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人教版七年级数学下册专题14不等式的定义、性质和一元一次不等式(原卷版+解析)(7大考点)
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这是一份人教版七年级数学下册专题14不等式的定义、性质和一元一次不等式(原卷版+解析)(7大考点)，共34页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21876" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21876 \h 1
\l "_Tc28532" 【考点一 不等式的定义】 PAGEREF _Tc28532 \h 1
\l "_Tc18603" 【考点二 不等式的性质】 PAGEREF _Tc18603 \h 2
\l "_Tc21453" 【考点三 一元一次不等式的定义】 PAGEREF _Tc21453 \h 4
\l "_Tc2245" 【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 PAGEREF _Tc2245 \h 6
\l "_Tc22202" 【考点五 求一元一次不等式的整数解】 PAGEREF _Tc22202 \h 8
\l "_Tc5742" 【考点六 列一元一次不等式】 PAGEREF _Tc5742 \h 9
\l "_Tc18948" 【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18948 \h 11
\l "_Tc18657" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18657 \h 14
【典型例题】
【考点一 不等式的定义】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点二 不等式的性质】
例题：（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练】
1．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【考点三 一元一次不等式的定义】
例题：（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为______．
【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
2．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并把的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【考点五 求一元一次不等式的整数解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）不等式的最大整数解是______．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）满足不等式的最小的整数是__．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式的正整数解是______．
【考点六 列一元一次不等式】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）用不等式表示“m的3倍与n的一半的差不大于6”：_________．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
2．（2023·山西临汾·统考一模）根据年8月日太原市市政府公布的《太原市推进城市空间立体绿化实施方案》，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共株.已知A种苗木的数量不小于B种苗木的数量的一半，若设A种苗木有株，则可列不等式：______.
【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）某社区拟建甲、乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米．
(1)求每个甲、乙类摊位占地各为多少平方米？
(2)该社区拟建甲、乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？
(3)在（2）的条件下，某社区最多用454平方米拟建甲、乙两类摊位，若建甲类摊位每个需要3000元，乙类摊位每个需要2200元，共有几种建造方案？哪种方案最省钱？
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成D．x与2的和是非负数，可表示成
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）若，下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A．B．2C．D．3
6．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
二、填空题
7．（2023春·七年级单元测试）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．
8．（2023春·上海·六年级专题练习）不等式的正整数解是______．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）用不等式表示“a的3倍与4的差小于5”为 ______．
10．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是______．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
12．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
三、解答题
13．（2023·陕西渭南·统考一模）求不等式的正整数解．
14．（2023春·全国·八年级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)； (2)．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）下面是小明解不等式的过程：
①去分母，得，
②移项、合并同类项，得，
③两边都除以，得．
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
(1)小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
(2)用正确的方法解这个不等式．
17．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果该班级需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）5月份是空调销售和安装的高峰时期．某区域售后服务中心现有600台已售空调尚待安装，另外每天还有新销售的空调需要安装．设每天新销售的空调台数相同，每个空调安装小组每天安装空调的台数也相同．若同时安排3个装机小组，恰好60天可将空调安装完毕；若同时安排5个装机小组，恰好20天就能将空调安装完毕．
(1)求每天新销售的空调数和每个空调安装小组每天安装空调的台数；
(2)如果要在5天内将空调安装完毕，那么该区域售后服务中心至少需要安排几个空调安装小组同时进行安装？
20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
专题14 不等式的定义、性质和一元一次不等式
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21876" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21876 \h 1
\l "_Tc28532" 【考点一 不等式的定义】 PAGEREF _Tc28532 \h 1
\l "_Tc18603" 【考点二 不等式的性质】 PAGEREF _Tc18603 \h 2
\l "_Tc21453" 【考点三 一元一次不等式的定义】 PAGEREF _Tc21453 \h 4
\l "_Tc2245" 【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 PAGEREF _Tc2245 \h 6
\l "_Tc22202" 【考点五 求一元一次不等式的整数解】 PAGEREF _Tc22202 \h 8
\l "_Tc5742" 【考点六 列一元一次不等式】 PAGEREF _Tc5742 \h 9
\l "_Tc18948" 【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18948 \h 11
