福建省泉州科技中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ， ，，且 三点共线，则 ( )
A. －2B. 5C. 10D. 12
2. 三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. 1B. C. 3D. 4
4. 已知椭圆焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A. 3B. 9C. D.
5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为.
A. B. C. D.
6. 的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（ ）
A. 边与直线平行
B. 边上的高所在的直线的方程为
C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D. 过点且平分面积的直线与边相交于点
7. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为2
C. 若平面，的法向量分别为，，则
D. 若存在实数使则点共面
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有4个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有一条公切线，则
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
11. 椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A 2B. 8C. 10D. 12
12. 已知图1中，是正方形各边中点，分别沿着把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A. 是正三角形
B. 平面平面
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 当时，多面体体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 过点斜率为的直线在轴上的截距为______．
14. 已知直线，直线，若，则实数的值为______．
15. 在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______．
16. 已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______.
四．解答题（第17题10分，18－22各12分，合计60分）
17. 已知曲线方程，．
（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（2）若方程表示焦距为2的椭圆，求的值．
18. 已知圆：和圆相交于两点.
（1）求公共弦垂直平分线方程.
（2）求的面积.
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）求直线BC的方程；
（2）记的外接圆为圆M，若直线OC被圆M截得的弦长为4，求点C的坐标．
20. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：
（1）BD1的长；
（2）直线BD1与AC所成角的余弦值.
21. 如图所示，在四棱锥中，，，，且
（1）求证：平面平面；
（2）已知点是线段上的动点（不与点､重合），若使二面角的大小为，试确定点的位置.
22. 已知椭圆经过点，左焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值.