2023-2024学年山西省晋中市太谷区职业中学升学班高三（上）期末数学试卷（1）

这是一份2023-2024学年山西省晋中市太谷区职业中学升学班高三（上）期末数学试卷（1），共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）设集合A＝{x|（x+3）（x﹣8）≤0}，B＝{x|x＞5}，则A∪B＝（ ）
A．[﹣3，5）B．[8，+∞）C．（5，8]D．[﹣3，+∞）
2．（3分）设集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x∈Z|x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
3．（3分）已知集合，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A⋂B＝AC．A⋃B＝RD．A∪B＝A
4．（3分）二次函数f（x）＝x2﹣4x+3在[1，4]上的最大值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．4
5．（3分）若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
6．（3分）cs50°cs70°+sin50°cs160°＝（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则a8＝（ ）
A．9B．11C．13D．15
8．（3分）设向量，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）两平行直线l1：3x+4y﹣2＝0，l2：6x+8y﹣5＝0的距离等于（ ）
A．3B．0.1C．0.5D．7
10．（3分）球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）
A．4倍B．8倍C．16倍D．32倍
二、填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）已知集合A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝ ．
12．（4分）不等式的解集为 ．
13．（4分）已知函数y＝（a2﹣3）ax是指数函数，则实数a的值是 ．
14．（4分）已知直线3x﹣4y+5＝0与圆O：x2+y2＝5相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
15．（4分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+c2＝b2+ac，则B＝ ．
16．（4分）设{an}是等比数列，a1＝1，a2•a4＝16，则a5＝ ．
17．（4分）已知，且与垂直，与的夹角为45°，则＝ ．
18．（4分）2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A，B，C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 ．
三、解答题（共38分）
19．（6分）已知函数f（x）＝lg（1﹣x）+lg（1+x）+x4﹣2x2．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
20．（6分）（1）计算：；
（2）若tan（π﹣α）＝﹣2，求和4sin2α﹣3sinαcsα的值．
21．（6分）设Sn为数列{an}的前n项和，，求a1及an．
22．（6分）已知，，且，，∠AOB＝60°，求．
23．（6分）已知圆C经过点A（3，0），B（2，1），且圆C的圆心在直线2x+y﹣4＝0上。
（1）求圆C的标准方程；
（2）若从点（3，2）向圆C作切线，求切线方程．
24．（8分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求抽到的3人中至多有1人喜欢甜品的概率．
2023-2024学年山西省晋中市太谷区职业中学升学班高三（上）期末数学试卷（1）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）设集合A＝{x|（x+3）（x﹣8）≤0}，B＝{x|x＞5}，则A∪B＝（ ）
A．[﹣3，5）B．[8，+∞）C．（5，8]D．[﹣3，+∞）
【答案】D
【分析】解二次不等式化简集合A，再利用集合的并集运算即可得解．
【解答】解：∵A＝{x|（x+3）（x﹣8）≤0}＝{x|﹣3≤x≤8}，B＝{x|x＞5}，
∴A∪B＝{x|x≥﹣3}＝[﹣3，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
2．（3分）设集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x∈Z|x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
【答案】C
【分析】解不等式，求得整数解集，再根据交集定义即可求得A∩B．
【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{1，2，3，4，⋅⋅⋅}，
∴A∩B＝{1，2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
3．（3分）已知集合，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A⋂B＝AC．A⋃B＝RD．A∪B＝A
【答案】B
【分析】根据条件得到A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y＞0}，再利用集合的运算即可得出结果．
【解答】解：∵lg2x＜1，
∴0＜x＜2，
∴A＝{x|0＜x＜2}，
∵B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，
∴A⋂B＝（0，2）＝A，
∴选项A错误，选项B正确，
∵A⋃B＝（0，+∞）＝B，
∴选项C和D均错误．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
4．（3分）二次函数f（x）＝x2﹣4x+3在[1，4]上的最大值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．4
【答案】C
【分析】根据f（x）＝x2﹣4x+3和二次函数的基本性质计算求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣4x+3的二次项系数为正，对称轴为x＝2，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，