\l "_Tc18657" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18657 \h 14
【典型例题】
【考点一 不等式的定义】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：不等式有：，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
【变式训练】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：①是不等式；②是不等式；③是不等式；④是整式；⑤是方程；⑥是不等式；
题中共有4个不等式，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键．
2．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“或“”或“”或“”或“”表示不相等关系的式子，叫做不等式．
【详解】解：①，属于不等式；
②，属于不等式；
③，属于不等式；
④属于代数式，不是不等式；
⑤属于方程，不是不等式；
⑥，属于不等式．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号：．
【考点二 不等式的性质】
例题：（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：A．在不等式的两边同时乘，得，原变形正确，故选项不符合题意；
B．当时，得；当时，得，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
C．在不等式的两边同时除以，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．在不等式的两边同时减去，得，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】A、∵，∴，故A选项不符合题意；
B、∵，当时，则；当 时，则不成立；故B选项符合题意；
C、∵，∴，故C选项不符合题意；
D、∵，，∴，故D选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项分析可得．
【详解】解：A、由，得，故A不符合题意；
B、由，得，故B不符合题意；
C、由，得，故C不符合题意；
D、由，得，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；2、等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3、等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
【考点三 一元一次不等式的定义】
例题：（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐个判断即可．
【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式；
②，是一元一次不等式；
③，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
∴一元一次不等式有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，不等式的左右两边只含有同一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进而判断得出即可．
【详解】解：A、，未知数的次数为2，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；
B、是分式，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；
D、，是一元一次不等式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，正确把握是一元一次不等式的要素是解题关键．
2．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】∵是关于x的一元一次不等式，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值和一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出的值，代入不等式，解之可得．
【详解】解：∵不等式是一元一次不等式，
∴，解得：，
则不等式为：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．
【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】根据去分母、去括号、移项及合并同类项，系数化为1解不等式，再将不等式的解集在数轴上表示即可．
【详解】解：，
，
，
．
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可；
（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得 ，
把不等式的解集在数轴上表示为：
；
（2）解：，
去分母，得 ，
去括号，得，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
把不等式的解集在数轴上表示为：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法和步骤是解题关键．
2．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并把的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）根据解不等式的解法步骤解得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可；
（2）根据解不等式的解法步骤解得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得，
∴不等式的解集为，
解集表示在数轴上如图所示：
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得
∴不等式的解集为，
解集表示在数轴上如图所示：
【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤并正确表示在数轴上是解答的关键，注意去分母时不要漏乘．
【考点五 求一元一次不等式的整数解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）不等式的最大整数解是______．
【答案】
【分析】先求出不等式的解集，再进行判断即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
∴不等式的最大整数解是；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）满足不等式的最小的整数是__．
【答案】
【分析】先按照移项，合并同类项，系数化为1得步骤求出不等式的解集，再求出满足不等式的最小整数解即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴满足不等式的最小的整数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式的正整数解是______．
【答案】1，2
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．
【详解】
去括号得，
移项得，，
故不等式的正整数解是1，2．
故答案为：1，2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
【考点六 列一元一次不等式】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）用不等式表示“m的3倍与n的一半的差不大于6”：_________．
【答案】
【分析】“m的3倍与n的一半的差”表示为“”，“不大于6”即“”，据此可得答案．
【详解】解：由题意知：“m的3倍与n的一半的差”表示为“”，“不大于6”即“”，
∴不等式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
【答案】
【分析】设该商品打x折销售，利用利润销售价格进价，结合该商品的利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式．
【详解】解：设该商品打x折，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
2．（2023·山西临汾·统考一模）根据年8月日太原市市政府公布的《太原市推进城市空间立体绿化实施方案》，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共株.已知A种苗木的数量不小于B种苗木的数量的一半，若设A种苗木有株，则可列不等式：______.
