2024年上海市松江区中考数学二模试卷+

这是一份2024年上海市松江区中考数学二模试卷+，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列代数式中，单项式是（ ）
A．B．C．x+2D．
2．（4分）当a＞0时，下列运算结果正确的是（ ）
A．a0＝0B．a﹣2＝﹣a2
C．（﹣a）3＝﹣a3D．
3．（4分）如果a＞b，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac＞bcB．ac＜bcC．c﹣a＞c﹣bD．c﹣a＜c﹣b
4．（4分）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
5．（4分）下列命题中假命题是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，C为圆心的两圆外切，且点D在⊙A内，那么⊙C半径r的取值范围是（ ）
A．5＜r＜6B．5＜r＜6.5C．5＜r＜8D．5＜r＜12
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：﹣＝ ．
8．（4分）因式分解：a2﹣a＝ ．
9．（4分）不等式组的解集是 ．
10．（4分）如果关于x的一元二次方程 kx2﹣x＝1 有两个相等的实数根，那么 k＝ ．
11．（4分）已知反比例函数 的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内 .（填“增大”或“减小”）
12．（4分）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长10%，那么预计第三季度的销量为 万辆．
13．（4分）一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是 ．
14．（4分）平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限 .（只需写出一个符合条件的表达式）
15．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O．设＝，＝，那么向量 表示为 ．
16．（4分）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图1和图2所示．已知该校有1200名学生 人．
17．（4分）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克），挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 厘米．
18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．D是边BC的中点，E是边AC上一点，点C落在点F处，如果DF与△ABC的一边平行 ．
三、解答题（本大题共7题）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．点O在边BC上，以O为圆心
（1）求⊙O的半径长；
（2）P是 上一点，PO⊥BC，联结AP．求∠PAB 的正切值．
22．（10分）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”．
（1）如图所示的四边形ABCD是一个“精致四边形”，其中 AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD．试写出该“精致四边形”的两条性质（AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD 除外）；
（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形；
（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条
23．（12分）如图，已知AB是⊙O1 与⊙O2 的公共弦，O1O2 与AB交于点C，O1O2 的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1 于点D．
（1）联结 O1A、O2A，如果 AB＝AD＝AP．求证：O1A⊥O2A；
（2）如果 PO1＝3PO2，求证：PA＝AD．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）（0，2），抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）．
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，顶点落在点P处，联结PD，交x轴于点E．
①如果 m＝2，求△ODP 的面积；
②如果 EC＝EP，求m的值．
25．（14分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，点P是边AD上一动点，过点P作PE⊥AC，联结BE，过点E作 EF⊥BE（点F与点A不重合）．
（1）当F是AP的中点时，求证：BA＝BE；
（2）当AP的长度取不同值时，在△PEF 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，请说明理由；
（3）延长PE交边BC于点G，联结FG，△EFG 与△AEF 能否相似，求出此时AP的长；若不能相似
2024年上海市松江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列代数式中，单项式是（ ）
A．B．C．x+2D．
【分析】根据单项式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、是单项式；
B、是分式；
C、x+6是多项式；
D、2不是单项式；
故选：A．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
2．（4分）当a＞0时，下列运算结果正确的是（ ）
A．a0＝0B．a﹣2＝﹣a2
C．（﹣a）3＝﹣a3D．
【分析】根据分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵a0＝1（a≠3），
∴选项A不符合题意；
∵a﹣2＝，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣a）3＝﹣a3，
∴选项C符合题意；
∵＝，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（2）a﹣p＝（a≠0，p为正整数）．
3．（4分）如果a＞b，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac＞bcB．ac＜bcC．c﹣a＞c﹣bD．c﹣a＜c﹣b
【分析】根据不等式的性质分析判断．
【解答】解：∵a＞b，
∴当c＜0时，ac＜bc；
当c＞0时，ac＞bc；
∵a＞b，c是任意实数，
∴﹣a＜﹣b，
∴c﹣a＜c﹣b，故选项C不符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质．
4．（4分）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和7个最低分，5个有效评分与7个原始评分相比．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响．
5．（4分）下列命题中假命题是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得D是假命题，而A，B，C是真命题，故选：D．
