[数学][期中]福建省三明市五校2023-2024学年高一上学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学][期中]福建省三明市五校2023-2024学年高一上学期期中联考试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合或，，则集合中元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由集合或，可得，
又由，可得，所以集合中元素的个数为.
故选：B.
2. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，，
由是的充分不必要条件，得集合真包含于集合，
所以，即.
故选：A.
3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题，
则方程有实数根，即．
故选：A．
4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由函数（其中）的图象可得，
所以，所以排除BC，
因为，所以为增函数，所以排除A.
故选：D.
5. 下列大小关系正确的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③
【答案】C
【解析】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误；
对②，因为指数函数单调递减，所以，
又因为幂函数在单调递增，所以，
所以，②正确；
对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确；
对④，因为幂函数在单调递减，所以，
即，④错误.
故选：C.
6. 已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
设，，
，则是上的奇函数，
最大值为，最小值为，则有，
所以.
故选：B.
7. 已知函数是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知在单调递减，所以
由在单调递减，得即
由在上单调递减，得即
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
8. 已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令函数，显然函数上单调递增，
而，则当时，，当时，，
于是函数，则，
令函数，由，得，
因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，
当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当，即时，
直线与函数的图象只有一个交点，
如图，直线过点，它与的图象交于两点，
当时，，
当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以函数有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
故正确,错误；
又故正确.
故选：ABD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知函数的单调递增区间是
B. 已知，则
C. 若，则
D. 是的充要条件
【答案】BC
【解析】对于A，函数在上单调递减，
函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，A错误；
对于B，，
因此，B正确；
对于C，由，得，C正确；
对于D，取，显然满足，而不成立，D错误.
故选：BC.
11. 设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数B. 的最大值是，最小值是
C. 直线是函数的一条对称轴D. 当时，
【答案】ACD
【解析】因为是上的奇函数，所以，又因为，
所以的图像关于直线对称，故C正确；
因为即，从而，
所以，所以，所以是周期为4的周期函数，
又因为当时，单调递增，所以在上也单调递增，
从而在上单调递增，又因为的周期为4，所以在上单调递增，
故A正确；
因为在上单调递增，且的图像关于直线对称，
所以在上单调递减，所以在上的最大值为，
最小值，故B错误；
当时，，所以，因为周期为4，
所以，
又因为为奇函数，所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知，且，则（ ）
A. 的最小值是B. 的最小值是
C. 的最小值是D. 的最小值是
【答案】BC
【解析】已知，且，
则，所以，当且仅当时，等号成立，A选项错误；
，当且仅当时，
等号成立，B选项正确；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，C选项正确；
由题意可得，此时，
因为，而不存在使得，则D选项错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是_____________．
【答案】
【解析】在函数中，，解得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
14. 函数在时的值域是______________．
【答案】
【解析】当时，，函数，
显然当，即时，，当，即时，，
所以所求值域是.
故答案为：.
15. 已知函数为上的偶函数，当时，，则的解集为_________．
【答案】
【解析】函数为上的偶函数，当时，，
当时，，，
①当，即时，，由，
时，符合题意；
时，有，解得，此时；
时，有，解得，此时；
所以符合题意.
②当，即时，，
由，，得，解得，
所以.
综上所得，的解集为.
故答案为：.
16. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当时，，在上单调递增，无最小值，舍去；
当时，由于，故，
令，则，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
要想在上存在最小值，则，解得，满足；
当时，在上单调递增，
令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
要想在上存在最小值，则，
解得，满足；
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求值：
（1）；
（2）．
解：（1）原式.
（2）原式.
18. 已知二次函数．
（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；
（2）若，，解关于的不等式．
解：（1）由不等式的解集是，
得和是一元二次方程的两个实数根，且，
于是，解得，，
所以，.
（2），不等式化为，即，
当，即时，解不等式，得或；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，解不等式，得或，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 已知偶函数定义域为，当时，．
（1）求出函数的解析式；
（2）判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明.
解：（1）偶函数定义域为，当时，，
当时，，则，
所以函数的解析式是.
（2）当时，，在上是增函数.
任取，则，
而，，且，则，
因此，所以在上是增函数.
20. 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在万到万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金单位：万元随着业绩值单位：万元的增加而增加，但不超过业绩值的．
（1）若某业务员的业绩为万，核定可得万元奖金，若公司用函数（为常数）作为奖励函数模型，则业绩万元的业务员可以得到多少奖励？
（2）若采用函数，求的范围．
（参考数值：）
解：（1）函数模型为常数，
当时，，代入解得，即，当时，
，
当时，，
所以业绩万元的业务员可以得到万元奖励．
（2）函数模型，
因为函数在单调递增，则，，
由奖金不超过业绩值的，得，
于是对恒成立，
令，显然二次函数的图象开口向上且，
函数图象的对称轴，则只需，
即，解得，因此，
所以实数的取值范围是.
21. 设为实数，函数，．
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现在（1）的条件下，函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．
解：（1）是偶函数，在上恒成立，
即，
即，得，，
.
（2）因为，所以函数是区间上的平均值函数，
所以存在，使，而，即存在，
使得，即关于的方程在内有解；
所以解得，或，
∴，
解得：.
22. 已知奇函数，且的图象过点.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）函数是奇函数，由，得，
由函数的图象过点，得，而，解得，
经检验符合题意，即，
函数在R上分别是增函数和减函数，
因此函数在R上是增函数，由，
得，
于是对一切恒成立，即对一切恒成立，
则对一切恒成立，而在上单调递增，即，
所以，即.
（2），设，
则，
由，，记，
则函数在上有最大值，
当，即时，，解得，矛盾，
当，即时，，解得，符合题意，
所以存在实数，使函数在上的最大值为.