【答案】
【分析】先用含的式子表示B种苗木的数量的一半，然后列出不等式即可
【详解】解：由题意可知B种树苗为，
则有．
【点睛】本题考查了代数的列法，及不等式的列法，找到不等关系是求解的关键．
【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
【答案】(1)甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元
(2)最多购入22件
【分析】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元列二元一次方程组，求解即可；
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品件，根据总进价不超过4650元列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，
根据题意得：，解得：．
答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元．
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，解得：，
∵a为正整数，所以甲商品最多购入22件．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为
(2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米
【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解；
（2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意得，解得，
答：甲车的速度为，乙车的速度为；
（2）解：设乙车提速后的速度为，
根据题意得，
解得，
答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）某社区拟建甲、乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米．
(1)求每个甲、乙类摊位占地各为多少平方米？
(2)该社区拟建甲、乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？
(3)在（2）的条件下，某社区最多用454平方米拟建甲、乙两类摊位，若建甲类摊位每个需要3000元，乙类摊位每个需要2200元，共有几种建造方案？哪种方案最省钱？
【答案】(1)每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米；
(2)25个
(3)3种，建造25个甲类摊位，75个乙类摊位最省钱
【分析】（1）设每个甲类摊位占地x平方米，每个乙类摊位占地y平方米，根据“1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设建造m个甲类摊位，则建造个乙类摊位，根据建造乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
（3）根据建造甲、乙两类摊位所占面积不超过454平方米，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合（2）的结论及m为正整数，可得出共有3个建造方案，再求出各方案所需建造费用，比较后可得出结论．
【详解】（1）设每个甲类摊位占地x平方米，每个乙类摊位占地y平方米，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米．
（2）设建造m个甲类摊位，则建造个乙类摊位，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为25．
答：甲类摊位至少建25个．
（3）根据题意得：，
解得：，
∴．
又∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造25个甲类摊位，75个乙类摊位，所需建造费用为（元）；
方案2：建造26个甲类摊位，74个乙类摊位，所需建造费用为（元）；
方案3：建造27个甲类摊位，73个乙类摊位，所需建造费用为（万元）．
∵．
∴建造25个甲类摊位，75个乙类摊位最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可得出结果．
【详解】解：在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有：①②⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查不等式的判断．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键．
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成D．x与2的和是非负数，可表示成
【答案】C
【分析】根据各选项的表述列出不等式，逐一判断，即可解答．
【详解】解：a不是负数，可表示成，故A错误；
x不大于3，可表示成，故B错误；
与4的差是负数，可表示成，故C正确；
x与2的和是非负数，可表示成，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，注意“”，“”的运用是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）若，下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质通过举反例进行分析判断．
【详解】解：A．由，当时，，故此选项不符合题意；
B．由，当时，式子没有意义，故此选项不符合题意；
C．由，，可得，故此选项符合题意；
D．由，，所以，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．
【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；
②，属于一元一次不等式，符合题意；
③，属于一元一次不等式，符合题意；
④，属于一元二次不等式，不合题意；
⑤属于方程，不合题意；
⑥，属于一元一次不等式，符合题意．
综上所述，一元一次不等式有3个．
故本题选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】解不等式可得，结合题意“实数3是不等式的一个解”，可得，解该不等式即可获得答案．
【详解】解：由不等式，得，
∵实数3是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴可取的最大整数为．
故本题选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式是解题关键．
6．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握一元一次不等式的未知数的次数等于且系数不等于是解题的关键．
二、填空题
7．（2023春·七年级单元测试）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵a＜b，
∴-3a＞-3b，
∴-3a-2＞-3b-2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式两边加上同一个数，不等式的方向不变；即可得答案．
8．（2023春·上海·六年级专题练习）不等式的正整数解是______．
【答案】1、2、3、4
【分析】按照解不等式的基本步骤求解求得解集，再确定满足的整数解即可．
【详解】解：，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1得．
则不等式的正整数解是1、2、3、4．
故答案为：1、2、3、4．
【点睛】本题考查了解不等式及其整数解，熟练掌握解法是解题的关键．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）用不等式表示“a的3倍与4的差小于5”为 ______．
【答案】
【分析】首先表示“a的3倍”为，再表示“与4的差”为，最后再表示“小于5”为．
【详解】解：∵“a的3倍”为，“与4的差”为，
∴用不等式表示“a的3倍与4的差小于5”为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
10．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是______．
【答案】/
【分析】根据不等式的性质可得，解不等式即得答案．
【详解】解：由题意得：，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题型，熟练掌握不等式的性质是解题的关键
