，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴所在射线是的平分线．
（3）解：设，则．
有两种情况：①如图1，在内部时，
∵，，，
∴，
解得，即．
∴；
②如图2，在的内部时，
∵，，，
∴，解得，即．
∵，所以．
综上，的度数为或．
【变式1】（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．
(1)当时，求的度数；
(2)若．
①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；
②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为，
∵，
∴此时与重合，
射线运动的度数为，
即，
∴当时，．
（2）①若时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，
当时，，
∴，符合．
（ii）如图2，
当时，，
∴，符合．
（iii）如图3，
当时，，
∴，不在范围内，舍去．
综上所得或．
②如图4，
∵，
∴，，
∴最大度数为，最大度数为．
∵，
∴当时，，
∴，即，
∴运动至外部．
此时，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．
【变式2】（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）一个角的余角比这个角的补角的一半小，则这个角的度数为 度
（2）如图，从点引出6条射线，且，、分别是的平分线．则的度数为 度
（3）钟面上的时间是3点整，然后，时针与分针继续正常行走，当分针与时针的夹角成时，针指向3点到4点之间，求此时刻是几点几分．
【答案】（1）50；（2）40；（3）3点分或3点分
【分析】（1）设这个角的度数是x°，则它的余角为（90-x）°，补角为（180-x）°，然后依据这个角的余角比这个角的补角的一半少25°列方程求解即可．
（2）设∠BOF=∠COF=x°，∠AOE=∠DOE=y°，∠COD=z°，根据角的和差列出方程即可求解；
（3）分两种情况列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设这个角的度数是x°，则它的余角为（90-x）°，补角为（180-x）°．
依题意得：90-x=（180-x）-25，
解得 x=50．
∴这个角的度数是50°．
故答案为：50°．
（2）设∠BOF=∠COF=x°，∠AOE=∠DOE=y°，∠COD=z°，
则根据题意得：，
两式相减得：z=40．
即∠COD=40°．
故答案为：40；
（3）设此时是3点分
若分针在时针的上方则有：
解此方程得：
若分针在时针的下方，则有：
解此方程得：
答：此时是3点分或3点分
【点睛】本题主要考查的是余角和补角的定义，依据题意列出关于x的方程是解题的关键．
【变式3】（20-21七年级上·陕西西安·期末）如图，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝120°，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∠EOF＝135°．
（1）若∠BOF＝m，则∠AOE （用含m的代数式表示）；
（2）求∠COD的度数．
【答案】（1）()；（2）∠COD的度数为30°．
【分析】（1）设∠AOE= n，∠COD=，则，由角平分线的性质，可得，解方程组即可求解；
（2）设∠COD=x，∠BOC+∠AOD=y，由角平分线的性质，可得x+y=135°，图中六个角之和为360°，可得x+y+120°=360°，联立方程组解得x的值．
【详解】（1）设∠AOE= n，∠COD=，
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∠EOF=135°，∠AOB=120°，
∴∠BOF=∠COF=∠BOC=m，∠AOE=∠DOE=∠AOD=n，
∴，
消去得：，
∴，
故答案为：()；
（2）设∠COD=x，∠BOC+∠AOD=y，
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∠EOF=135°，∠AOB=120°，
∴∠BOF=∠COF=∠BOC，∠AOE=∠DOE=∠AOD，
∴，
解得：x=30°，
∴∠COD的度数为30°．
【点睛】本题考查角与角之间的运算，角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而列方程组求解．
题型技巧5：转化思想
【方法点拨】当一个角的度数不能直接求出时，常常转化为求它的补角、余角或与它相等的角，进而求出这个角的度数．
【例题5】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点在直线上，，．
(1)求证：；
(2)的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．
（1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴；
（2）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的角平分线，
∴
∵
∴
∴．
【变式1】．（2024春•成县月考）如图，，点是上一点，，平分交于点，求的度数．
【分析】由平角求出的度数，由角平分线得出的度数，再由平行线的性质即可求出的度数．
【解答】解：，，
，
平分，
，
，
则的度数为．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
【变式2】（2024春•西华县月考）如图，已知与交于点，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【分析】（1）根据平行线性质得，从而证出，得出结论；
（2）先求出，再根据平行线的性质得出结论即可．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，且，
，
由（1）得，
．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，牢记平行线的性质与判定是解题关键．
【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知．
(1)与平行吗？请说明理由．
(2)若平分，于点A，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由可得，进一步可推得，即可证明；
（2）由角平分线的定义可得，结合（1）的结论可推得，根据两直线垂直的定义可得，由此即得答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴。
题型技巧6：数形结合思想
【方法点拨】数形结合即是通过将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来解题，促使抽象思维与形象思维的和谐复合，通过对几何图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
【例题6】（22-23七年级下·山东聊城·期中）如图，，平分，平分，点E在的延长线上，连接，．下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．根据平行线的判定定理与性质定理结合角平分线的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；故A、C正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
∵，，
∴，故B错误，符合题意；
故选：B．
【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点D、E分别在线段上，，，交于点F，平分，求证：平分．

证明：平分（已知）．
∴（________）．
∵（已知），
∴（________）．
∴（等量代换）．
∵（________），
∴（________）．
且（________）．
∴（等量代换）．
∴平分（________）．
【答案】角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的证明，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再由，可得，从而得到，然后根据，可得，，从而得到，即可求证．
