（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习12《幂函数》(2份打包，原卷版+教师版)

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1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up5(\f(1,2))，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝eq \r(x) B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
2．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝( )
A．2 B．1 C．3 D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，eq \f(\r(2),2))，则f(4)＝________.
eq \f(1,2) [由f(2)＝eq \f(\r(2),2)可知2α＝eq \f(\r(2),2)，即α＝－eq \f(1,2)，∴f(4)＝4eq \s\up15(－\f(1,2))＝eq \f(1,2).]
幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))所以m＝－3，n＝eq \f(3,2).
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.
1．(1)在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f(eq \f(1,2))的值等于________．
(1)B (2)eq \f(1,3) [(1)∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝lg23，∴f(eq \f(1,2))＝(eq \f(1,2))lg23＝eq \f(1,3).]
幂函数的图象及应用
【例2】 点(eq \r(2)，2)与点(-2，－eq \f(1,2))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(2)函数y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
(2)y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象可看作由y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α1.1，且y＝xeq \s\up5(\f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2eq \s\up5(\f(1,2))>(eq \f(10,9))eq \s\up8(\f(1,2))>1.1eq \s\up5(\f(1,2))，即1.2eq \s\up5(\f(1,2))>0.9eq \s\up15(－\f(1,2))>eq \r(1.1).
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)(eq \f(2,5))0.5与(eq \f(1,3))0.5； (2)(－eq \f(2,3))－1与(－eq \f(3,5))－1.
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，所以(eq \f(2,5))0.5>(eq \f(1,3))0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)(－eq \f(3,5))－1.
比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
【例4】若幂函数的定义域为{x∈R|x≠0}，则m的取值是（ ）
A．﹣1≤m≤3B．m＝﹣1或m＝3C．m＝﹣1D．m＝3
【解题思路】根据函数y是幂函数得出m2﹣2m﹣2＝1，求出m的值再验证是否满足定义域为{x∈R|x≠0}即可．
【解答过程】解：函数是幂函数，
则m2﹣2m﹣2＝1，即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1；
当m＝3时，﹣m2+m+3＝﹣3，幂函数y＝x﹣3的定义域为{x∈R|x≠0}，满足题意；
当m＝﹣1时，﹣m2+m+3＝1，幂函数y＝x的定义域为R，不满足题意；
所以m的值是3．故选：D．
【例5】设，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【解题思路】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．
【解答过程】解：a1，b1，c1；
且01，函数y在（0，+∞）上是单调增函数，所以，
所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．
【例6】（1）若函数为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为（ ）
A．0B．1或2C．1D．2
【解题思路】利用幂函数的定义和性质列方程组，能求出m．
【解答过程】解：∵函数为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，
∴，解得m＝1．故选：C．
(2)已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）
C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解题思路】先由幂函数的定义和性质求出m的值，得到函数f（x）的解析式，再解不等式即可．
【解答过程】解：由幂函数的定义可知m2﹣2m﹣7＝1，解得m＝﹣2或4，
又∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m﹣2＞0，∴m＝4，∴f（x）＝x2，
由f（a﹣1）＞1可得（a﹣1）2＞1，∴a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，∴a＜0或a＞2，
即实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），故选：D．
(3)已知f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）
C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解题思路】由幂函数的定义先求出m的值，得到函数f（x）的解析式，进而得到函数f（x）的单调性和奇偶性，根据函数的单调性和奇偶性求出满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围即可．
【解答过程】解：∵f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，
∴，解得m＝4，∴f（x），定义域为R，且是偶函数，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
又∵f（﹣1）＝f（1）＝1，f（0）＝0，
∴由f（a﹣1）＞1可得：a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，解得a＜0或a＞2，
∴实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），故选：D．
1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq \s\up5(\f(1,2)))图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )
(3)当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数．( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．幂函数的图象过点(2，eq \r(2))，则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝xeq \s\up5(\f(1,2))
C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝eq \r(2)，∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2)).选B.]
3．函数y＝xeq \s\up15(\f(5,4))的图象是( )
A B C D
C [∵函数y＝xeq \s\up15(\f(5,4))是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又eq \f(5,4)>1，故选C.]
4．比较下列各组数的大小：
(1)3eq \s\up15(－\f(5,2))与3.1eq \s\up15(－\f(5,2))； (2)4.1eq \s\up5(\f(2,5))，3.8eq \s\up15(－\f(2,3))，(－1.9)eq \s\up15(－\f(3,5)).
[解] (1)因为函数y＝xeq \s\up15(－\f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数，又33.1eq \s\up15(－\f(5,2)).
(2)4.1eq \s\up5(\f(2,5))>1eq \s\up5(\f(2,5))＝1,0b>c B．c>a>b C．aa
答案 A
解析 ∵a＝(-eq \f(1,6))－2＝(eq \f(1,6))－2，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且eq \f(1,6)(eq \f(3,4))－2，即a>b>c.故选A.
5．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )
A．m＝－2 B．m＝－1
C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1
答案 A
解析 由幂函数的定义，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1 或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．故选A.
二、填空题
6．若幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－1在(0，＋∞)上单调递增，则m＝________.
答案 －1
解析 由幂函数的定义可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝2时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，所以m＝－1.
7．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵y＝x－1在[－4，－2]上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－eq \f(1,2).
8．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ，若f(a＋1)0)，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(a＋1)0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a3.))∴3(eq \f(1,9))3.从而－8－3eq \f(π,6)，所以(eq \f(2,3))－2