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【二轮复习】中考数学 题型11 综合探究题 类型3 与折叠有关的探究题(专题训练)
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猜想证明:
(1)如图2,试判断四边形的形状,并说明理由.
问题解决;
(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交于点M,N,的对应线段交于点K,求四边形的面积.
2.在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,若身旁没有量角器或三角尺,又需要作等大小的角,可以采用如下方法:
操作感知:
第一步:对折矩形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展开(如图13-1).
第二步:再一次折叠纸片,使点落在上,并使折痕经过点,得到折痕,同时得到线段(如图13-2).
猜想论证:
(1)若延长交于点,如图13-3所示,试判定的形状,并证明你的结论.
拓展探究:
(2)在图13-3中,若,当满足什么关系时,才能在矩形纸片中剪出符(1)中的等边三角形?
3.(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践
问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.
已知,点为上一动点,将以为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究:
独立思考:小明:“当点落在上时,.”
小红:“若点为中点,给出与的长,就可求出的长.”
实践探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:
问题1:在等腰中,由翻折得到.
(1)如图1,当点落在上时,求证:;
(2)如图2,若点为中点,,求的长.
问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形,可以将问题进一步拓展.
问题2:如图3,在等腰中,.若,则求的长.
4.(2021·山西中考真题)综合与实践,问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在中,,垂足为,为的中点,连接,,试猜想与的数量关系,并加以证明;
独立思考:(1)请解答老师提出的问题;
实践探究:(2)希望小组受此问题的启发,将沿着(为的中点)所在直线折叠,如图②,点的对应点为,连接并延长交于点,请判断与的数量关系,并加以证明;
问题解决:(3)智慧小组突发奇想,将沿过点的直线折叠,如图③,点A的对应点为,使于点,折痕交于点,连接,交于点.该小组提出一个问题:若此的面积为20,边长,,求图中阴影部分(四边形)的面积.请你思考此问题,直接写出结果.
5.(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】
折纸,操作简单,富有数学趣味,我们可以通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【动手操作】如图1,将矩形纸片对折,使与重合,展平纸片,得到折痕;折叠纸片,使点B落在上,并使折痕经过点A,得到折痕,点B,E的对应点分别为,,展平纸片,连接,,.
请完成:
(1)观察图1中,和,试猜想这三个角的大小关系;
(2)证明(1)中的猜想;
【类比操作】如图2,N为矩形纸片的边上的一点,连接,在上取一点P,折叠纸片,使B,P两点重合,展平纸片,得到折痕;折叠纸片,使点B,P分别落在,上,得到折痕l,点B,P的对应点分别为,,展平纸片,连接,.
请完成:
(3)证明是的一条三等分线.
6.(2022·重庆市A卷)如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,点D,E分别是边AB,AC上一动点,连接BE交直线CD于点F.
(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,求∠CFE的度数;
(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点,连接CN.在点D,E运动过程中,猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系,并证明你的猜想;
(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP,点H是AP的中点,点K是线段PF上一点,将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK,连接PQ.在点D,E运动过程中,当线段PF取得最小值,且QK⊥PF时,请直接写出PQBC的值.
7.(2022·广东省深圳市)(1)发现:如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交CD边于G点.求证:△BFG≌△BCG;
(2)探究:如图②,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交BC边于G点,延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长.
(3)拓展:如图③,在菱形ABCD中,AB=6,E为CD边上的三等分点,∠D=60°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE,直线EF交BC于点P,求PC的长.
8.(2021·湖北省荆州市)在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,F是对角线AC上不与点A,C重合的一点,过F作FE⊥AD于E,将△AEF沿EF翻折得到△GEF,点G在射线AD上,连接CG.
(1)如图1,若点A的对称点G落在AD上,∠FGC=90°,延长GF交AB于H,连接CH.
①求证:△CDG∽△GAH;
②求tan∠GHC.
(2)如图2,若点A的对称点G落在AD延长线上,∠GCF=90°,判断△GCF与△AEF是否全等,并说明理由.
9.(2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处.
(1)如图1,若BC=2BA,求∠CBE的度数;
(2)如图2,当AB=5,且AF⋅FD=10时,求BC的长;
(3)如图3,延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,求ABBC的值.
10.在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F.
(1)求证:△ABF∽△FCE;
(2)若AB=23,AD=4,求EC的长;
(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ的值.
11.已知:在矩形中,,,是边上的一个动点,将矩形折叠,使点与点重合,点落在点处,折痕为.
(1)如图1,当点与点重合时,则线段_______________,_____________;
(2)如图2,当点与点,均不重合时,取的中点,连接并延长与的延长线交于点,连接,,.
①求证:四边形是平行四边形:
②当时,求四边形的面积.
12.(2021·湖南中考真题)如图,在中,点为斜边上一动点,将沿直线折叠,使得点的对应点为,连接,,,.
(1)如图①,若,证明:.
(2)如图②,若,,求的值.
(3)如图③,若,是否存在点,使得.若存在,求此时的值;若不存在,请说明理由.
13.(2021·浙江中考真题)(推理)
如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一动点,将正方形沿着BE折叠,点C落在点F处,连结BE,CF,延长CF交AD于点G.
(1)求证:.
(运用)
(2)如图2,在(推理)条件下,延长BF交AD于点H.若,,求线段DE的长.
(拓展)
(3)将正方形改成矩形,同样沿着BE折叠,连结CF,延长CF,BF交直线AD于G,两点,若,,求的值(用含k的代数式表示).
14.(2021·湖北中考真题)在矩形中,,,是对角线上不与点,重合的一点,过作于,将沿翻折得到,点在射线上,连接.
(1)如图1,若点的对称点落在上,,延长交于,连接.
①求证:;
②求.
(2)如图2,若点的对称点落在延长线上,,判断与是否全等,并说明理由.
15.如图,在△ABC中,AB=42,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
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