2024年高考数学第一轮复习讲义第六章6.2　等差数列(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第六章6.2　等差数列(学生版+解析)，共18页。


知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母______表示，定义表达式为________________________．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，且有A＝________.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝________________.
(2)前n项和公式：Sn＝__________________或Sn＝________________________.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋____________(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.( )
(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．( )
教材改编题
1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．12 B．8 C．20 D．16
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________.
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，aeq \\al(2,5)＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
听课记录：______________________________________________________________
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(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)( )
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
(2)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,an＋1)))是等差数列，且a1＝1，a3＝－eq \f(1,3)，那么a2 024＝________.
题型二 等差数列的判定与证明
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{eq \r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
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思维升华 判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
跟踪训练2 已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝beq \\al(2,n＋1)－beq \\al(2,n)，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)若aeq \\al(3,1)＋aeq \\al(3,2)＋aeq \\al(3,3)＋…＋aeq \\al(3,n)＝Seq \\al(2,n)，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．
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题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
例3 (1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且lg2(2a1·2a2·…·2a11)＝22，则S13等于( )
A．40 B．65 C．80 D．40＋lg25
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)相结合．
跟踪训练3 (1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足eq \f(a8,a5)＝－2，则下列结论一定成立的是( )
A.eq \f(a9,a4)＝－1 B.eq \f(a8,a3)＝－1
C.eq \f(a9,a3)＝－1 D.eq \f(a10,a4)＝－1
命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－3,4n－3)，则eq \f(a2,b3＋b13)＋eq \f(a14,b5＋b11)的值为( )
A.eq \f(29,45) B.eq \f(13,29) C.eq \f(9,19) D.eq \f(19,30)
听课记录：______________________________________________________________
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(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为( )
A．30 B．29
C．28 D．27
听课记录：________________________________________________________________
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思维升华 等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于( )
A．6 B．10 C．20 D．40
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，eq \f(S2 020,2 020)－eq \f(S2 014,2 014)＝6，则S2 023等于( )
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
§6.2 等差数列
考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.( × )
(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．( √ )
教材改编题
1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 设等差数列{an}的公差为d，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝19，,d＝－2.))
∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．12 B．8 C．20 D．16
答案 D
解析 等差数列{an}中，S4 ，S8 －S4 ，S12 －S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．
答案 30
解析 由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，aeq \\al(2,5)＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 D
解析 由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋eq \f(nn－1,2)＝0，解得a1＝－6，n＝13.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案 C
解析 设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，
则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq \f(27×26,2)×9＝3 402(块)．
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)( )
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
答案 B
解析 由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，
∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝315，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝855，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝135，,d＝－10，))
∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．
(2)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,an＋1)))是等差数列，且a1＝1，a3＝－eq \f(1,3)，那么a2 024＝________.
答案 －eq \f(1 011,1 012)
解析 设等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,an＋1)))的公差为d，因为a1＝1，a3＝－eq \f(1,3)，所以eq \f(2,a1＋1)＝1，eq \f(2,a3＋1)＝3.所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以eq \f(2,an＋1)＝1＋n－1＝n，所以an＝eq \f(2,n)－1.所以a2 024＝eq \f(2,2 024)－1＝－eq \f(2 022,2 024)＝－eq \f(1 011,1 012).
题型二 等差数列的判定与证明
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{eq \r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解 ①③⇒②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，
则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，
所以eq \r(Sn)＝neq \r(a1)，
所以eq \r(Sn＋1)－eq \r(Sn)＝(n＋1)eq \r(a1)－neq \r(a1)＝eq \r(a1)(常数)，所以数列{eq \r(Sn)}是等差数列．
①②⇒③.
已知{an}是等差数列，{eq \r(Sn)}是等差数列．
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(1,2)n2d＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
因为数列{eq \r(Sn)}是等差数列，所以数列{eq \r(Sn)}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－eq \f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③⇒①.