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据已知不等式的解集，即可确定a，b之间得关系以及b的符号，从而解不等式．
【详解】解：∵的解集是，
∴，，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的解法，正确确定b的符号是解题的关键．
12．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
【答案】8
【分析】设打折，根据每台利润不少于2元，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折，由题意，得：
，
解得：；
∴最多打折出售；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．正确的列出不等式，是解题的关键．
三、解答题
13．（2023·陕西渭南·统考一模）求不等式的正整数解．
【答案】正整数解是
【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可得到解答．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
∴原不等式的正整数解是．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式的步骤，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
14．（2023春·全国·八年级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可；
（2）去分母，去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
在数轴上表示为：
（2）解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了不等式的解法，解题过程中要注意移项，去括号时的符号变化，去分母时要注意不要漏乘没有分母的项．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见详解
(2)，数轴见详解
【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
（2）先去分母、去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示一元一次不等式的解集，解答此题时要熟知解一元一次不等式的步骤，即：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）下面是小明解不等式的过程：
①去分母，得，
②移项、合并同类项，得，
③两边都除以，得．
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
(1)小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
(2)用正确的方法解这个不等式．
【答案】(1)①
(2)
【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；
（2）按照去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：小明的解题过程从第①步出现错误，误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2．
故答案为：①；
（2）正确解答为：，
去分母，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解不等式的方法和步骤是解题关键．
17．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．
【详解】（1）解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果该班级需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【答案】(1)该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元
(2)20支
【分析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，根据“购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该班级可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买（2m+8）支该品牌的自动铅笔，利用总价＝单价×数量，结合总价少于670元，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元．
（2）设该班级可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买支该品牌的自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为20．
答：该班级最多可购买20支该品牌的钢笔．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）5月份是空调销售和安装的高峰时期．某区域售后服务中心现有600台已售空调尚待安装，另外每天还有新销售的空调需要安装．设每天新销售的空调台数相同，每个空调安装小组每天安装空调的台数也相同．若同时安排3个装机小组，恰好60天可将空调安装完毕；若同时安排5个装机小组，恰好20天就能将空调安装完毕．
(1)求每天新销售的空调数和每个空调安装小组每天安装空调的台数；
(2)如果要在5天内将空调安装完毕，那么该区域售后服务中心至少需要安排几个空调安装小组同时进行安装？
【答案】(1)每天新销售空调为20，每个装机小组每天的装机量为10台；
(2)至少需要安排14个空调安装小组同时进行安装才能在5天内装完．
【分析】（1）根据题中已知条件，列出二元一次方程组，直接解方程组即可；
（2）根据题意设至少需要安排a个空调安装小组同时进行安装，列出不等式解答即可得出答案．
【详解】（1）解：设每天新销售的空调数为x，每个装机小组每天的装机量为y；
由题意可知，
解得：，
所以，每天新销售空调为20，每个装机小组每天的装机量为10台；
（2）解：设需要安排a个空调安装小组同时进行安装，
由题意可知，
解得，
所以至少需要安排14个空调安装小组同时进行安装才能在5天内装完．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程和一元一次不等式的实际应用，解题关键是弄清题意，列出方程组和不等式，属于中档题．
20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
【答案】(1)生产甲型口罩12万只，乙型口罩8万只
(2)15万只
(3)当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠
【分析】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，根据甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，该公司三月份的利润为8.8万元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩万只，根据四月份投入成本不超过20万元，列出不等式，解不等式即可；
（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为（元），选择方案二所需费用为元，然后分三种情况分别求出a的取值范围或a的值即可．
【详解】（1）解：设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，
依题意得：，
解得：，
答：生产甲型口罩12万只，乙型口罩8万只．
（2）解：设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：．
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩15万只；
（3）解：设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为（元），选择方案二所需费用为元；
当时，；
当时，；
当时，．
答：当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系或不等关系，列出方程或不等式．
