（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习06《等式性质与不等式性质》(原卷版+教师版)

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第1课时 不等关系与不等式
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的比较大小
3.重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为( )
A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40
C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h D．d≥10 m
A [v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]
3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
4．5t<28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.]
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M、N的大小关系为________．
M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，∴M＞N.]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1，民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3.
v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，v1、v3的关系：v1＞3v3.
在用不等式组表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示.另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一.
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))(m)．因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))，
依题意有S≥216，即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))≥216，
故该题中的不等关系可用不等式表示为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0比较两数(式)的大小
【例2】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
作差法比较两个实数大小的基本步骤：
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4).
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋eq \f(3,4)x·(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)nx.
因为y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)nx＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5)))，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.
y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x)，
当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；
当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a2．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
1．思考辨析
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)若a(3)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
[提示] (1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(2)正确．不等式a≤b表示a(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
[答案] C
3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]
4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
[解] 由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.
第2课时 等式性质与不等式性质
1．等式的性质
(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；
(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是( )
A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
B [根据不等式的性质．]
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2 C.eq \f(a,b)>1 D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]
利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b) D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
[思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，故B为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，故C为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，
则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错．]
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
1．下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，则a＜b
D [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.]
利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
本例条件不变的情况下，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
利用不等式的性质证明不等式注意事项
1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，∴f－ac不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
[思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b与eq \f(1,b)的范围，进而求出a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.
又因为eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜eq \f(4,2)＝2，即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.
求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.
3．已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,2)的取值范围．
[解] ∵已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)＜eq \f(π,4)，－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，两式相加，得－eq \f(π,2)＜eq \f(α＋β,2)＜eq \f(π,2).
∵－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4).∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)＜eq \f(π,4).∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2)，
又知α＜β，∴eq \f(α－β,2)＜0.故－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜0.
1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.
1．思考辨析
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
[提示] (1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
[答案] (1)× (2)×
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是( )
A．a－d＞b－c B．－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)
C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd
C [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得eq \f(1,d)＞eq \f(1,c)＞0.又a＞b＞0，所以eq \f(a,d)＞eq \f(b,c)，－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C.]
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1
A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.
故知－2＜α－β＜0.]
4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，所以eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，所以eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是( )
A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－a
C．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a
答案 A
解析 b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．又a>b，∴a－b>0.又(b－1)2≥0，
∴(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.
2．若eq \f(1,a)A．aab
C．|a|>|b| D．ab答案 D
解析 ∵eq \f(1,a)0，∴a＋b3．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )
A．ac2>bc2 B．a－d>b－c
C．adb2
答案 B
解析 对于A，若c＝0，则A不成立；对于B，正确．对于C，若d为正数，则C不正确；对于D，若a，b为负数，则D不正确，综上选B.
4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
答案 A
解析 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0.
5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xA．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
答案 B
解析 解法一：因为x0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.
解法二(特殊值法)：若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.
二、填空题
6．有以下四个条件：
①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使eq \f(1,a)答案 ①②④
解析 ①因为b>0>a，所以eq \f(1,b)>0>eq \f(1,a)；②因为0>a>b，所以eq \f(1,a)③因为a>0>b，所以eq \f(1,a)>0>eq \f(1,b)；④因为a>b>0，所以eq \f(1,b)>eq \f(1,a)>0.
7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，eq \f(x,y)的取值范围为________．
答案 27＜x－y＜56 eq \f(20,11)＜eq \f(x,y)＜3
解析 ∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，eq \f(1,33)＜eq \f(1,y)＜eq \f(1,28).
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，eq \f(60,33)＜eq \f(x,y)＜eq \f(84,28)，即eq \f(20,11)＜eq \f(x,y)＜3.
8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件为________．
答案 ab≠1或a≠－2
解析 ∵x＞y，∴x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab－1≠0或a＋2≠0，即ab≠1或a≠－2.
三、解答题
9．设a>b>0，试比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小．
解 解法一(作差法)：
eq \f(a2－b2,a2＋b2)－eq \f(a－b,a＋b)＝eq \f(a＋ba2－b2－a－ba2＋b2,a2＋b2a＋b)＝eq \f(a－b[a＋b2－a2＋b2],a2＋b2a＋b)＝eq \f(2aba－b,a＋ba2＋b2).
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.∴eq \f(2aba－b,a＋ba2＋b2)>0，∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b).
解法二(作商法)：
∵a>b>0，∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq \f(a－b,a＋b)>0.
∴eq \f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝eq \f(a＋b2,a2＋b2)＝eq \f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq \f(2ab,a2＋b2)>1.∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b).
10．甲、乙两位采购员同去一家销售公司各自买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1000 kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？
解 设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b，则甲采购员两次购粮的平均单价为eq \f(1000a＋b,2×1000)＝eq \f(a＋b,2)(元/kg)，乙采购员两次购粮的平均单价为eq \f(2×1000,\f(1000,a)＋\f(1000,b))＝eq \f(2ab,a＋b)(元/kg)．
∵eq \f(a＋b,2)－eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(a＋b2－4ab,2a＋b)＝eq \f(a－b2,2a＋b)，
又∵a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，
∴eq \f(a－b2,2a＋b)＞0，即eq \f(a＋b,2)＞eq \f(2ab,a＋b).
∴乙采购员的购粮方式更合算．
B级：“四能”提升训练
1．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，求eq \f(c,a)的取值范围．
解 由已知及三角形的三边关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ac，,a＋c>b))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,1＋\f(b,a)>\f(c,a)，,1＋\f(c,a)>\f(b,a)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,－1<\f(c,a)－\f(b,a)<1，))两式相加得0<2×eq \f(c,a)<4，
所以eq \f(c,a)的取值范围为(0,2)．
2．已知－1解 设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝2，,m－n＝－3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,2)，,n＝\f(5,2).))∴2x－3y＝－eq \f(1,2)(x＋y)＋eq \f(5,2)(x－y)．
∵－1∴3<－eq \f(1,2)(x＋y)＋eq \f(5,2)(x－y)<8，即3<2x－3y<8.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．
2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养.
文字语言
数学语言
等价条件
a－b是正数
a－b＞0
a＞b
a－b等于零
a－b＝0
a＝b
a－b是负数
a－b＜0
a＜b
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握不等式的性质．(重点)
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)
3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.
1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.