【二轮复习】2024年中考数学 题型3 方程应用 类型3 二次方程32题（专题训练）

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C．D．
【答案】B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
2.（2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可．
【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】
解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】
考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
5.（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
6.（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．
【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，∴故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．
7．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【详解】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．
8.（2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：
，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．
∴x的值为40%．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
10.（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14B．11C．10D．9
【答案】B
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
11．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．
【详解】
设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，
2018年我国快递业务量为：507亿件，
2019年我国快递业务量为：=亿件，
2020年我国快递业务量为：+，
根据题意，得：
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12.（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解．
【详解】
解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．
13.（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.
【详解】
设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：
故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.
14.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】
解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
15．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．
【答案】
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
16.（2022·浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
【答案】30%
【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，故答案为：30%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．
【答案】
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
18.（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
【答案】
【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
【详解】
解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
19．（2021·四川宜宾市·中考真题）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________．
【答案】
【分析】
根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解．
【详解】
解：根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值
列方程得：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键．
20．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【答案】8或9
【分析】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，
解得，
则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，
解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，
故答案为：8或9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
21．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
【答案】
【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设年买书资金的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：年买书资金的平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
22（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20% (2)18个
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
(2)设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
23．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
24.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，解得：，∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)解：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴，∴的值20；
(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
25.（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【答案】（1）10%；（2）13.31万
【分析】
（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可；
（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．
【详解】
（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
（2）（万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
【点睛】
本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．
26．（2021·山东东营市·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】（1）20%；（2）能
【分析】
（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．
【详解】
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，
∴他们的目标可以实现．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．
27.（2021·辽宁本溪市·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【分析】
（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】
（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得，，，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得
w=（-2x+220）（x-40）=，
当时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．
28.（2020·重庆中考真题）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．
【答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【解析】
【分析】
（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】
（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，
解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．
29．（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．
【分析】
（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，
解得，，
答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．
（2）根据题意得，，
解得，（舍去），，
答：a的值为8．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．
30.某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
31．（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值．
【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20
【分析】
（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程解出即可；
【详解】
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得．
则．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得
设a%=m，则原方程可化简为．
解这个方程，得（舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
32.随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【答案】
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】
（1）1.5×4=6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40