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21876" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21876 \h 1
\l "_Tc28532" 【考点一 不等式的定义】 PAGEREF _Tc28532 \h 1
\l "_Tc18603" 【考点二 不等式的性质】 PAGEREF _Tc18603 \h 2
\l "_Tc21453" 【考点三 一元一次不等式的定义】 PAGEREF _Tc21453 \h 4
\l "_Tc2245" 【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 PAGEREF _Tc2245 \h 6
\l "_Tc22202" 【考点五 求一元一次不等式的整数解】 PAGEREF _Tc22202 \h 8
\l "_Tc5742" 【考点六 列一元一次不等式】 PAGEREF _Tc5742 \h 9
\l "_Tc18948" 【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18948 \h 11
\l "_Tc18657" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18657 \h 14
【典型例题】
【考点一 不等式的定义】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点二 不等式的性质】
例题：（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练】
1．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【考点三 一元一次不等式的定义】
例题：（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为______．
【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
2．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并把的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【考点五 求一元一次不等式的整数解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）不等式的最大整数解是______．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）满足不等式的最小的整数是__．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式的正整数解是______．
【考点六 列一元一次不等式】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）用不等式表示“m的3倍与n的一半的差不大于6”：_________．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
2．（2023·山西临汾·统考一模）根据年8月日太原市市政府公布的《太原市推进城市空间立体绿化实施方案》，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共株.已知A种苗木的数量不小于B种苗木的数量的一半，若设A种苗木有株，则可列不等式：______.
【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）某社区拟建甲、乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米．
(1)求每个甲、乙类摊位占地各为多少平方米？
(2)该社区拟建甲、乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？
(3)在（2）的条件下，某社区最多用454平方米拟建甲、乙两类摊位，若建甲类摊位每个需要3000元，乙类摊位每个需要2200元，共有几种建造方案？哪种方案最省钱？
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成D．x与2的和是非负数，可表示成
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）若，下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A．B．2C．D．3
6．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
二、填空题
7．（2023春·七年级单元测试）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．
8．（2023春·上海·六年级专题练习）不等式的正整数解是______．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）用不等式表示“a的3倍与4的差小于5”为 ______．
10．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是______．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
12．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
三、解答题
13．（2023·陕西渭南·统考一模）求不等式的正整数解．
14．（2023春·全国·八年级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)； (2)．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）下面是小明解不等式的过程：
①去分母，得，
②移项、合并同类项，得，
③两边都除以，得．
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
(1)小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
(2)用正确的方法解这个不等式．
17．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果该班级需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）5月份是空调销售和安装的高峰时期．某区域售后服务中心现有600台已售空调尚待安装，另外每天还有新销售的空调需要安装．设每天新销售的空调台数相同，每个空调安装小组每天安装空调的台数也相同．若同时安排3个装机小组，恰好60天可将空调安装完毕；若同时安排5个装机小组，恰好20天就能将空调安装完毕．
(1)求每天新销售的空调数和每个空调安装小组每天安装空调的台数；
(2)如果要在5天内将空调安装完毕，那么该区域售后服务中心至少需要安排几个空调安装小组同时进行安装？
20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
专题14 不等式的定义、性质和一元一次不等式
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21876" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21876 \h 1
\l "_Tc28532" 【考点一 不等式的定义】 PAGEREF _Tc28532 \h 1
\l "_Tc18603" 【考点二 不等式的性质】 PAGEREF _Tc18603 \h 2
\l "_Tc21453" 【考点三 一元一次不等式的定义】 PAGEREF _Tc21453 \h 4
\l "_Tc2245" 【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 PAGEREF _Tc2245 \h 6
\l "_Tc22202" 【考点五 求一元一次不等式的整数解】 PAGEREF _Tc22202 \h 8
\l "_Tc5742" 【考点六 列一元一次不等式】 PAGEREF _Tc5742 \h 9
\l "_Tc18948" 【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18948 \h 11
\l "_Tc18657" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18657 \h 14
【典型例题】
【考点一 不等式的定义】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：不等式有：，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
