2024年广东省珠海市香洲区梅华中学中考三模数学试题

这是一份2024年广东省珠海市香洲区梅华中学中考三模数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的倒数为（ ）
A．B．C．3D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
4．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30B．25和29C．28和30D．28和29
5．不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，且，则旋转角的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数的图象如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体，如图，小南在与塔底同一高度的地面处测得塔顶的仰角为，接下来，他沿一条坡比为的斜坡行进了156米后，在处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内，则小南测得的双子塔的高度约为米．（参考数据：）（ ）
A．193B．196C．201D．206
10．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿作匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿作匀速运动，直到两点都到达终点为止．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11．因式分解______．
12．在依法合规，科学安全、知情同意、自愿接种的前提下，我国正式启动了新冠疫苗的使用．截至4月10日24时，全国累计报告接种新冠疫苗约为16500万剂次．接种总剂次数全球第二．将数据16500用科学记数法表示为______．
13．一个正边形的一个外角是，那么______．
14．若是方程的一个根，则该方程的另一个根为______．
15．如图，与位似，点为位似中心，，则与的面积比为______．
16．如图，中，，，，以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点，以点为圆心，以大于为半径作弧，接着再以点为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，以点为圆心，以为长度作弧，交于点，则阴影部分的面积为______．
17．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕，若正方形与五边形面积相等，则的值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
18．先化简，再求值：，其中．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（本小题6分）
计算：．
20．（本小题6分）
某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
（1）本次调查随机抽取了______名学生；表中______，______；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
21．（本小题8分）
如图，在中，．
（1）在上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求长．
22．（本小题8分）
在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少？
（2）如图2，若将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形和都由篱笆构成，求的长．
23．（本小题8分）
如图，是的直径，与相切于点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接并延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求．
24．（本小题10分）
如图，点是反比例函数位于第二象限的图象上的一个动点，过点作轴于点；为是线段的中点，过点作的垂线，与反比例函数的图象及轴分别交于两点．顺次连接、．设点的横坐标为．
（1）求点的坐标（用含有的代数式表示）；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若的面积为2，当四边形是正方形时，求直线的函数表达式．
25．（本小题10分）
如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标；
（3）当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．
答案和解析
1．【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：因为，
所以的倒数是．
故选：A．
2．【答案】D
【解析】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：D．
分别按照同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法法则计算验证即可．
本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法等整式运算，熟练掌握相关整式运算的法则是解题的关键．
3．【答案】D
【解析】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面一层有2个正方形．
故选：D．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．【答案】D
【解析】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
这组数据的众数是29，
故选：D．
根据中位数和众数的概念解答．
本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．【答案】D
【解析】解：解不等式，得：，
又，
不等式组的解集为，
故选：D．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查几何概率：概率相应的面积与总面积之比，难点是得到两个正方形的边长的关系．
算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．
【解答】
解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
圆的直径正好是大正方形边长，
根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，
大正方形的边长为，
则大正方形的面积为，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．
故选：C．
7．【答案】B
【解析】解：在平面内绕点逆时针旋转到的位置，
，为旋转角，
，
，
，
，
，
旋转角的度数为．
故选：B．
先根据旋转的性质得，为旋转角，再利用平行线的性质得，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形的内角和计算出的度数，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．【答案】B
【解析】解：二次函数图象开口向下，
，
对称轴，
，
二次函数图象与轴交于正半轴，
，
一次函数过第一三四象限，反比例函数位于第一三象限，
纵观各选项，只有B选项符合．
故选：B．
根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出的正负情况，再根据二次函数图象与轴的交点判断出的正负情况，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出的情况是解题的关键，也是本题的难点．
9．【答案】B
【解析】解：如图，过点作，垂足为点．
过点作，垂足为点．
四边形是矩形，
，，
斜坡的坡度为，，