【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，
得D是假命题，
而A，B，C是真命题，
故选：D．
【点评】本题主要考查了真命题，解题关键是正确判断命题的真假．
6．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，C为圆心的两圆外切，且点D在⊙A内，那么⊙C半径r的取值范围是（ ）
A．5＜r＜6B．5＜r＜6.5C．5＜r＜8D．5＜r＜12
【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据以A，C为圆心的两圆外切得出⊙A的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出r的取值范围即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝＝13，
∵以A，C为圆心的两圆外切，
∴⊙A的半径为AC﹣r＝13﹣r，
∵点D在⊙A内，
∴AD＜13﹣r，
∴r＜4，
∵B在⊙C内，
∴BC＜r，
∴r＞5，
∴5＜r＜6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出⊙A的半径是本题解题的关键．
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：﹣＝ ．
【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可．
【解答】解：﹣
＝×﹣
＝5﹣
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．（4分）因式分解：a2﹣a＝ a（a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（4分）不等式组的解集是 1≤x＜2 ．
【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜3，
故不等式组的解集为1≤x＜2．
故答案为：4≤x＜2．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．
10．（4分）如果关于x的一元二次方程 kx2﹣x＝1 有两个相等的实数根，那么 k＝ ﹣ ．
【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，所以k≠0且Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝3有两个相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（﹣1）＝6+4k＝0，
解得：k＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
11．（4分）已知反比例函数 的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内 增大 .（填“增大”或“减小”）
【分析】根据题意，先确定k＜0，再依据反比例函数性质解答本题即可．
【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点（﹣1，
∴k＜7，反比例函数图象分布在第二四象限，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
12．（4分）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长10%，那么预计第三季度的销量为 13.2 万辆．
【分析】把第一季度电动车的销量看成单位“1”，列式计算即可．
【解答】解：10×（1+10%）×（1+20%）
＝10×7.1×1.7
＝13.2（万辆），
∴预计第三季度的销量为13.2万辆．
故答案为：13.8．
【点评】本题考查百分数的应用，关键是把第一季度电动车的销量看成单位“1”．
13．（4分）一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，
∴他们从同一入口进入该公园游玩的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一） .（只需写出一个符合条件的表达式）
【分析】由平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为 y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
【解答】解：由平移抛物线 y＝x2+2x+2，使得平移后的抛物线经过原点，
设平移后抛物线为 y＝（x﹣1）2+k，
由平移后的抛物线经过原点，
得5＝（0﹣1）6+k，即k＝﹣1，
符合顶点在第四象限，
故所求为 y＝（x﹣1）3﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝（x﹣1）3﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了抛物线，解题关键是待定系数法的应用．
15．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O．设＝，＝，那么向量 表示为 + ．
【分析】根据平行线分线段成比例求出AO和AC的关系，过C作AD平行线，构造平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则求出，从而可以求得．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴AO：OC＝AB：DC＝2，
∴AO＝AC，
过C作CE∥AD交AB于E，如图：
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，＝+，
∴＝＝+＝+．
故答案为：+．
【点评】本题主要考查了平面向量，根据平行四边形法则来求解是本题解题的关键．
16．（4分）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图1和图2所示．已知该校有1200名学生 240 人．
【分析】根据全校的总人数×步行的百分比得出结果即可．
【解答】解：由题意得，样本容量为：25÷50%＝50，
故该校步行上学的学生约为：1200×＝240（人），
故答案为：240．
【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合，解题的关键是数形结合，数据条形统计图和扇形统计图的特点．
17．（4分）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克），挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 12.5 厘米．
【分析】利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，并标明x的取值范围，将x＝5代入求出对应y的值即可．
【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数．
将x＝2，y＝11和x＝4，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝x+10（4≤x≤8）．
当x＝5时，y＝，
∴挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米．
故答案为：12.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．D是边BC的中点，E是边AC上一点，点C落在点F处，如果DF与△ABC的一边平行 5或6.5 ．
