2024年河南省开封市九年级中招第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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1.本试题卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间 100分钟.
2.试题卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效.
3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面指定的位置.
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1. 下列各数中，与相加等于0的数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案．
【详解】解：∵，
∴与相加等于0的数是．
故选：B．
2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 根据三视图的定义逐项分析即可．
【详解】A．左视图不符合题意，故不正确；
B．俯视图与左视图与题意不符，故不正确；
C．符合题意，正确；
D．俯视图不符合题意，故不正确．
故选C．
3. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
4. 将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角板中的角度计算，直角三角形的性质等知识，根据直角三角形互余及平角的定义即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
5. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项A符合，
故选：A
6. 如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有 （ ）
A. 1种B. 2种C. 4种D. 无数种
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质即可解答．
【详解】解：由正方形的对称性可知，只要将十字架交点放在正方形的中心，转动任意角度，都能将正方形分成面积相等的四部分，
则修路的方法有无数种，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解题关键在于理解正方形的性质．
7. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断．
【详解】解：根据题意，得，解得，
，
的值可以为，
故选：A．
8. 小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判断即可．
【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下：
从家到凉亭，用时10分钟，路程600米，s从0增加到600米，t从0到10分，对应图像为
在凉亭休息10分钟，t从10分到20分，s保持600米不变，对应图像为
从凉亭到公园，用时间10分钟，路程600米，t从20分到30分，s从600米增加到1200米，对应图像为
故选：A．
【点睛】本题考查了一次折线图像与实际结合的问题，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键．
9. 如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值．
【详解】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
阴影部分的面积等于圆的面积的，
∴，
解得：．
∵点是反比例与在第三象限的一个交点，．
∴且
∴，
∴，
则反比例函数的解析式是：．
故选D．
10. 如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，列函数关系是解题的关键．
先根据勾股定理求出的长，再设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y，根据题意表示出y与t的函数关系式，进一步利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：由题可知，是直角三角形，
∴，
设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y，
则，
∴，
则当时，y最小为．
故选：C．
二、填空题(每小题3 分，共15 分)
11. 北京冬季里某一天的气温为，的含义是 ________ .
【答案】零下
【解析】
【分析】本题考查了负数的定义，根据温度的定义，联系生活，想想我们看过的天气预报，从而想到含义．
【详解】解：含义是零下．
故答案为：零下．
12. 不等式组 的正整数解的和为 ________.
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用不等式性质解一元一次不等式是解题的关键．
先求出不等式组的解集，再确定正整数解，最后进行计算即可．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集为：
∴正整数解为1，2
即
故答案为：3．
13. 某校“综合与实践”小组为了解全校2400名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，绘制了如图所示的统计图：

调查内容为：您平均每周阅读课外书的时间大约是（以下四个选项只能单选，每项含最小值，不含最大值）_________
A．8小时及以上 B．6~8小时 C．4~6小时 D．0~4 小时
估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数为 _______________ 名
【答案】1152
【解析】
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，扇形统计图，用2400乘以样本中平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数占比即可得到答案．
【详解】解：名，
∴估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数为名
故答案为：．
14. 我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是______．
【答案】
【解析】
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据“九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设买甜果x个，买苦果y个，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
15. 如图所示，在中，，，是的中位线，是边上一点，，是线段上的一个动点，连接，相交于点．若是直角三角形，则的长是__________ ．
【答案】或
【解析】
【分析】由图可知，在中，的度数是一个定值，且不为直角．故当或时，是直角三角形．因此，本题需要按以下两种情况分别求解．当和当两种情况求解即可．
【详解】∵，
∴，，
当时，则．过点作，垂足为．如图
∵在中，，，，，
∴在中，，
∵是中位线，
∴，
∴在中，，
∵，，，
∴．
∵，，
∴在中，，
∵是的中位线，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴在中，．
当时，则．过点作，垂足为．如图
∵，，
∴在中，，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴在中，．
综上所述，的长是或．
故答案为：或．
【点睛】在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解．另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. 先化简，再求值∶ 其中．
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②，③ （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可；选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【小问1详解】
甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
【小问2详解】
选择甲同学的解法．
原式
；
或选择乙同学的解法
原式