∵|1﹣2|＜|4﹣2|，
∴函数f（x）＝x2﹣4x+3在[1，4]上的最大值为f（4）＝42﹣4×4+3＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．
5．（3分）若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【答案】A
【分析】由对数函数和指数函数的性质可得．
【解答】解：因为a＝lg32＜lg33＝1，且a＞0，
，
c＝20.8＞20＝1，
所以b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题主要考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
6．（3分）cs50°cs70°+sin50°cs160°＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题干信息和三角函数的诱导公式与和角公式计算求解即可．
【解答】解：cs50°cs70°+sin50°cs160°＝cs50°cs70°+sin50°cs（90°+70°）＝cs50°cs70°﹣sin50°sin70°＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式与和角公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
7．（3分）在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则a8＝（ ）
A．9B．11C．13D．15
【答案】C
【分析】根据等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5和等差数列的基本性质计算求解即可．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，
∴，
∴，
∴an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3，
∴a8＝16﹣3＝13．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
8．（3分）设向量，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据和向量的运算法则计算求解即可．
【解答】解：∵（λ＞0），
∴，
∵（λ＞0），
∴λ＝5，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于数值运算，为基础题．
9．（3分）两平行直线l1：3x+4y﹣2＝0，l2：6x+8y﹣5＝0的距离等于（ ）
A．3B．0.1C．0.5D．7
【答案】B
【分析】根据题干信息和平行线间的距离公式计算求解即可．
【解答】解：∵l1：3x+4y﹣2＝0等效于6x+8y﹣4＝0，6x+8y﹣4＝0与6x+8y﹣5＝0的距离．
∴两平行直线l1：3x+4y﹣2＝0，l2：6x+8y﹣5＝0的距离等于0.1，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线间的距离公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
10．（3分）球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）
A．4倍B．8倍C．16倍D．32倍
【答案】B
【分析】根据题意可得球的半径增大为原来的2倍，进而可得球的体积增大为原来的8倍．
【解答】解：球的大圆面积增大为原来的4倍，
则球的半径增大为原来的2倍，
那么球的体积增大为原来的8倍．
故选：B．
【点评】本题考查球的体积，属于基础题．
二、填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）已知集合A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】根据题意，m22m﹣1，即可求出m的值．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合B＝{3，m2}，B⊆A，
∴m2＝2m﹣1（﹣1舍去），
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查集合之间的包含关系，属于基础题．
12．（4分）不等式的解集为 （﹣4，5） ．
【答案】（﹣4，5）．
【分析】将原不等式转化为（x﹣5）（x+4）＜0，再求解集即可．
【解答】解：∵，
∴（x﹣5）（x+4）＜0，
∴﹣4＜x＜5，
∴不等式的解集为（﹣4，5）．
故答案为：（﹣4，5）．
【点评】本题考查分式不等式，难度不大．
13．（4分）已知函数y＝（a2﹣3）ax是指数函数，则实数a的值是 2 ．
【答案】2．
【分析】根据函数y＝（a2﹣3）ax是指数函数和指数函数的基本性质计算求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a2﹣3）ax是指数函数，
∴，
∴a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查指数函数的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．
14．（4分）已知直线3x﹣4y+5＝0与圆O：x2+y2＝5相交于A，B两点，则|AB|＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】根据直线3x﹣4y+5＝0与圆O：x2+y2＝5相交于A，B两点和点到直线的距离公式计算求解即可．
【解答】解：∵圆心O（0，0）到直线3x﹣4y+5＝0的距离，圆的半径为，
∴．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
15．（4分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+c2＝b2+ac，则B＝ 60° ．
【答案】60°．
【分析】根据a2+c2＝b2+ac和余弦定理计算求解即可．
【解答】解：∵，a2+c2＝b2+ac，
∴，
∵0°＜B＜180°，
∴B＝60°，
故答案为：60°
【点评】本题主要考查余弦定理，解题的关键在于数值运算，为基础题．
16．（4分）设{an}是等比数列，a1＝1，a2•a4＝16，则a5＝ 16 ．
【答案】16．
【分析】根据{an}是等比数列，a1＝1，a2•a4＝16和等比数列的基本性质计算求解即可．
【解答】解：∵a1＝1，a2•a4＝16，
