2024年河北省秦皇岛市海港区中考二模数学试题

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1. ﹣8的立方根是（ ）
A. 2B. ﹣2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是找出一个立方为－8的数，考查了学生对基础知识的理解与掌握．
2. 如图所示，某同学的家在A处，书店在B处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）

A. A→C→D→BB. A→C→F→B
C. A→C→E→F→BD. A→C→M→B
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．
【详解】根据两点之间的线段最短，
可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．
故选B．
【点睛】本题考查了线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
3. 如图是由4个相同的小正方体组成的两个几何体，下列描述正确的是（ ）
A. 仅主视图不同B. 仅俯视图不同
C. 仅左视图不同D. 主视图、左视图和俯视图都相同
【答案】B
【解析】
【分析】画出这两个组合体的三视图，比较得出答案．
【详解】解：这两个组合体的三视图如图所示：

因此这两个组合体只有俯视图不同，
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确画三视图的前提．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
4. 语句“的与的和不超过”可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】x即x，不超过5是小于或等于5的数，由此列出式子即可．
【详解】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
5. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A. 主视图和左视图B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图D. 主视图、左视图、俯视图
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，
故选A．
【点睛】此题主要考查简单组合图的三视图，解题的关键是熟知三视图的定义.
6. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）
A. 15°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出∠BOD=60°，则∠AOD=∠DOB-∠AOB，从而可得答案．
【详解】解：根据旋转的性质可知∠BOD=60°，
∵∠AOB =15°，
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°．
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，掌握①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．
7. 小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（ ）
A. 南偏西50°B. 北偏西50°C. 南偏西40°D. 北偏西40°
【答案】C
【解析】
【分析】画出示意图，确定好小丽和小华的的方向和位置即可．
【详解】解：如图所示，当小丽在小华北偏东40°的方向时，则小华在小丽的南偏西40°的方向．
故选：C
【点睛】本题考查了方位角的知识点，确定好物体的方向和位置是解题的关键．
8. 下列说法不正确的是（ ）
A. “任意画一个菱形其内角和是”属于必然事件
B. 调查某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查
C. 一枚质地均匀的正方体骰子，任意掷一次，点数朝上的可能性相同
D. “1，3，2，1的众数一定是2”，这一事件是不可能事件
【答案】B
【解析】
【分析】用必然事件判断A选项，用不可能事件判断D选项，根据抽样调查使用范围和特点对B选项做出判断，用随机事件发生的可能性对C选项做出判断，从而得出答案．
【详解】解：A选项，任意画一个菱形其内角和是是必然事件，因此A是正确；
B选项，调查某班的学生的身高，人数不多，采用全面调查较好，因此B不正确；
C选项，一枚质地均匀正方体骰子，任意掷一次，点数朝上的概率为，所以可能性相同，因此C是正确；
D选项，“1，3，2，1的众数一定是2”是不可能事件，因此D是正确；
满足题意的是B选项，
故选：B．
【点睛】考查抽样调查适用的范围，必然事件、不可能事件和随机事件发生的可能性的知识，理解事件调查的方法、体会事件发生的可能性是解决问题的关键．
9. 某单位决定拿元购买免洗洗手液，由于购买数量较多，每瓶洗手液可以优惠元，结果比原计划多买了6瓶．设原计划购买瓶，则依据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实际与原计划购买数量间的关系，可得出实际购买瓶，利用单价=总价数量，结合实际比原计划每瓶优惠元，即可得出关于的分式方程，由此解题．
【详解】解：实际比原计划多买瓶，且原计划购买瓶，
实际购买瓶，
根据题意得：
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键．
10. 同时满足直线和直线的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，以及“直线是指是经过且与x轴平行的直线”使用排除法即可．
【详解】解：直线是经过且与x轴平行的直线，
故排除A、B；
