福建省福州第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省福州第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（完卷120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
2. 甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（ ）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 720种
3. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知今天是星期三，则天后是（ ）
A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期五
5. 展开式中的系数是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A. 事件A与相互独立B. 事件A与互斥事件
C. D.
8. 设，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C. 甲乙不相邻的排法种数为72种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种
10. 已知，函数有两个极值点，则（ ）
A. 可能为负值
B. 为定值
C. 若，则过点作曲线的切线，切线方程为或
D. 若存在，使得，则
11. 在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 的前项和为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
13. 4名同学打算参加学校组织的“文学社”、“街舞社”、“模联社”三个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则不同的参加方法数为______．
14. 已知实数、、、满足，则最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数处取得极大值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
16. 现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
17. 已知函数．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
18. 某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
（1）若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
（2）若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，
（i）求丙取出的第一道题是选择题的概率；
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率．
19. 设函数
（1）若函数与的图象存在公切线，求的取值范围；
（2）若方程有两个不同的实根，求证：．
福州一中2023-2024学年第二学期第三学段模块考试
高二数学选择性必修三模块试卷
（完卷120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：A.
2. 甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（ ）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 720种
【答案】B
【解析】
【分析】利用相邻问题捆绑法计算即可.
【详解】由题意可知不同的坐法有.
故选：B
3. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性可排除B，利用函数值正负可排除A，再根据单调性排除D，得解.
【详解】令，，
因为，所以是奇函数，排除B，
又当时，恒成立，排除A，
当时，，
，
，，函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，故D不正确.
故选：C.
4. 已知今天是星期三，则天后是（ ）
A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期五
【答案】A
【解析】
【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.
【详解】
．
即除以7的余数为5，所以天后是星期一.
故选：A.
5. 的展开式中的系数是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
故的展开式中的系数为：
，即.
故选：D.
6. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答.
【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，

方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，
由，得：，即，
而，，则，
于是得，
记，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又函数在定义域上单调递减，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可.
7. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A. 事件A与相互独立B. 事件A与为互斥事件
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式一一判定选项即可.
【详解】由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种，
铅球区域可能安排2人或1人，所以，
同理，，
而，，
由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立，
故A错误；
显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误；
由条件概率公式知，故C错误；
，故D正确.
故选：D
8. 设，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造，利用导数研究其单调性判定大小即可.
【详解】设，则，
易知，且，
所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，
即，在时取得等号，
且，在时取得等号，则，在时取得等号，
所以，即.
故选：D
【点睛】思路点睛：比大小问题通常利用常用的切线放缩，通过构造函数利用导数研究其单调性计算即可.常用的函数切线放缩有，要注意取等条件.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C. 甲乙不相邻的排法种数为72种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，使用捆绑法进行求解；B选项，分两种情况，最左端排甲和最左端排乙，分别求出两种情况下排法，相加即可；C选项，采用插空法进行求解；D选项，定序问题采用倍缩法进行求解.
【详解】A选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有种，A正确；
B选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有种，
若最左端排乙，则最右端只能从丙，丁，戊选出1人，其余三人与三个位置进行全排列，故有种选择，
综上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，B正确；
C选项，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，C正确；
D选项，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，D错误.
故选：ABC
10. 已知，函数有两个极值点，则（ ）
A. 可能为负值
B. 为定值
C. 若，则过点作曲线的切线，切线方程为或
D. 若存在，使得，则
【答案】BD
【解析】
【分析】求出函数导函数，即可判断A，从而得到，即可得到函数的单调性，求出极值点，再代入计算，即可判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程，求出即可得到切线方程，从而判断C，对于D，将问题转化为有解，结合计算可得.
【详解】因为，则，
对于A：当时，恒成立，所以单调递减，故没有极值，故A错误；
对于B：当时，由解得，，
所以在区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，
所以
为定值，故B正确.