当时，原式
17. 2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在 3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况．学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：
信息一：安全知识测试题共10道题目，每题10分；
信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：
信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：
（分）
信息四：
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；
（3）在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．
（4）学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从A．交通安全，B．食品安全，C．消防安全，D．网络与信息安全，E．心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择D和E的概率．
【答案】（1）75；80
（2）九年级的成绩更稳定，理由见解析
（3）乙同学的成绩在自己年级排名更靠前，理由见解析
（4）七年级选择D和E的概率为．
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法，以及方差的意义、众数和中位数等知识．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）根据中位数的意义求解即可；
（4）先画树状图，再由概率公式解题即可．
【小问1详解】
解：八年级成绩第20和21个数分别为:70和80，
则八年级成绩的中位数，
九年级成绩，80分出现了14次数，次数最多，九年级成绩的众数，
故答案为：75；80；
【小问2详解】
解：九年级1班的成绩更稳定，
九年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为，
九年级方差八年级的方差，
九年级的成绩更稳定；
【小问3详解】
解：九年级成绩的中位数为80，八年级成绩的中位数为75，而甲同学成绩小于该班成绩中位数，而乙同学成绩大于该班成绩中位数，
乙同学成绩在该班成绩的排名更靠前；
【小问4详解】
解：画树状图如下：
所有等可能的结果数有20种，其中七年级选择D和E的结果数有2个，
七年级选择D和E的概率为．
18. 如图，内接于，是的直径，D是的中点，连接．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的直线l与直线交于点E，与的延长线交于点F．
①判断直线与的位置关系，并说明理由．
②若，则的长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）①直线与相切，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据垂线的作图方法画图即可；
（2）①连接交于点G，证明四边形是矩形得，可证直线与相切；
②证明，结合可求出，，从而，利用锐角三角函数求出，可得半径，然后根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
如图，直线l即为所求，
【小问2详解】
①如图，连接交于点G，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵是的半径，
∴直线与相切；
②∵D是的中点，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的长为∶．
【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定与性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，以及弧长公式，正确作出辅助线是解答本题的关键．
19. 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表中的一组数据．
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和 （，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该解析式并写出漏记的a值；
（2）应用：
①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？
②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数．
【答案】（1）
（2）①的量筒没有装满；②81天
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据表格中的数据特点分析即可；
（2）把代入求出y的值，与比较即可；
②求出30天的漏水量，进而可判断可供一位成年人饮用天数．
【小问1详解】
∵，
∴表中的数据不符合．
观察表格， 可发现时间t每增加5分钟， 水量y增加15mL， 故可得 能正确反映水量y与时间t的函数关系．
把和代入得，
解得 ，
∴水量y与时间t函数关系．
把代入得
【小问2详解】
①把代入得
∵
∴的量筒没有装满
②∵由函数解析式可知每分钟的滴水量为，
∴30天滴水量， (天)
答：这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一位成年人饮用81天．
20. 如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长，支撑板长，，托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到，参考数据：）
（1）若，点A到底座的距离是 ；
（2）为了观看舒适，在（1）中的调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为 ，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？
【答案】（1）
（2）30，此时点到底座的距离与（1）中相比减小了．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点C作， 垂足为N， 过点A作，交的延长线于点M，过点C作， 垂足为F，则四边形是矩形，从而可得，先在中， 求出的长， 再在中，求出，然后进行计算即可解答；
（2）根据题意先画出图形， 然后在中，利用锐角三角函数求出，然后进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图：
则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
∴点到直线的距离为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图：过点作于点，
∵，
在中，
∴旋转的角度为
在，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴此时点到底座的距离与（1）中相比减小了．
21. 习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元．
（1）求甲、乙两种书的单价．
（2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）甲、乙两种书的单价分别为元、元
（2）该校最多购买本甲种书
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程及不等式的应用，读懂题意，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键．
设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元求解即可；
设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，根据购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，由题意得
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
∴
答：甲、乙两种书的单价分别为元、元．
【小问2详解】
解：设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，
则，解得∶
∴该校最多购买本甲种书．
22. 根据以下素材，探索并完成任务．
问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．
任务一：求 y 关于t函数解析式．
任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．
【答案】任务一 ：；任务二：该车在不变道的情况下不会撞到障碍物．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；
（2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题．
【详解】解∶任务一 ：将、代入
得
解得
∴y 关于 t 的函数解析式为
任务二：不会

∴当时， 汽车停下， 行驶了，
∵
∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物．
23. 综合与实践
问题情境：
“综合与实践”课上，李老师进行如下操作，将图①中的矩形纸片沿着对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图②所示的方式摆放，其中点B与点G重合（标记为点B），并将绕点B旋转，直线、相交于点F．
初探发现：
（1）如图②，猜想，数量关系是 ．
深入探究：
（2）李老师将图②中的绕点B继续旋转．
①“善思”小组提出猜想：旋转过程中，当点E落在的内部，如图③，线段，，有一定的数量关系，请你写出他们的猜想，并说明理由．
②“智慧”小组也提出：在旋转的过程中，当时，过点A做于点H，若给出，，可以求出的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②或3
【解析】
分析】（1）通过来证明即可求解．
（2）①主要利用推出，进行等量变换即可．
②Ⅰ．当在上方时，设与交点为M，过点M作交于点N，通过推出，进而得到，利用勾股定理和即可求出,的值，再通过即可求解．Ⅱ．当在下方时，通过，，证明四边形是矩形即可求出．
小问1详解】
解：连接，
∵
∴，
∴
∴
∴
故答案为：．
【小问2详解】
①由（1）可知
∵
∴
∴
∴
∴
②Ⅰ．当在上方时，设与交点为M，过点M作交于点N
∵
∴，，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理可得
∴
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴
Ⅱ．当在下方时，如图：
∵
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴四边形是矩形
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、三角函数的应用、矩形的性质和判定，适当添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．解：原式
……
解：原式
……
乙同学
统计量
平均数
中位数
众数
方差
九年级
82.5
80
n
八年级
80.5
m
70
时间
5
10
15
20
25
…
水量
17
32
47
a
77
…
探究汽车刹车性能
“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．
素材1
刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间．
刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．
素材2
汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：
刹车后汽车行驶时间
1
2
3
4
刹车后汽车行驶距离
27
48
63
72
素材3
该兴趣小组成员发现：
①刹车后汽车行驶距离y（单位：）与行驶时间t（单位：）之间具有函数关系（、a、b 为常数）；
②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．