已知数列{eq \r(Sn)}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{eq \r(Sn)}的公差为d，d>0，
则eq \r(S2)－eq \r(S1)＝eq \r(4a1)－eq \r(a1)＝d，得a1＝d2，
所以eq \r(Sn)＝eq \r(S1)＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．
思维升华 判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
跟踪训练2 已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝beq \\al(2,n＋1)－beq \\al(2,n)，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)若aeq \\al(3,1)＋aeq \\al(3,2)＋aeq \\al(3,3)＋…＋aeq \\al(3,n)＝Seq \\al(2,n)，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由题意得beq \\al(2,n)＝anan＋1，
则cn＝beq \\al(2,n＋1)－beq \\al(2,n)＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，
∴{cn}是等差数列．
(2)解 当n＝1时，aeq \\al(3,1)＝aeq \\al(2,1)，∵a1>0，∴a1＝1.
aeq \\al(3,1)＋aeq \\al(3,2)＋aeq \\al(3,3)＋…＋aeq \\al(3,n)＝Seq \\al(2,n)，①
当n≥2时，aeq \\al(3,1)＋aeq \\al(3,2)＋aeq \\al(3,3)＋…＋aeq \\al(3,n－1)＝Seq \\al(2,n－1)，②
①－②得，aeq \\al(3,n)＝Seq \\al(2,n)－Seq \\al(2,n－1)＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an>0，∴aeq \\al(2,n)＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③
∵a1＝1也符合上式，∴当n≥2时，aeq \\al(2,n－1)＝2Sn－1－an－1，④
③－④得aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.
题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
例3 (1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且＝22，则S13等于( )
A．40 B．65 C．80 D．40＋lg25
答案 B
解析 a1＋a2＋…＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，则S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝eq \f(13a6＋a8,2)＝65.
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________．
答案 4 051
解析 令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
思维升华 等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)相结合．
跟踪训练3 (1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵S15＝30，∴eq \f(15,2)(a1＋a15)＝30，
∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.
∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足eq \f(a8,a5)＝－2，则下列结论一定成立的是( )
A.eq \f(a9,a4)＝－1 B.eq \f(a8,a3)＝－1
C.eq \f(a9,a3)＝－1 D.eq \f(a10,a4)＝－1
答案 C
解析 由eq \f(a8,a5)＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，
所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，
因为a5≠0，a6＝0，
所以a3≠0，eq \f(a9,a3)＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－3,4n－3)，则eq \f(a2,b3＋b13)＋eq \f(a14,b5＋b11)的值为( )
A.eq \f(29,45) B.eq \f(13,29) C.eq \f(9,19) D.eq \f(19,30)
答案 C
解析 由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴eq \f(a2,b3＋b13)＋eq \f(a14,b5＋b11)＝eq \f(a2＋a14,2b8)＝eq \f(a8,b8)＝eq \f(S15,T15)＝eq \f(2×15－3,4×15－3)＝eq \f(27,57)＝eq \f(9,19).
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为( )
A．30 B．29 C．28 D．27
答案 B
解析 奇数项共有(n＋1)项，其和为eq \f(a1＋a2n＋1,2)·(n＋1)＝eq \f(2an＋1,2)·(n＋1)＝290，
∴(n＋1)an＋1＝290.
偶数项共有n项，其和为eq \f(a2＋a2n,2)·n＝eq \f(2an＋1,2)·n＝nan＋1＝261，
∴an＋1＝290－261＝29.
思维升华 等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于( )
A．6 B．10 C．20 D．40
答案 C
解析 由S4＝20，S5＝30，得a5＝ S5 －S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，eq \f(S2 020,2 020)－eq \f(S2 014,2 014)＝6，则S2 023等于( )
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
答案 C
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，设公差为d′，
则eq \f(S2 020,2 020)－eq \f(S2 014,2 014)＝6d′＝6，∴d′＝1，
首项为eq \f(S1,1)＝－2 020，
∴eq \f(S2 023,2 023)＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
课时精练
1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2)))
答案 D
解析 an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得32．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S50－S47＝12，则S97等于( )
A．198 B．388 C．776 D．2 023
答案 B
解析 ∵S50－S47＝a48＋a49＋a50＝12，∴a49＝4，
∴S97＝eq \f(97×a1＋a97,2)＝97a49＝97×4＝388.
3．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )
A．28 B．29
C．30 D．31
答案 B
解析 设等差数列{an}共有2n＋1项，
则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
该数列的中间项为an＋1，
又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，
所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.