设，则，
由勾股定理，得．
，解得：，
（米），（米），
，．
，
，，
在中，，
，
，
解得（米）．
故选：B．
过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．可得四边形是矩形，斜坡的坡度为，得，设，则，由勾股定理，得．根据，可得，然后利用锐角三角函数列式计算即可得结果．
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是作出辅助线，构造直角三角形．
10．【答案】C
【解析】解：①当，即当点在边上时，，，
，
此时抛物线为开口向上的抛物线，故排除A和D；
②当，即当点在边上或当点在线段上，点在线段上运动时，选项B和C图象相同；
③当，即当点在边上，点到达点时，过点作于点，如图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
当时，为的一次函数，图象为直线，
只有C符合题意．
故选：C．
①当，即当点在边上时，可根据写出关于的函数关系式，从而排除选项A和D；②当，即当点在边上或当点在线段上，点在线段上运动时，选项B和C图象相同；③当，即当点在边上，点到达点时，过点作于点，可由，写出关于的函数关系式，从而排除选项B，则问题得解．
本题考查了动点问题的函数图象，数形结合、分段讨论是解题的关键．
11．【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
12．【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
13．【答案】8
【解析】解：正边形的一个外角是，边形的外角和为，
．
故答案为：8．
由正边形的一个外角是，边形的外角和为，即可求得的值．
此题考查了正边形的性质与多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和为．
14．【答案】0
【解析】解：设该方程的另一个根为，
根据题意得，解得，
即该方程的另一个根为0．
故答案为0．
设该方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．
15．【答案】
【解析】解：与位似，
，，
，，
与的面积比，
故答案为：．
根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16．【答案】
【解析】解：由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，，，，
，
故答案为：．
本题考查作图-复杂作图，扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．
根据作图过程得到平分，解直角三角形求出各边的长，利用求解即可．
17．【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，由剪纸的过程得到图形中边的关系是解题关键．
连接，设直线与边的交点为，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用分别表示出线段和线段的长即可求解．
【解答】
解：连接，设直线与边的交点为，如图：
由折叠可知点四点共线，且，
设正方形的边长为，
则正方形的面积为，
若正方形与五边形的面积相等，
由折叠可知正方形的面积正方形的面积，
正方形的边长，
，
，
，
故答案为．
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．【答案】解：原式
．
【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．【答案】解：（1）50；20，12；
（2）补全条形统计图如图所示；
（3）（人），
答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．
【解析】解：（1）本次调查随机抽取了名学生，，，故答案为50；20；12；
（2）见答案；
（3）见答案．
（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；
（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；
（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．【答案】解：（1）根据作图过程可知，
，
，，
又，；
（2）在中，，，，
，
由（1）可知，
，即，．
【解析】（1）已知是直角三角形，要使，则也是直角三角形，因此我们需要作点，使得；
（2）根据勾股定理先求出的长度，再根据第（1）问的结论，结合相似三角形的性质，列出等式，代入数值即可求解出的长度．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用和尺规作图．解本题的关键要掌握相似三角形的判定和性质、勾股定理、以及作图方法．
22．【答案】解：（1）设的长度为，则，
依题意得：，
解得：，．
墙的长为，
不合题意，舍去，
．
答：在墙上借用的的长度为．
（2）设的长为，则，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
．
答：的长为．
【解析】（1）设的长度为，则，由长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长为，即可确定的值；
（2）设的长为，则，由长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．【答案】（1）证明：连接，
，，，
在和中，
，，
是的切线．
（2）解：是的直径，，
，，
在中，，，
，，
，，
，，
，，
，，
与相切于点，与相切于点，
，
，，
，
解得，，
．
【解析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的直线与半径垂直，所以连接，证明即可．
（2）要求，首先应找出直角三角形，然后利用锐角三角函数求解即可．而可放在直角三角形中，利用相似三角形的性质求出的长，即可解决问题．
本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
24．【答案】解：（1）当时，，
．
由题意知，是的中垂线，
点的纵坐标为．
把代入得，
．
（2）证明：，轴，
轴，由（1）知，，
，，，
，四边形是平行四边形．
又，平行四边形是菱形．
（3）当四边形是正方形时，为等腰直角三角形．
，
的面积为2，
，．
，，
．
设直线的解析式为，
，
直线的函数表达式为．
【解析】（1）由点在双曲线上，确定出坐标，进而得出点的纵坐标，即可得出结论；
（2）由（1）得到的点的坐标判断出，结合，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论；
（3）由（2）结合求出点坐标，利用待定系数法求解即可．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题关键是用表示出点的坐标．
25．【答案】解：（1）设二次函数的解析式为，把代入得，
二次函数的解析式为；
设一次函数的解析式为，
把分别代入得，，，解得，，
一次函数的解析式为；
（2）轴，，
，，
，即，
设点的坐标为，那么点的坐标为，
，，
又直线与轴交于点，
点的坐标为，，
，
解得（不合题意，舍去），，
点的坐标为；
（3）以点为顶点的四边形能成为平行四边形．
理由如下：
若，则以点为顶点的四边形为平行四边形，
①当点在点上方，，
得（舍去），，
（2）当点在下方，，得．
当，；
当，．
所以点的坐标为：或或．
【解析】（1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式；
（2）由轴，，得到，则，设点的坐标为，那么点的坐标为，因此列方程，解方程得到，即可得到点坐标；
（3）由，若，以点为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点在点上方，②当点在下方，分别求解即可得到点坐标．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．也考查了平行四边形的性质和函数图象上的点的坐标特征以及一元二次方程的解法．
等级
频数
百分比
优秀
21
良好
合格
6
待合格
3