∴q4＝16，
∴a5＝a1q4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．
17．（4分）已知，且与垂直，与的夹角为45°，则＝ ．
【答案】．
【分析】根据，且与垂直，与的夹角为45°和向量的运算法则计算求解即可．
【解答】解：∵与垂直，
∴，
∵，与的夹角为45°，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于数值运算，为基础题．
18．（4分）2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A，B，C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 36 ．
【答案】36．
【分析】根据题干信息和排列组合的计算公式求解即可．
【解答】解：4位同学到A，B，C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是，
故答案为：36．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，解题的关键在于数值运算，为基础题．
三、解答题（共38分）
19．（6分）已知函数f（x）＝lg（1﹣x）+lg（1+x）+x4﹣2x2．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）偶函数．
【分析】（1）根据对数型函数真数大于0，即可求解，
（2）根据奇偶性的定义即可判断．
【解答】解：（1）由题意可知：，
故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）由（1）知定义域关于原点对称，
∵f（﹣x）＝lg（1+x）+lg（1﹣x）+（﹣x）4﹣2（﹣x）2＝lg（1﹣x）+lg（1+x）+x4﹣2x2＝f（x），
∴f（x）为偶函数，
【点评】本题考查函数的定义域以及奇偶性，难度不大．
20．（6分）（1）计算：；
（2）若tan（π﹣α）＝﹣2，求和4sin2α﹣3sinαcsα的值．
【答案】（1）；
（2）﹣1，2．
【分析】（1）根据题干信息和对数和实数指数幂的运算法则计算求解即可；
（2）根据题干信息和三角函数的诱导公式计算求解即可．
【解答】解：（1）＝；
（2）∵tan（π﹣α）＝﹣2，
∴tanα＝2，
∴，．
【点评】本题主要考查对数和实数指数幂的运算法则以及三角函数的诱导公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
21．（6分）设Sn为数列{an}的前n项和，，求a1及an．
【答案】a1＝﹣9，an＝2n﹣11，n∈N+．
【分析】根据Sn为数列{an}的前n项和，和数列的递推公式计算求解即可．
【解答】解：∵，
∴当n＝1时，，
∴当n≥2时，．
∵当n＝1时，an＝2n﹣11成立，
∴an＝2n﹣11，n∈N+．
【点评】本题主要考查数列的递推公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
22．（6分）已知，，且，，∠AOB＝60°，求．
【答案】3．
【分析】根据，，且，，∠AOB＝60°和向量的运算法则计算求解即可．
【解答】解：∵，，且，，∠AOB＝60°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于数值运算，为基础题．
23．（6分）已知圆C经过点A（3，0），B（2，1），且圆C的圆心在直线2x+y﹣4＝0上。
（1）求圆C的标准方程；
（2）若从点（3，2）向圆C作切线，求切线方程．
【答案】（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1；
（2）切线方程为x﹣3＝0或3x﹣4y﹣1＝0。
【分析】（1）先根据圆C经过点A（3，0），B（2，1）求得线段AB的中垂线所在直线的方程，再根据圆C的圆心在直线2x+y﹣4＝0求解即可；
（2）分切线斜率存在和切线斜率不存在两种情况讨论求解即可。
【解答】解：（1）∵圆C经过点A（3，0），B（2，1），
∴，
∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为1．
∵线段AB的中点坐标为，
∴线段AB的中垂线所在直线的方程为，即x﹣y﹣2＝0，
联立，
∵，
∴，
∴圆心坐标为（2，0），
∵半径，
∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1；
（2）当切线的斜率不存在时，
∵切线过点（3，2），
∴切线方程为x﹣3＝0，此时圆心C（2，0）到直线x﹣3＝0的距离d＝1＝r，满足题意；
当切线的斜率存在时，
设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，
∵切线与圆相切，
∴圆心到切线的距离，
∴，
∴切线方程为，即3x﹣4y﹣1＝0，
综上所述，切线方程为x﹣3＝0或3x﹣4y﹣1＝0。
【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于掌握直线与圆相切的性质和数值运算，为基础题。
24．（8分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求抽到的3人中至多有1人喜欢甜品的概率．
【答案】0.7．
【分析】根据古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，
记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2，3名不喜欢甜品的学生分别为b1，b2，b3，
从这5名学生中任取3人的样本点共有10个，分别为（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），
（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b3，b2），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b3，b2），（b1，b2，b3）．
记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A包含的样本点有7个，
分别为（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b3，b2），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b3，b2），（b1，b2，b3），
根据古典概型公式，得至多有1人喜欢甜品的概率为．
【点评】本题主要考查古典概型的应用，考查计算能力，属于基础题．