4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为( )
A．己丑年 B．己酉年
C．丙寅年 D．甲寅年
答案 A
解析 根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使Sn<0的n的最小值为( )
A．30 B．31 C．32 D．33
答案 B
解析 根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若3a5＝7a11，且a1>0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，
变形可得4a1＋58d＝0，则a1＝－eq \f(29,2)d，
所以Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝－eq \f(29,2)nd＋eq \f(nn－1d,2)＝eq \f(d,2)(n2－30n)，
因为a1＝－eq \f(29,2)d>0，所以d<0，
若Sn<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使Sn<0的n的最小值为31.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(1,tan A)，eq \f(1,tan B)，eq \f(1,tan C)依次成等差数列，则下列结论中一定成立的是( )
A．a，b，c依次成等差数列
B.eq \r(a)，eq \r(b)，eq \r(c)依次成等差数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a3，b3，c3依次成等差数列
答案 C
解析 在△ABC中，若eq \f(1,tan A)，eq \f(1,tan B)，eq \f(1,tan C)依次成等差数列，则eq \f(2,tan B)＝eq \f(1,tan A)＋eq \f(1,tan C)，整理得eq \f(2cs B,sin B)＝eq \f(cs C,sin C)＋eq \f(cs A,sin A)，利用正弦定理和余弦定理得2·eq \f(a2＋c2－b2,2abc)＝eq \f(a2＋b2－c2,2abc)＋eq \f(b2＋c2－a2,2abc)，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或eq \r(a)，eq \r(b)，eq \r(c)或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形，故A，B，D不一定成立，C一定成立．
7．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
答案 2
解析 由2S3＝3S2＋6，
可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，
解得d＝2.
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.
答案 200
解析 依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝eq \f(8,9)，因此S100＝10S10＋eq \f(10×9,2)d＝10×16＋eq \f(10×9,2)×eq \f(8,9)＝200.
9．已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值．
从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 选择①作为补充条件：(1)因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*)．
(2)由(1)可知a1＝－3，所以Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(1,2)n(n－7)．
因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.
选择②作为补充条件：(1)因为a5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*)．
(2)由(1)可知a1＝－7，所以Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝n2－8n.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.
故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.
不可以选择③作为补充条件．
10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝eq \f(a4－a1,4－1)＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，
Sn＝8n＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9n－n2，n≤5，n∈N*，,n2－9n＋40，n≥6，n∈N*.))
11．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( )
A．a10>0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S20＝0
答案 C
解析 根据题意，得数列{an}是等差数列，
由a1＋5a3＝S8，
即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.
又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，
得a10＝0，故A不正确；
不能确定a1和d的符号，所以不能确定S10最小，故B不正确；
又由Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝－9nd＋eq \f(nn－1d,2)＝eq \f(d,2)×(n2－19n)，
得S7＝S12，故C正确；
S20＝20a1＋eq \f(20×19,2)d＝－180d＋190d＝10d.
因为d≠0，
所以S20≠0，故D不正确．
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且eq \f(a2＋2a7＋a8,a3＋a6)＝eq \f(20,11)，则eq \f(S11,S8)等于( )
A.eq \f(3,7) B.eq \f(1,6) C.eq \f(5,11) D.eq \f(5,4)
答案 D
解析 eq \f(a2＋2a7＋a8,a3＋a6)＝eq \f(2a5＋2a7,a3＋a6)＝eq \f(4a6,a3＋a6)＝eq \f(20,11)，所以eq \f(a6,a3＋a6)＝eq \f(5,11)，
所以eq \f(S11,S8)＝eq \f(11a6,4a1＋a8)＝eq \f(11a6,4a3＋a6)＝eq \f(5,4).
13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
答案 3n2－2n
解析 将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋eq \f(nn－1,2)×6＝3n2－2n.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为________．
答案 12
解析 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13a7<0，S12＝eq \f(12a1＋a12,2)＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12.
15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为( )
A．213 B．215 C．217 D．219
答案 B
解析 由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝eq \f(14×1＋14,2)＝105个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a108＝1＋(108－1)×2＝215.
16．对于数列{an}，定义Hn＝eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为( )
A．－70 B．－72 C．－64 D．－68
答案 B
解析 ∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，满足上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18，∴{an－20}是以－16为首项，2为公差的等差数列，所以{an－20}的前n项和Sn＝n2－17n.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－20＝2n－18≤0，,an＋1－20＝2n－16≥0，))得8≤n≤9，∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72.