2024年甘肃省天水市秦安县王尹中学联片教研中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 的相反数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：的相反数为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数，是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. =±6B. 4﹣3=1C. =6D. =6
【答案】D
【解析】
【分析】由算术平方根的含义判断A，由合并同类二次根式判断B，由二次根式的除法判断C，由二次根式的乘法判断D．
【详解】解： 故A错误，
故B错误，
故C错误，
故D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键．
3. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绳子的长度不变列出方程即可．
【详解】解：设木长x尺，
根据题意有：．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4. 如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 随增大而增大B. 图象经过第三象限C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、随增大而减小，则此项错误，不符合题意；
B、图象不经过第三象限，则此项错误，不符合题意；
C、函数图象与轴的交点的纵坐标为，所以当时，，则此项正确，符合题意；
D、当时，，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
5. 如图，，点在直线上，点在直线上，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，根据两直线平行，内错角相等，得到，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
6. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B==70°，
∴∠AED=70°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7. 如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键．
8. 如图，在中，是锐角，点F是边的中点，于点E，连接．若，，，则长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，连接，取的中点H，连接，设，先证明是梯形的中位线，得到，再由直角三角形斜边上的性质的性质得到，利用勾股定理建立方程，求出x的值，进而求出的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，取的中点H，连接，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与不平行，
∴四边形是梯形，
∵点F是边的中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，梯形中位线，直角三角形斜边上的性质的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键
9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
二、填空题(共24分)
11. 若与互为倒数，_______．
【答案】
【解析】
【分析】考查了倒数、平方差公式及解方程，解题的关键是根据互为倒数的两个数的乘积为1列出方程．根据倒数定义列出方程并解方程即可解决．
【详解】解：若与互为倒数，
，
，
，
故答案为：．
12. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是非负数的性质和算术平方根．先根据非负数的性质求出、的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
13. 若在解分式方程去分母时产生增根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的增根，解决本题时需注意，要将增根，代入分式方程化为整式方程后的方程中，不然无法求得的值增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
【详解】解：方程两边都乘，得
，
∵在解分式方程去分母时产生增根，
∴原方程增根为，
∴把代入整式方程，得，
解得
故答案为
14. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．
连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解．
【详解】连接，
∵轴
∴
故答案为：3
15. 矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中线与面积，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，得到，利用E是的中点，得到，利用F是的中点，得到、，再根据求解，即可解题．
【详解】解：连接，
矩形的面积为，
，，，
，
E是的中点，
，
，
F是的中点，
，，
，
故答案为：．
16. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可
【详解】解：连接OA，
∵C是的中点，
∴
∴
设的半径为R，
∵
∴
在中，，即，
解得，
即的半径为5cm
故答案为：5
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键．
17. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
18. 如图，在中，，以点B为圆心、为半径画劣弧交射线于点D，M为的中点，联接、，分别交、于点E、F，如果点B是线段的黄金分割点，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了余弦的定义，三角形三边关系的应用，黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键，根据题意可得，然后利用黄金分割的定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得∶，
在中，
∴，
∴，
∵点B是线段的黄金分割点，
∴，
∴，
故答案：．
三、计算题(共8分)
19. （1）计算
（2），其中．
【答案】（1）1；（2）；5
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
四、作图题(共6分)
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．

（1）在图①中，画出边上的中线．
（2）在图②中，画出边上的点，使得．
（3）在图③中，画出边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等：
（1）取于格线的交点D，连接，线段即为所求；
（2）如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求；
（3）如图所示，取格点D，连接交于F，线段即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求；
易证明，则；
【小问3详解】
解：如图所示，取格点I，连接交于F，线段即为所求．

五、解答题(共52分)
21. 某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元
（1）求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？
（2）若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？
【答案】（1）8元，10元
（2）35件
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
（1）设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元，根据购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元，列方程组求解；
（2）设该商店可购进B种品牌的工具m件，根据该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，列出不等式，然后求出即可．
小问1详解】
解：设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元．
，
解得，
答：该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要8元、10元．
【小问2详解】
该商店可购进B种品牌的工具m件．
，
解得，
答：该商店最多可购进B种品牌的工具35件．
22. 如图，在中，，点是中点，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
（2）由已知得，再由勾股定理得的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，点D是的中点，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形为菱形是解题的关键．
23. 在九年级综合素质评定结束后，为了了解年级的评定情况，现对九年级某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．
（1）调查发现评定等级为合格的男生有人，女生有人，则全班共有_______名学生；
（2）补全女生等级评定的折线统计图；
（3）根据调查情况，该班班主任从评定等级为的学生中选名学生先进行交流，这4名学生中有名男生，名女生．德育处再从这名学生中任选人进行交流，已知被德育处选中的人中有一名女生，请用树状图或表格求出选中的另一名学生恰好也是女生的概率．
【答案】（1）；
（2）补图见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）根据合格的男生有人，女生有人，得出合格的总人数，再根据评级合格的学生占，即可得出全班的人数；
（）根据折线统计图和扇形统计图以及全班的学生数，即可得出女生评级的学生和女生评级的学生数，即可补全折线统计图；
（）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案；
此题考查了折线统计图、扇形统计图，用列表法或树状图法求概率，看懂统计图之间的数据关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵合格的男生有人，女生有人，共计人，
又∵评级合格的学生占，
∴全班共有人，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得， 女生评级的学生有人，
女生评级的学生有人，
补全女生等级评定的折线统计图如下:
【小问3详解】
解：男生用表示，女生用表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有中等结果，其中选中的另一名学生恰好也是女生的结果有种，
∴选中的另一名学生恰好也是女生的概率．
24. 如图，在中，点B，E分别在上，，分别交于点M，N．求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
25. 如图，是的直径，弦交直径于点，过点作的切线交弦的延长线于点，点为的中点．
（1）求证：．
（2）作半径，若，，求的值．
【答案】（1）证明见详解；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据切线的性质得到，再利用斜边上的中线性质得到，然后根据等腰三角形的性质和圆周角定理进行证明；
（2）过点作于点，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，则解方程求出得到的长，然后利用正切的定义求解．
【小问1详解】
证明：为的切线，
，
，
点为的中点，
，
，
，
∵
∴，
；
【小问2详解】
解：过点作于点，如图，
，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，也考查了圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
26. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，如图，根据切线的性质得，则可得到，根据平行线的性质得，加上，则，于是可判断平分．
【详解】证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
27. 如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接，若，求m的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线．点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得设直线的解析式，再和抛物线联立方程组求解即可；
（3）先求得,进而求得平移后抛物线的解析式，设，则，，分当P在Q点上方时和当点P在Q点下方时两种情况，利用全等三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得．
抛物线所对应函数解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
如图1，当M点在x轴上方时，
∵，
∴，
则设直线的解析式为，
∵直线经过点C，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
解得：，（舍去），
∴；
【小问3详解】
解：∵抛物线的图象过点，对称轴为直线，
∴,
∵抛物线平移后得到，且顶点为点B，
∴，
即．
设，则，
由题意，点Q、R关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线，
∴，
①如答图2，当P在Q点上方时，
，，
∵与全等，，，，
∴当且时，且，则，
∴，；
当且时，且，无解；
②如答图3，当点P在Q点下方时，
同理：，，
当且时，且，则，
∴，；
当且时，且，无解；
综上可得P点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、坐标与图形、全等三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键．