【变式训练】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：①是不等式；②是不等式；③是不等式；④是整式；⑤是方程；⑥是不等式；
题中共有4个不等式，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键．
2．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“或“”或“”或“”或“”表示不相等关系的式子，叫做不等式．
【详解】解：①，属于不等式；
②，属于不等式；
③，属于不等式；
④属于代数式，不是不等式；
⑤属于方程，不是不等式；
⑥，属于不等式．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号：．
【考点二 不等式的性质】
例题：（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：A．在不等式的两边同时乘，得，原变形正确，故选项不符合题意；
B．当时，得；当时，得，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
C．在不等式的两边同时除以，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．在不等式的两边同时减去，得，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】A、∵，∴，故A选项不符合题意；
B、∵，当时，则；当 时，则不成立；故B选项符合题意；
C、∵，∴，故C选项不符合题意；
D、∵，，∴，故D选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项分析可得．
【详解】解：A、由，得，故A不符合题意；
B、由，得，故B不符合题意；
C、由，得，故C不符合题意；
D、由，得，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；2、等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3、等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
【考点三 一元一次不等式的定义】
例题：（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐个判断即可．
【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式；
②，是一元一次不等式；
③，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
∴一元一次不等式有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，不等式的左右两边只含有同一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进而判断得出即可．
【详解】解：A、，未知数的次数为2，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；
B、是分式，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；
D、，是一元一次不等式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，正确把握是一元一次不等式的要素是解题关键．
2．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】∵是关于x的一元一次不等式，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值和一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出的值，代入不等式，解之可得．
【详解】解：∵不等式是一元一次不等式，
∴，解得：，
则不等式为：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．
【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】根据去分母、去括号、移项及合并同类项，系数化为1解不等式，再将不等式的解集在数轴上表示即可．
【详解】解：，
，
，
．
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可；
（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得 ，
把不等式的解集在数轴上表示为：
；
（2）解：，
去分母，得 ，
去括号，得，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
把不等式的解集在数轴上表示为：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法和步骤是解题关键．
2．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并把的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）根据解不等式的解法步骤解得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可；
（2）根据解不等式的解法步骤解得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得，
∴不等式的解集为，
解集表示在数轴上如图所示：
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得
∴不等式的解集为，
解集表示在数轴上如图所示：
【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤并正确表示在数轴上是解答的关键，注意去分母时不要漏乘．
【考点五 求一元一次不等式的整数解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）不等式的最大整数解是______．
【答案】
【分析】先求出不等式的解集，再进行判断即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
∴不等式的最大整数解是；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）满足不等式的最小的整数是__．
【答案】
【分析】先按照移项，合并同类项，系数化为1得步骤求出不等式的解集，再求出满足不等式的最小整数解即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴满足不等式的最小的整数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式的正整数解是______．
【答案】1，2
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．
【详解】
去括号得，
移项得，，
故不等式的正整数解是1，2．
故答案为：1，2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
【考点六 列一元一次不等式】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）用不等式表示“m的3倍与n的一半的差不大于6”：_________．
【答案】
【分析】“m的3倍与n的一半的差”表示为“”，“不大于6”即“”，据此可得答案．
【详解】解：由题意知：“m的3倍与n的一半的差”表示为“”，“不大于6”即“”，
∴不等式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
【答案】
【分析】设该商品打x折销售，利用利润销售价格进价，结合该商品的利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式．
【详解】解：设该商品打x折，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
2．（2023·山西临汾·统考一模）根据年8月日太原市市政府公布的《太原市推进城市空间立体绿化实施方案》，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共株.已知A种苗木的数量不小于B种苗木的数量的一半，若设A种苗木有株，则可列不等式：______.