【详解】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
且（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴平分（角平分线的定义）
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知直线、被直线所截，平分，求的度数．
将该题解题过程补充完整：
解：（ ）
____________
平分（已知）
____________
（已知）
（ ）
（ ）
______
【答案】平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130
【分析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，根据平行线的判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可．
【详解】解：（ 平角的定义）
，
平分（已知）
，
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130
【变式3】（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知两点分别是上的两动点，分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，作的角平分线交射线于点，求的度数；
(3)如图3，为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足， ，请求出与的关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的定义，理解题意，灵活运用相关知识是解决问题的关键．
（1）设， 根据是的外角得，又因为是的外角得到， 进而推出结论；
（2）根据均为的外角，可得，再由平分的角平分线，所以，即可得结论；
（3）设由内角和定理，则 ，同理， 得到， 从而，根据三角形内角和定理和折叠的性质以及邻补角的定义可得，由内角和定理，即可得结论．
【详解】（1）解：设，
∵分别平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
即，
∴，
又∵是的外角，
∴，
即，
∴，
当时，；
（2）解：∵均为的外角，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵平分的角平分线，
∴，
，
∵，
∴，
即；
（3）解：设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型技巧7：分类讨论思想
【方法点拨】在本章中，过一点作已知直线的垂线与过一点作已知直线的平行线等问题中，当点的位置不确定时，需要对点的位置进行分类讨论．在有关角的计算问题中，还常对某条射线在角的内部或外部进行分类讨论．
【例题7】．（2024春•沭阳县月考）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
图1中与数量关系为 ；
图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
（2）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，求出这两个角的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得到与与关系即可得到答案；
（2）根据角度关系及（1）的关系直接求解即可得到答案．
【解答】解：（1）图1中，，，
，，，，
，
在图2中，
，，
，，
；
（2）由（1）得，
如图1，，
一个角比另一个角的2倍少，
或，
解得：，或，，
如图2，，
，
解得：，
这两个角的度数是：，、和．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式1】．（2022春•茂南区期中）已知，画一个角，使，，且交于点．探究与的数量关系．
（1）我们发现与存在某种数量关系，如图1所示，那么图1中与有什么数量关系？请说明理由．
（2）你认为与还有其他数量关系吗？若有，请写出这个数量关系并在图2中画出一个满足这个数量关系的．若没有，请说明理由．
（3）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请求出这两个角的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质，推理可得结论；
（2）先判断有没有关系，再画出图形；
（3）分两种情况讨论，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）．
理由：，，
，
．
（2）有．如图所示：
．
（3）①若两个角相等时，设一个角的度数为，
则：，
．
所以两个角都是；
②若两个角互补时，设一个角的度数为，
则：，
．
所以一个角是，另一个角是．
答：这两个角是、或、．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程．掌握平行线的性质是解决本题的关键．若两个角的两边互相平行，这两个角相等或互补．
【变式2】．（2024春•桐乡市校级月考）如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，．
（1）求的度数．
（2）如图2，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒．当时，试探究与的位置关系，并说明理由．
（3）在（2）中，射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可求解；
（2）根据得出，进而求得，根据，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，当射线绕点旋转小于时，当射线绕点旋转大于时，分别讨论，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，过点作
，
，
，．
，，
；
（2），理由如下，
射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）如图所示，当射线绕点旋转小于时，
，，，，
，，
，
，
又，
，
，
解得：，
如图所示，当射线绕点旋转大于时，
，，，，
，，
，，
，，
又，
，
，
解得：，
综上可知，的值为7或19．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，关键是平行线判定定理的应用．
【变式3】．（2023春•义乌市月考）如图1，点在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．
（1）图1中与互补的角有 ．
（2）当，求旋转的时间．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点处，另一端点在射线上．如图3，在三角尺绕着点以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．
试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是： ．
【分析】（1）利用补角的定义进行解答．
（2）根据垂直的定义建立方程求解即可．
（3）分类讨论：①时，②当时，③时，分别根据或列方程求解．
【解答】解：（1）
，
，
，
图1中与互补的角有和．
故答案为：和．
（2）分两种情况讨论：
①如图4，当时，
，
转过的角度等于，
，
．
②如图5，当时，
，
转过的角度等于，
，
，
故旋转的时间或秒．
（3）存在．
的旋转速度是旋转速度的3倍，
，
设，则，
，
，
分三种情况进行讨论：
①当时，
若，
则，
（不合题意，舍去），
若，
则，
不合题意，舍去，
②时，
，，
若，
则，
，
，
若，
，
，
，
③当时，
，，
若，
则，
，
，
若，
则，
，
，
故答案为：或或或．
【点评】本题考查了补角、垂直的定义，旋转的性质，动点问题，运用数形结合思想和分类讨论的思想是解题的关键．
题型技巧8：建模思想
模型一、“铅笔”模型
1.从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：
那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°
2.模型证明
