上海市松江区2024年中考二模数学试卷(含答案)

这是一份上海市松江区2024年中考二模数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列代数式中，单项式是( )
A.B.C.D.
2．当时，下列运算结果正确的是( )
A.B.C.D.
3．如果，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
4．在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是( )
A.中位数B.众数C.平均数D.方差
5．下列四个命题中不正确的是( )
A.对角线相等的平行四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．已知矩形中，，，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
7．计算：_______.
8．因式分_______.
9．不等式组的解集是_______.
10．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么_______.
11．已知反比例函数的图像经过点，那么在每个象限内，y随x的增大而_______.（填“增大”或“减小”）
12．我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为_______万辆.
13．一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是_______.
14．平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是_______.（只需写出一个符合条件的表达式）
15．如图，已知梯形中，，，、交于点O.设，，那么向量可用，表示为_______.
16．某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图1和图2所示.已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为_______人.
17．一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系.又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为_______厘米.
18．如图，已知中，，，.D是边的中点，E是边上一点，将沿着翻折，点C落在点F处，如果与与的一边平行，那么_______.
三、解答题
19．计算：.
20．解方程组：.
21．如图，已知中，，，.点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A.
（1）求的半径长；
（2）P是上一点，，交于点D，连接.求的正切值.
22．一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”.如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”.
（1）如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，.试写出该“精致四边形”的两条性质（，除外）；
（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值；
（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数.
23．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D.
（1）连接、，如果.求证：；
（2）如果，求证：.
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点A，且顶点C在线段上（与点A、B不重合）.
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，连接，交x轴于点E.
①如果，求的面积；
②如果，求m的值.
25．如图，已知矩形中，，，点P是边上一动点，过点P作，垂足为点E，连接，过点E作，交边于点F（点F与点A不重合）.
（1）当F是的中点时，求证：；
（2）当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）延长交边于点G，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：A、是单项式，符合题意；
B、是分式，不符合题意；
C、是多项式，不符合题意；
D、是二次根式，不符合题意；
故选：A.
2．答案：C
解析：，
，，，，
A，B，D不符合题意，C符合题意；
故选C
3．答案：D
解析：A、，当时，，故选项A不符合题意；
B、，当时，，故选项B不符合题意；
C、，c为任意实数，
，故选项C不符合题意；
D、，c为任意实数，
，故选项D符合题意.
故选：D.
4．答案：A
解析：一列数去掉最大的和最小的，众数可能会改变，方差，平均数都可能会改变，只有中位数一定不会变.
故选A.
5．答案：B
解析：由题意可知：
A、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，不合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，为假命题，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，为真命题，不合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，为真命题，不合题意；
故选：B.
6．答案：C
解析：连接，
四边形为矩形，
，
以A，C为圆心的两圆外切，
的半径为，
点D在内，
，
，
B在内，
，
，
.
故选：C.
7．答案：
解析：2-=.
故答案为：.
8．答案：
解析：，
故答案为：.
9．答案：
解集，再确定不等式组的解集.
解析：，
由①得：，
由②得：，
不等式的解集为：，
故答案为：.
10．答案：
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
且判别式，
解得：.
故答案为：.
11．答案：增大
解析：反比例函数的图象经过点，
，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
故答案为：增大.
12．答案：13.2
解析：，
故答案为：13.2.
13．答案：
解析：把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，
他们从同一入口进入该公园游玩的概率是，
故答案为：.
14．答案：（答案不唯一）
解析：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，
，
该抛物线的顶点坐标为，
顶点在第四象限，
，
即，
平移后的抛物线的解析式为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．答案：
解析：，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：.
16．答案：240
解析：抽查的人数为：（人）
步行上学在扇形图中所占比例为，
全校步行上学的学生人数为：（人）
故答案为：240.
17．答案：12.5
解析：设y与x之间的函数关系式为(k、b为常数，且).
将，和，代入，
得，
解得，
y与x之间的函数关系式为.
当时，，
挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米.
故答案为：12.5.
18．答案：5或
解析：①当时，与重合，
C，D，E不构成三角形，不符合题意；
②当，如图：
，
，
由翻折的性质可知，，，
四边形为正方形，
，
；
③当，延长交于G，如图：
，，
，
设，则，
在中，，
解得：，
，
综上所述，或6.5.
故答案为：5或6.5.
19．答案：
解析：原式
.
20．答案：，，，
解析：
由方程①得，得到或.
将它们与方程②分别组成方程组，得
（Ⅰ）或（Ⅱ），
解方程组（Ⅰ），得 ，；
解方程组（Ⅱ），得，；
所以原方程组的解是，，，.
21．答案：（1）5
（2）1
解析：（1）联结，设，
，
，
，，
解得：，
的半径长是5.
（2）过点P作，垂足为H.
，
，，
，
又，，
，
，
，，，
.
22．答案：（1）①，平分
②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴
③，，
（2）画图形见解析，该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值为
（3）画图形见解析，两种长度的线段各是，，它的各内角度数，，，，
解析：（1），，
是的垂直平分线，
则，平分；
，，，
，
，，，
四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴；
，
是等边三角形，则，
，
，
，
，
，
综上：该“精致四边形”的性质有：
①，平分；
②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴；
③，，.
（2）画图
在菱形中，且，
，，，
，
.
（3）画图，如图：，，
，
，
，
，
，，，
，
，
则，
，
，
，
，则，
解得：，
，.
23．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）连接，，，，如图：
，
，，
，
，
为直角三角形，
，
由圆周角定理可知，，，
是与的公共弦，，，
垂直平分，
，，
，
；
（2）过作于E，过作于F，如图：
，
，
，
由垂径定理可知，，，
，
.
24．答案：（1），
（2）①
②
解析：（1）抛物线过点，
，，
，，
将，两点分别代入到所在的一次函数中，
得，
连列可得解答，
故直线的解析式为：，
又因为顶点C在线段上，
，
得(舍去)或，
，
，.
（2）①，
对称轴为直线，顶点C为，
当时，，
顶点，
当时，，
，
过点P，D，作y轴垂线 垂足分别为M，N，
，
②由平移的性质可知，，
，
E在的垂直平分线上，
如图，过点E做与y轴平行的直线l，与相交于点M，
由垂直平分线的性质可得，，
故，
由图可得线段与平行，
故，，
，
即垂直平分，，C与D点关于x对称，
顶点C为，
D的坐标为，
由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为：，
将代入平移后的抛物线得：，
解得：或（，舍去），
.
25．答案：（1）证明见解析
（2）存在，PF的长度不变，
（3）能相似，
解析：（1），F为的中点，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）的长度不变，理由如下：
，
，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（3）连接，过点P作，垂足为H，如图所示：
，，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
当时（均为钝角），，
，
，
，
，
.