∵直线中，，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，故排除A、B、C．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，掌握利用k、b的符号确定一次函数所经过的象限是解题的关键．
11. 以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A. 邻补角相等B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】先写出各自命题的逆命题，然后进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、邻补角相等的逆命题是：互补的两个角相等，是假命题，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，符合题意；
C. 若a=b,则的逆命题为若，则a=b，此逆命题为假命题，故错误；
D. 若a>0，b>0，则的逆命题为若，则a>0，b>0，此逆命题为假命题，故错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查了逆命题和判定命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体体积应（ ）
A. 不大于B. 不小于C. 不大于D. 不小于
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出当温度不变时，气球内的气体的气压P是气体体积V的反比例函数，其图象过点（12,8），求出其解析式；从而得出当气球内的气压不大于140kPa时，气体体积的范围
【详解】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，
∵图象过（12，8），
∴，
∴P＝，
∴当P≤140kPa时，V≥m3．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
13. 同时转动如图所示的两个转盘，则转盘停止转动后，指针同时落在红色区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出转盘的指针落在红色区域的概率，二者之积即转盘的指针同时落在红色区域的概率．
【详解】∵转盘的指针落在红色区域的概率分别为和，
∴转盘的指针同时落在红色区域的概率为：=，
故选A.
【点睛】本题考查两步完成的事件的概率，两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积，熟练掌握相关知识是解题关键.
14. 如图，是一组按照某种规律摆放而成的图案，其中图1有个三角形，图2有个三角形，图3有个三角形，……，照此规律，则图10中三角形的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图可知：第1个图案有三角形1个，第2图案有三角形1+3=4个，第3个图案有三角形1+3+4=8个，第4个图案有三角形1+3+4+4=12，…第n个图案有三角形4（n-1）个，由此得出规律解决问题．
【详解】由图可知：第1个图案有三角形1个，
第2图案有三角形1+3=4个，
第3个图案有三角形1+3+4=8个，
第4个图案有三角形1+3+4+4=12，
从第3个图案开始每一个比前面的都多4个三角形，
∴第n个图案有三角形：个.
第10个图案有三角形：36个.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，进而得出规律，注意由特殊到一般的分析方法．
15. 将关于一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，先由得到，再利用“降次法”将转化为，进一步得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴．
∴
，
，
，
，
，
故选：C。
16. 如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，写出前几个坐标的横坐标，推导一般性规律为：的横坐标为，然后计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，，，，，，
∴的横坐标为，
的横坐标为 ，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
……
∴可推导一般性规律为：的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，一次函数等知识．解题的关键在于根据题意推导一般规律．
二、填空题（体大题有3个小题．共12分．17~18小题各3分；19小题6分）
17. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解的方法，分别使用提公因式法和公式法即可求解．
【详解】根据因式分解的方法，先提取公因式得，再利用公式法得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
18. 如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】连接，根据正六边形的特点可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】如图，连接，
正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上
正六边形每个内角为，直线为对称轴
，AB=AF
则
则，
正方形BMGH的边长为6
，
设，则AF=2x，
所以
解得
故答案为：4
【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
19. 如图．中，，，，顶点、分别在轴、轴的正半轴上滑动．