如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°
证明一：如图，过点E作FG//AB
∵ AB//FG，AB//CD
∴ FG//CD
∵ AB//FG
∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ FG//CD
∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°
∴ ∠B+∠D+∠BED=360°
证明二：如图，连接BD，
∵ AB//CD
∴ ∠ABD+∠BDC=180°
在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°
∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°
∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°
∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360°
证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。
3.猪蹄模型和铅笔头模型关系
（1）将猪蹄模型转化为铅笔头模型
ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED
∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°
∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED
∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360°
（2）将铅笔头模型转化为猪蹄模型
ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得，
∠ABE+∠BED+∠CDE=360°
∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°
∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE
∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°
∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED
【例题8】（2023春•炎陵县期末）如图所示，，，，试求的度数．
【分析】过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后再利用平行线的性质可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点作，
，
，
，
，
，
的度数为．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式1】．（2023春•禅城区期中）如图，已知直线，与、分别交于点、，动点在直线上且不与点、重合．点在上，且位于点的左侧，点在上，已知，，．
（1）当点在点的左侧时，
①点在图1的位置时，若，，求的度数．
②点在图2的位置时，试说明，，之间的关系．
（2）当在右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系．
【分析】（1）在图1和图2中分别过点作辅助线，利用平行线的性质解题即可．
（2）根据题意，点的位置有三种，上方、和之间、以及下方，注意分类讨论．
【解答】解：（1）①如图，过点作，可得，
，
，
，
．
②如图，过点作，可得，
，
，
，
．
（2）
情况1（如备用图，过点作，得，即．
，
，
，即．
，
．
情况2（如备用图，过点作，得，即．
，
，
，即．
，
．
情况3（如备用图，过点作，得，即．
，
，
，即．
．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，利用分类讨论是解题的关键．
【变式2】．（2023春•武汉期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【分析】（1）过点作，根据已知条件证明，然后根据平行线的性质证明，，通过等量代换即可；
（2）先根据已知条件证明，，，然后利用四边形的内角和是进行代换即可；
（3）分三种情况进行解答，①，②，③，求出旋转的角度就能算出答案．
【解答】解：（1）如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图所示：
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）如图所示：
分三种情况：
①如图1所示：当旋转到时，，
，
，
，，，
，
，，
，
，
平分，绕点旋转的速度每秒，
，绕点旋转的速度为每秒，
秒；
②如图2所示：当旋转到时，，
，
，
，
，
，，，
，
平分，
，
，
秒；
③如图3所示：当旋转到时，，
，
①已证，平分，
，
秒；
当射线与的一边互相平行时，的值为10或26或34秒．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是正确的识别图形，熟练掌握平行线的性质．
【变式3】．（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点在直线上，且，求证：；
（3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数．
【分析】（1）过点作，然后根据平行线的性质可得即可得证．
（2）由得出，结合即可得证．
（3）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义及平行线的性质得出，最后根据三角形的内角和即可求解．
【解答】（1）证明：过点作，如图：
，
，，
，
．
（2）证明：．
，
，
，
，，
．
（3）解：．
，
，
，
，
平分，平分，
，，
又，
，
，
，
．
．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及三角形的内角和定理是解题关键．
模型二：猪蹄模型
基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．
思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．
思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．
小结
证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）
结论：∠B+∠D=∠E
步骤总结
步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线
步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角
步骤三：推导出角的数量关系
【例题9】．（2023春•确山县期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．
（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，则 ．
【分析】（1）过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：（1），
理由：过点作，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可得：，
，，
，
，
平分，
，
故答案为：58．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
【变式1】．（2023春•云阳县期末）如图，已知直线，点在和之间，连接，，若，，则 ．
【分析】过点作直线，则，由平行线的性质可得，，易得，则，代入计算即可求解．
【解答】解：如图，过点作直线，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题关键．
【变式2】．（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则 度．
【分析】（1）过点作，利用猪脚模型即可解答；
（2）过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，进行计算即可解答；