【答案】
【分析】先用含的式子表示B种苗木的数量的一半，然后列出不等式即可
【详解】解：由题意可知B种树苗为，
则有．
【点睛】本题考查了代数的列法，及不等式的列法，找到不等关系是求解的关键．
【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】
例题：（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
【答案】(1)甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元
(2)最多购入22件
【分析】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元列二元一次方程组，求解即可；
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品件，根据总进价不超过4650元列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，
根据题意得：，解得：．
答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元．
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，解得：，
∵a为正整数，所以甲商品最多购入22件．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为
(2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米
【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解；
（2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意得，解得，
答：甲车的速度为，乙车的速度为；
（2）解：设乙车提速后的速度为，
根据题意得，
解得，
答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）某社区拟建甲、乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米．
(1)求每个甲、乙类摊位占地各为多少平方米？
(2)该社区拟建甲、乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？
(3)在（2）的条件下，某社区最多用454平方米拟建甲、乙两类摊位，若建甲类摊位每个需要3000元，乙类摊位每个需要2200元，共有几种建造方案？哪种方案最省钱？
【答案】(1)每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米；
(2)25个
(3)3种，建造25个甲类摊位，75个乙类摊位最省钱
【分析】（1）设每个甲类摊位占地x平方米，每个乙类摊位占地y平方米，根据“1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设建造m个甲类摊位，则建造个乙类摊位，根据建造乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
（3）根据建造甲、乙两类摊位所占面积不超过454平方米，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合（2）的结论及m为正整数，可得出共有3个建造方案，再求出各方案所需建造费用，比较后可得出结论．
【详解】（1）设每个甲类摊位占地x平方米，每个乙类摊位占地y平方米，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米．
（2）设建造m个甲类摊位，则建造个乙类摊位，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为25．
答：甲类摊位至少建25个．
（3）根据题意得：，
解得：，
∴．
又∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造25个甲类摊位，75个乙类摊位，所需建造费用为（元）；
方案2：建造26个甲类摊位，74个乙类摊位，所需建造费用为（元）；
方案3：建造27个甲类摊位，73个乙类摊位，所需建造费用为（万元）．
∵．
∴建造25个甲类摊位，75个乙类摊位最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可得出结果．
【详解】解：在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有：①②⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查不等式的判断．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键．
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成D．x与2的和是非负数，可表示成
【答案】C
【分析】根据各选项的表述列出不等式，逐一判断，即可解答．
【详解】解：a不是负数，可表示成，故A错误；
x不大于3，可表示成，故B错误；
与4的差是负数，可表示成，故C正确；
x与2的和是非负数，可表示成，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，注意“”，“”的运用是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）若，下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质通过举反例进行分析判断．
【详解】解：A．由，当时，，故此选项不符合题意；
B．由，当时，式子没有意义，故此选项不符合题意；
C．由，，可得，故此选项符合题意；
D．由，，所以，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．
【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；
②，属于一元一次不等式，符合题意；
③，属于一元一次不等式，符合题意；
④，属于一元二次不等式，不合题意；
⑤属于方程，不合题意；
⑥，属于一元一次不等式，符合题意．
综上所述，一元一次不等式有3个．
故本题选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】解不等式可得，结合题意“实数3是不等式的一个解”，可得，解该不等式即可获得答案．
【详解】解：由不等式，得，
∵实数3是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴可取的最大整数为．
故本题选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式是解题关键．
6．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握一元一次不等式的未知数的次数等于且系数不等于是解题的关键．
二、填空题
7．（2023春·七年级单元测试）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵a＜b，
∴-3a＞-3b，
∴-3a-2＞-3b-2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式两边加上同一个数，不等式的方向不变；即可得答案．
8．（2023春·上海·六年级专题练习）不等式的正整数解是______．
【答案】1、2、3、4
【分析】按照解不等式的基本步骤求解求得解集，再确定满足的整数解即可．
【详解】解：，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1得．
则不等式的正整数解是1、2、3、4．
故答案为：1、2、3、4．
【点睛】本题考查了解不等式及其整数解，熟练掌握解法是解题的关键．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）用不等式表示“a的3倍与4的差小于5”为 ______．
【答案】
【分析】首先表示“a的3倍”为，再表示“与4的差”为，最后再表示“小于5”为．
【详解】解：∵“a的3倍”为，“与4的差”为，
∴用不等式表示“a的3倍与4的差小于5”为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
10．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是______．
【答案】/
【分析】根据不等式的性质可得，解不等式即得答案．
【详解】解：由题意得：，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题型，熟练掌握不等式的性质是解题的关键