对于C：若，，，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，则，
整理得，
令，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以方程的解为或，
所以切线方程为或，
所以函数过点的切线方程为或，故C错误；
对于D：若存在，使得，
即，
即，
即，
即，即，
由于，所以必存在，
对于，则有，
即，解得，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是求出极值点，再代入计算，C选项过点的切线方程，需要设出切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，再根据切线过点，求出切点横坐标，即可求出切线方程，D选项关键是转化为不等式有解问题.
11. 在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 的前项和为
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可．
【详解】解：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，
，所以为一个等比数列，，所以，故A错误；
，的前项和为
，故B正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，，构成一个等差数列，
项数之和为，则的最大整数为10，
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
取的就是第12行中的第三项，，故C正确；
，这11行中共去掉了22个1，
，故D正确，
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用组合数性质与公式计算即可.
【详解】因为，由组合数性质可知，所以.
故答案为：.
13. 4名同学打算参加学校组织的“文学社”、“街舞社”、“模联社”三个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则不同的参加方法数为______．
【答案】
【解析】
【分析】将4名同学分三组全排列可计算得出结果.
【详解】因为4名同学参加3三个社团，每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，
（1）先将4名同学分为3组，再将分好的3组全排列，共有种安排方法.
（2）先将4名同学分为2组，再将分好的2组某两个社团中，共有，
故共有种
故答案为：
14. 已知实数、、、满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方，只需求出上和直线平行的切线方程，结合导数的几何意义求出切点坐标，求出切点到直线的距离，即可得解.
【详解】因为实数、、、满足，所以，，，
所以，点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．
考查曲线上和直线平行的切线，
对函数求导得，
令，解得，所以，切点为，
该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，
故的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极大值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可；
（2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值.
【小问1详解】
由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
【小问2详解】
由（1）得，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，且.
因为,所以.
16. 现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用组合知识结合古典概型计算概率即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知总情况有种，
而翻开的四个半张扑克恰有2张相同的可能情况有，
所以这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率为；
【小问2详解】
由题意可知的可能取值有，
则，
，
所以的分布列为：
则.
17. 已知函数．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；
（2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.
【小问1详解】
由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
18. 某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
（1）若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
（2）若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，
（i）求丙取出的第一道题是选择题的概率；
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率．
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可；
（2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2，
则，，，.
由全概率公式得第2题抽到论述题的概率.
【小问2详解】
设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”，
事件为“乙从A信封中取出2个选择题”，
事件“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”，
事件为“乙从A信封中取出2个论述题”，
则，，两两互斥且，
则，，，
，，，
（i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为，
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为.
19. 设函数
（1）若函数与的图象存在公切线，求的取值范围；
（2）若方程有两个不同的实根，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，分类讨论切点是否为公共点，结合构造函数法求其单调性与最值计算可得的取值范围；
（2）先构造函数，利用其导函数及零点个数判定，再二次函数根的分布结合隐零点确定，利用比值换元，消元转化得，构造函数判定，由适当放缩即可证明结论.
【小问1详解】
易知，
①若切点为两函数公共点，不妨设为，即，
易知切点为，此时，
②若切点不为两函数公共点，
由题意不妨设函数与上的切点分别为
，且，
即，
显然，化简上式得，
令，
显然时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
综上所述均符合题意，故的取值范围为
【小问2详解】
由题意可知有两个零点，即有两个零点，
令，
显然时，，即定义域上单调递减，不会存在两个零点，
则，由二次函数根的分布知只有一个使得，
此时，
即上单调递减，上单调递增，
要满足题意需，
又定义域上单调递减，
而时，，所以，
不妨设，所以，
则有，两式分别作和差得，
即，
整理得，
令，即单调递增，
所以，则，
即.
【点睛】方法点睛：对于双变量问题，常构造差函数或者利用比值换元，利用消元转化的思想将多元化为单变量，本题适当利用放缩，可极大的简化计算量.
0
1
2
4
P