（3）先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
理由：过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作，
由（1）可得：，
，
，
由（1）可得：，
，，，
，
的度数为；
（3）如图：
，，
，
，
，
由（1）可得：，
，
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【变式3】．（2022秋•射洪市期末）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．
（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
如图2，已知，，点在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整）
解：因为
所以
因为
又因为
所以
即
所以
由（1）知
（3）【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 ．
【分析】（1）过点作，利用平行线的性质和判定可得结论；
（2）利用平行线的性质、平角的定义及等角的补角相等填空即可；
（3）先利用（1）的结论用表示出，再利用平行线的性质用表示出，最后利用三角形的内角和定理求出．
【解答】解：（1）．
理由：过点作．
，
．
，．
，
．
（2）解：因为，
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为（平角的定义），
又因为，
所以（等角的补角相等），
即．
所以．
由（1）知，
．
故答案为：，两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；，；等角的补角相等；
（3）平分，平分，
，．
，
由（1）知，即．
，
，即．
．
，
，即．
．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和判定、角平分线的性质、三角形的内角和定理及角的和差关系是解决本题的关键．
三、锯齿模型
【例题10】．（2023春•天宁区校级期中）如图，，是直线、间的一条折线．若，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】过作，，根据平行线的性质得到，，，由角的和差得到，代入数据即可得到结论．
【解答】解：如图2，过作，，
，
，
，，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
【变式1】．（2023春•定州市期中）如图，，，则、、的关系为
A．B．C．D．
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长交于，延长交于．
直角中，；
中，，
，
，
，
即．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．
【变式2】．（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，你能求出身体与水平线的夹角的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出的度数．
【分析】方法一：延长交直线于点，根据平行线的性质即可解答；
方法二：过点作，过点作，利用平行线中的锯齿模型，即可解答．
【解答】解：方法一：延长交直线于点，
，
，
，
；
方法二：过点作，过点作，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
的度数为．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式3】．（2022春•铁东区校级月考）感知与填空：如图①，直线．来证：．
（1）阅读下面的解答过程，请填上适当的理由．
证明：过点作直线

（已知），



（2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，
求的度数．
（3）方法与实践：如图③，直线．若，，
则 度．
【分析】（1）过点作直线，由两直线平行，内错角相等得出，由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出，由两直线平行，内错角相等得出，由，等量代换得出．
（2）过点作，则，由感知与填空得，，即可得出结果．
（3）设交于，，由感知与填空得，即可得出结果．
【解答】解：（1）过点作直线，
（两直线平行，内错角相等），
（已知），，
（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）过点作，
则，如图②所示：
由（1）得：，，
，，，
，
即的度数为；
（3）设交于点，如图③所示：
，，
，
由感知与填空得：，
，
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
题型技巧9：从特殊到一般思想
【方法点拨】从特殊到一般思想即对于一个较难的问题，首先观察一些特殊的示例，然后分析它们的共同点和特征，最后做出一般性结论。
【例题11】（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）如图所示，直线、相交于点，平分，平分，，则的度数为 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查了角的计算，关键是掌握对顶角相等，角平分线的定义．
因为平分，平分，所以，，因为，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，
，，
，即，
，，
，
，
故答案为：．
【变式1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，．
(1)如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
(2)如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
（1）延长交于点F，根据平行线的性质推出；
（2）过点E作，过点H作，根据，推出，再根据，推出，最后根据比大得出的度数；
（3）过点E作，则，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【详解】（1）解：延长交于点F．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点E作，过点H作，如图所示：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点E作，
根据（2）得，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．

(1)求与的和；
(2)当点在直线上运动时，试说明；
(3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)详见解析
(3)．
【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
（1）过点作，根据平行的性质可得，，即可得，问题随之得解；
（2）由（1）得：，结合，即可得作答；
（3）根据角平分线的定义有，，再根据平行的性质可得，即有，在结合（2）的结论即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点作，则．

∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
则．
∵，
∴，
∴．
（3）解：若平分，也恰好平分，
则有，，．
∵，
∴，
∴．
由（2）知：，
则，
解得：．
【变式3】（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，．
(1)请对说明理由；
(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，及邻补角求角度：
（1）根据对顶角相等得到，即可推出；
（2）利用平行线的性质及邻补角求出，根据角平分线求出，再利用内错角相等得到的度数．
【详解】（1）理由如下：∵，
∴，
∴；
（2）∵与底座都平行于地面，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b
所有朝左角之和等于所有朝右角的和