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据已知不等式的解集，即可确定a，b之间得关系以及b的符号，从而解不等式．
【详解】解：∵的解集是，
∴，，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的解法，正确确定b的符号是解题的关键．
12．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
【答案】8
【分析】设打折，根据每台利润不少于2元，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：设打折，由题意，得：
，
解得：；
∴最多打折出售；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．正确的列出不等式，是解题的关键．
三、解答题
13．（2023·陕西渭南·统考一模）求不等式的正整数解．
【答案】正整数解是
【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可得到解答．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
∴原不等式的正整数解是．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式的步骤，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
14．（2023春·全国·八年级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可；
（2）去分母，去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
在数轴上表示为：
（2）解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了不等式的解法，解题过程中要注意移项，去括号时的符号变化，去分母时要注意不要漏乘没有分母的项．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见详解
(2)，数轴见详解
【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
（2）先去分母、去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示一元一次不等式的解集，解答此题时要熟知解一元一次不等式的步骤，即：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）下面是小明解不等式的过程：
①去分母，得，
②移项、合并同类项，得，
③两边都除以，得．
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
(1)小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
(2)用正确的方法解这个不等式．
【答案】(1)①
(2)
【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；
（2）按照去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：小明的解题过程从第①步出现错误，误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2．
故答案为：①；
（2）正确解答为：，
去分母，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解不等式的方法和步骤是解题关键．
17．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．
【详解】（1）解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果该班级需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【答案】(1)该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元
(2)20支
【分析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，根据“购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该班级可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买（2m+8）支该品牌的自动铅笔，利用总价＝单价×数量，结合总价少于670元，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】（1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：该品牌的钢笔每支的定价是25元，自动铅笔每支的定价是5元．
（2）设该班级可以购买m支该品牌的钢笔，则可以购买支该品牌的自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为20．
答：该班级最多可购买20支该品牌的钢笔．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）5月份是空调销售和安装的高峰时期．某区域售后服务中心现有600台已售空调尚待安装，另外每天还有新销售的空调需要安装．设每天新销售的空调台数相同，每个空调安装小组每天安装空调的台数也相同．若同时安排3个装机小组，恰好60天可将空调安装完毕；若同时安排5个装机小组，恰好20天就能将空调安装完毕．
(1)求每天新销售的空调数和每个空调安装小组每天安装空调的台数；
(2)如果要在5天内将空调安装完毕，那么该区域售后服务中心至少需要安排几个空调安装小组同时进行安装？
【答案】(1)每天新销售空调为20，每个装机小组每天的装机量为10台；
(2)至少需要安排14个空调安装小组同时进行安装才能在5天内装完．
【分析】（1）根据题中已知条件，列出二元一次方程组，直接解方程组即可；
（2）根据题意设至少需要安排a个空调安装小组同时进行安装，列出不等式解答即可得出答案．
【详解】（1）解：设每天新销售的空调数为x，每个装机小组每天的装机量为y；
由题意可知，
解得：，
所以，每天新销售空调为20，每个装机小组每天的装机量为10台；
（2）解：设需要安排a个空调安装小组同时进行安装，
由题意可知，
解得，
所以至少需要安排14个空调安装小组同时进行安装才能在5天内装完．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程和一元一次不等式的实际应用，解题关键是弄清题意，列出方程组和不等式，属于中档题．
20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
【答案】(1)生产甲型口罩12万只，乙型口罩8万只
(2)15万只
(3)当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠
【分析】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，根据甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，该公司三月份的利润为8.8万元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩万只，根据四月份投入成本不超过20万元，列出不等式，解不等式即可；
（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为（元），选择方案二所需费用为元，然后分三种情况分别求出a的取值范围或a的值即可．
【详解】（1）解：设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，
依题意得：，
解得：，
答：生产甲型口罩12万只，乙型口罩8万只．
（2）解：设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：．
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩15万只；
（3）解：设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为（元），选择方案二所需费用为元；
当时，；
当时，；
当时，．
答：当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系或不等关系，列出方程或不等式．
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
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