（1）______；
（2）若点是的中点．则点在运动过程中经过的路径长为______；
（3）点到原点的最大的距离是______．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）连接，根据直角三角形的性质可得，可得点的运动路径，利用弧长公式求解即可；
（3）连接，可知当。。三点共线时，最大，由勾股定理求得，即可得到答案．
【详解】（1）解：中，，，，
，
故答案为：；
（2）解：连接，

点是的中点．
，
顶点、分别在轴、轴的正半轴上滑动，
点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的在第一象限的圆弧，
点在运动过程中经过的路径长为，
故答案为：；
（3）解：连接，

，
，，三点共线时，最大，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，弧长公式，解题的关键是熟练掌握知识点，理解点到的距离不变．
三、解答题（本大题共7个小题．共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b=﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如2*1=﹣2+1=﹣．
（1）求4*5的值：
（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2）x≤2，
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题中定义求出所求式子的值即可；
（2）根据题中的新定义所求的不等式，解不等式即可．
试题解析：（1）根据题意得：4*5=﹣4+5=；
（2）根据题意得：﹣x+（x+2）≤4，
解得：x≤2，
在数轴上表示为：
．
21. 发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）(–1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【答案】验证（1）(–1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍；（2）见解析；延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)直接计算这个算式的值；(2)先用代数式表示出这几个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论.
【详解】解：验证（1）∵=1+0+1+4+9=15=5×3，
∴结果是5的3倍.
（2）.
∵n为整数，
∴这个和是5的倍数.
延伸 余数是2，理由：设中间的整数为n，被3除余2.
考点：完全平方公式，整式的加减.
22. 如图，为的两条半径，直线l与相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若（1）中所作垂线分别与，直线l交于点C和点D．
①求证：；
②若的半径为4，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，先作直径，然后过O点作的垂线即可；
（2）①先根据切线的性质得到，再利用得到，接着利用等角的余角相等证明，然后利用得到；②先在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理计算出，再由①的结论得到，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出x，最后计算即可．
【小问1详解】
如图，为所作；
【小问2详解】
①证明：∵直线l与相切于点B，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴；
②在中，
∵，
∴，
∴，
∵；
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
23. 如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数；
②在①的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
③如图3，在中，如果不是直角，而①中的其他条件不变，试问在②中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】见解析；①；②，理由见解析；③成立，证明见解析
【解析】
【分析】根据可知：在的两边上以O为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于对称；
①根据三角形内角和定理可求，是的外角，根据外角的性质计算求解；
②根据图1的作法，在上截取，则；根据证明，得，故判断；
③只要的度数不变，结论仍然成立．证明同②．
【详解】解：在的两边上以O为端点截取，在上任意取一点D，连接、，则与即为所求作的三角形，如图1所示：
①如图2，∵，°，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴；
②．理由如下：
在上截取，连接，如图2所示：
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴．
③在②中的结论仍然成立．
在上截取，连接，如图所示：
同②可得：，
∴，，
又由①知，，
∴，
∴，
∴，
同②可得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，作出相应的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，本题的综合性较强，难度较大．
24. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，其顶点纵坐标为．
（1）求的值；
（2）求，两点的坐标；
（3）以，为一组邻边作，则点关于轴的对称点是否在该抛物线上？请说明理由．
【答案】（1）
（2）的坐标 ，的坐标
（3）在抛物线上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的顶点纵坐标为，运用待定系数法求解；
（2）由（1）得抛物线的解析式，因为，的坐标在轴上，所以纵坐标为，代入抛物线的解析式，解一元二次方程可求得，的坐标；
（3）由平行四边形知，关于对角线交点对称，求得的坐标，进而根据点，点关于轴的对称得出的坐标，进而即可得出结论．
小问1详解】
解：∵抛物线其顶点纵坐标为
∴抛物线，
∴顶点坐标为：，
∴
∴；
∴
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线表达式为，
令，得．
解得：．
∴的坐标 ，的坐标 ；
【小问3详解】
解：由，令，解得：，
∴
如图所示，连接交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∵的坐标 ，的坐标 ；
∴对角线交点的坐标为)，抛物线的对称轴为直线，
∴点，关于对角线交点)对称，
∵，则
又∵点 是点关于轴的对称点，
∴
当时，，
∴在抛物线上．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出点的坐标是解决问题的关键．
25. 如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图象．
（1）当行车里程超过3km时，每增加1km，所付的车费应增加多少元？并求当时的函数关系式；
（2）某人乘坐2.5km，应付多少钱？
（3）某人乘坐13km，应付多少钱？
（4）若某人付车费30.8元，则出租车行驶了多少路程？
【答案】（1）每增加1km，所付的车费应增加1.4（元）．；（2）该人乘坐2．5km，应付7元；（3）该人乘坐13km，应付21元．（4）出租车行驶了20km的路程．
【解析】
【分析】（1）行车里程超过3km时，由题意知每增加1km，所付的车费应增加（元），设，所以k=1.4，再把x=3时，y=7代入即可求解；
（2）根据时，付费都是7元即可解答；
（3）把x=13代入（1）题的函数关系式计算即可；
（4）把y=30.8代入（1）题的关系式求解即可.
【详解】解：（1）由题中图象可知，当行驶路程由3km增加到8km时，收费由7元增加到14元，
所以每增加1km，所付的车费应增加（元）．
设当时的函数关系式为，
因为当x=3时，y=7，
所以，解得，
所以当时的函数关系式为．
（2）当时，因为，所以．
答：该人乘坐2.5km，应付7元．
（3）当时，．
答：该人乘坐13km，应付21元．
（4）当时，由，解得．
答：出租车行驶了20km的路程．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，重点考查待定系数法求一次函数的解析式、已知自变量求函数值、已知函数值求自变量等知识，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键.
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+3与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线y=ax2+bx交直线AB于点C(2，2)．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，P坐标是(4，2)
【解析】
【分析】（1）把C(2，2)代入y=kx+3求得k=−，再求得B坐标为(6，0)，利用待定系数法即可求解；
（2）设点，利用三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵点C在直线AB上，
∴把C(2，2)代入y=kx+3得，2=2k+3，
解得k=−，
∴直线AB：y=-x+3，
由y=0得，0=−x+3，
解得x=6，
∴B坐标为(6，0)；
将B (6，0)，C(2，2)代入y=ax2+bx得，
解得，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵点P在抛物线上，
∴设点，
∵点P在直线AB上方的抛物线上，
∴，
对于直线AB：y=-x+3，
由，得，
∴A(0，3)，
∴，
，
∴，
解得（舍弃），，
∴P坐标是 (4，2) ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，一元二次方程的解法．掌握待定系数法求解析式是解决此题关键．