2024年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是【 】
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱D. 三棱锥
【答案】A
【解析】
【详解】由三视图判断几何体．
【分析】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．
故选A．
2. 据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，，，若，则大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题平行线的性质，垂直的定义．根据平行线的性质得，再根据垂直定义得，即可由求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
4. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断、，根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断、，即可求解，
【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意，
∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意，
故选：C．
5. 每一个外角都是的正多边形是（ ）
A. 正四边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正九边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数．
【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数是，
故选：D．
6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
7. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“龘”“龙”“行”分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，
∴抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：A．
8. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出．
【详解】解：①∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故①正确，符合题意；
②∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
10. 分解因式__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 方程的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解法．根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：去分母，得
解得
检验：经检验是原分式方程的解．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值．
【详解】解：函数的图象经过点和，
，，
，，
．
故答案：0．
13. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
【详解】解：连接，

四边形是矩形，
，
，分别为，的中点，
是是中位线，
，
，
故答案为：．
14. 某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵．
【答案】940
【解析】
【分析】本题主要考查了根据样本所占百分比估计总体频数，用2000乘以样本中高度不低于的树苗的百分比，即可求出结果．
【详解】解：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：
（棵），
故答案为：940．
15. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则_________花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差_________元．
【答案】 ①. ② ②.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差元，列出方程即可求解．
【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，依题意有：，
则，
解得．
故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差元．
故答案为：②，．
第Ⅱ卷（共68分）
三、解答题（本题共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题5分，第25题6分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键．
先解不等式，得，再解不等式，得，由此可得原不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后把分母合并同类项得到，再根据已知条件可得，据此可得答案．
【详解】解：
，
，
．
原式．
20. 如图，在中，O为的中点，点E，F分別在上，经过点O，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若E为的中点，，．求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出，．结合线段中点，得出，得证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
（2）先得出，结合菱形性质，在中，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
．
，．
为的中点，
．
．
．
，
四边形为平行四边形．
，
四边形菱形．
【小问2详解】
解：为的中点，，
．
四边形为菱形，
．
．
在中，由勾股定理得．
为的中点，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．

【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可．
【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元．
厨房面积：，
卫生间面积：，
客厅面积：，
卧室面积：，
由题意可得，，
解得，
，．
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A．
（1）求该一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移：
（1）根据一次函数平移的性质可得，当时， ，则可求得点A的坐标；
（2）根据题意可得且，再根据，据此求解即可；
熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，
一次函数的解析式为，
当时，，解得：，
．
【小问2详解】
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值且大于，
且，
即：且，
，
且，
解得：．
23. 年月日北京市生态环境局召开了“年北京市空气质量”新闻发布会，通报了年北京市空气质量状况：北京年年均浓度为微克/立方米，最长连续优良天数为天，“北京蓝”已成为常态．下面对年北京市九个区月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息：
a．年月和月北京市九个区月均浓度折线图：
b． 年月和月北京市九个区月均浓度的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中，的值；
（2）年月北京市九个区月均浓度的方差为，年月北京市九个区月均浓度的方差为，则 （填“”，“”或“”）；
（3）年至年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，年空气优良达标天数为天，年比年增幅达到约，年达标天数约为 天．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的概念即可解答；
（2）根据方差的概念和意义即可解答；
（3）根据增幅（末期量基期量）基期量和已知条件，求解即可．
【小问1详解】
解：将九月份的数据从小到大排列为：26、26、26、29、30、31、31、33、34
根据中位数和众数的概念，
可以知道这组数据的第五个数为30，即中位数为，
这组数据26出现的次数最多，即众数为；
【小问2详解】
解：根据折线图可以看出，九月份的数据大约分布于26至34，十月份的数据大约分布于32至42，
可以发现九月份的数据比十月份的数据波动较小，更加稳定，
所以九月份数据的方差小于十月份数据的方差，
故答案为：．
【小问3详解】
解：根据已知条件可以列式为：（天
故答案为：．
【点睛】本题考查的是折线图、方差、中位数、众数、增幅等相关知识，解题的关键是掌握方差、中位数、众数等概念，从统计图中获得相关信息，并利用相关信息解答实际问题．
24. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则
， ①
， ②
由①式得，代入②式得
． ③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；
②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）．
【答案】①大；②或
【解析】
【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小，
②根据函数图象求解即可
【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小，
时，,时，
半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大
故答案为：大
②根据函数图象可知，当时，或
故答案为：或
【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
25. 如图，是的外接圆，的直径交于点E，点D为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）过点C作，交的延长线于点F，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.
（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到, 求得连接, 得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论.
【小问1详解】
证明：证明: ∵点为的中点，
∴
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
连接,
∵，
，
，
，
，
，是的直径，
，
．
26. 已知抛物线，若点，，在抛物线上．
（1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）；
（2）若当时，，则的值为______；
（3）若对于时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴；
（2）把代入，得，求解即可；
（3）分类讨论：当时，当时，当时，当时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
把代入，得
，解得：．
【小问3详解】
解：当时，∵，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵，，，
∴，即点P和点M在对称轴右侧，
∴，不符合题意；
当时，∵，
又∵，，，
∴，
∴点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近，
∴，不符合题意；
当时，∵，，，，
若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距离，
∴，
∵，
∴；
当时，∵，，，，
若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴，
∵，
∴，
综上，或．
【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键．
27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．

（1）根据题意补全图形，并证明：；
（2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析，证明见解析；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论；
（2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可．
【小问1详解】
补全的图形如图所示：

证明：∵，
∴，
由旋转的性质可知，即，
∴；
【小问2详解】
；
证明：如图，作于点M，与直线交于点N，

∴，
由旋转的性质可知，
由（1）可知，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦 (，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”．

（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ；
② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值；
（2）已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长．
【答案】（1）①；② 1或3
（2）m的最大值为，；m的最小值为，．
【解析】
【分析】（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断直线，的最长的弦即直径为4，可排除，，所以成为的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论；
（2）画与关于直线：对称，以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，画出图形即可求出m的最大值和最小值，通过勾股定理即可求出．
【小问1详解】
解：①如图所示：

∴以直线：为轴的的“关联线段”是 ；
② ∵直线：与x轴夹角为，
∴线段直线，
∴线段关于直线的对称线段还在直线上，不可能是的弦，
∵的最长的弦即直径为4，
，
∴线段的对称线段不可能是的弦；
∵线段直线，且，
∴线段的对称线段可以是的弦．
线段的对称线段，
且．
如图，平移线段使之成为的弦，有两种情况：

(ⅰ) ，的坐标分别为，，此时；
(ⅱ) ，的坐标分别为，，此时．
综上所述，或3．
【小问2详解】
解：画与关于直线：对称，
∵，
以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，
∵与关于直线对称，
则与至少有一个交点，如图所示，

此时m取得最小值；

此时m取得最大值；
把代入直线：得：，
∴点A的坐标为，
∵与至少有一个交点，
∴，
解得：，
∴m的最大值为，m的最小值为；
连接、、，过点C作，如图所示，

∵，的半径为2，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
连接、、，过点C作如图所示，

∵，的半径为2，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了圆的几何问题，难度较大，正确理解新定义和考虑到以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，是关键．月均浓度
平均数
中位数
众数
月
月
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…