【分析】根据DF与△ABC三边分类讨论，由翻折的性质以及勾股定理求出CE的长，从而求得AE的长即可．
【解答】解：①当DF∥BC时，DF与BC重合，
∴C，D，E不构成三角形；
②当DF∥AC，如图：
∴DF⊥BC，
∴∠CDF＝90°，
由翻折的性质可知，CD＝DF，
∴四边形CDFE为正方形，
∴CE＝CD＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝5；
③当DF∥AB，延长DF交AC于G
∴CG＝AC＝4＝5，
∴FG＝DG﹣DF＝DG﹣CD＝3，
设CE＝EF＝x，则EG＝4﹣x，
在Rt△EFG中，（4﹣x）2＝x2+4，
解得：x＝，
∴AE＝AC﹣CE＝6.7，
综上所述，AE＝5或6.6．
故答案为：5或6.6．
【点评】本题主要考查了翻折变换，合理运用正方形的判定与性质以及中位线定理和勾股定理是本题解题的关键．
三、解答题（本大题共7题）
19．（10分）计算：．
【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值计算即可．
【解答】解：原式＝+8﹣+2）﹣
＝．
【点评】本题考查分母有理化、负整数指数幂，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值的方法是本题的关键．
20．（10分）解方程组：．
【分析】将x2﹣3xy+2y2＝0分解因式求出x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y），进而重新组合方程组求出即可．
【解答】解：由 ①得x﹣y＝0．
原方程组化为  ，
，
分别解这两个方程组，得原方程组的解是：，，，．
【点评】此题主要考查了二元二次方程组的解法，根据已知分解因式x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y）是解题关键．
21．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．点O在边BC上，以O为圆心
（1）求⊙O的半径长；
（2）P是 上一点，PO⊥BC，联结AP．求∠PAB 的正切值．
【分析】（1）根据圆的性质以及勾股定理列方程求解即可；
（2）根据垂直的定义以及圆周角定理求出∠PAB＝45°，再根据特殊锐角三角函数值进行计算即可．
【解答】（1）解：如图，连接OA，OC＝8﹣r，
在Rt△AOC中，由勾股定理得，
AC2+OC2＝OA2，
即45+（8﹣r）2＝r3，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）解：∵PO⊥BC，
∴∠BOP＝90°，
∴∠PAB＝∠PAB＝45°，
∴∠PAB 的正切值为tan45°＝1．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键．
22．（10分）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”．
（1）如图所示的四边形ABCD是一个“精致四边形”，其中 AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD．试写出该“精致四边形”的两条性质（AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD 除外）；
（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形；
（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条
【分析】（1）由等腰三角形的性质即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，判定△ABD是等边三角形，得到∠ADO＝60°，因此AO＝OD，即可求出＝，得到较长线段与较短线段长度的比值是；
（3）由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CBD＝∠ADB，得到∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，由等腰梯形的性质推出∠ABC＝∠BCD，得到∠ACB＝∠CBD，由AC＝BC，得到∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，由三角形内角和定理得到2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，求出∠CBD＝36°，得到∠ABC＝2∠CBD＝72°，由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，求出∠BAD＝108°，由等腰梯形的性质得到∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB（答案不唯一）
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB；
（2）如图，菱形ABCD中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD，
∵BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
∴AO＝OD，
∴AC＝BD，
∴＝，
∴较长线段与较短线段长度的比值；
（3）如图，梯形ABCD中，AD＝CD＝AB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，
同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠CBD，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，
∠ABC+∠CAB+∠BCA＝180°，
∴2∠CBD+4∠CBD+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝36°，
∴∠ABC＝2∠CBD＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝108°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°，
∴两种长度的线段是AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC、72°、108°．
【点评】本题考查梯形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由“精致四边形”的定义画出符合要求的菱形和梯形．
23．（12分）如图，已知AB是⊙O1 与⊙O2 的公共弦，O1O2 与AB交于点C，O1O2 的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1 于点D．
（1）联结 O1A、O2A，如果 AB＝AD＝AP．求证：O1A⊥O2A；
（2）如果 PO1＝3PO2，求证：PA＝AD．
【分析】（1）连接O1B，O2B，BD，BP，由直角三角形的判定可知△DPB为直角三角形，然后根据圆周角定理求出∠AO1O2+∠AO2O1的度数即可证明；
（2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可．
【解答】证明：（1）连接O1B，O2B，BD，如图：
∵AD＝AB＝AP，
∴△DBP为直角三角形，∠D+∠APB＝90°，
由圆周角定理可知，∠AO4B＝2∠D，∠AO2B＝6∠APB，
∵AB是⊙O1 与⊙O2 的公共弦，
∴O7O2垂直平分AB，
∴∠AO1C＝∠AO1B，∠AO8C＝∠AO7B，
∴∠AO1C+∠AO2C＝∠D+∠APB＝90°，
∴AO8⊥AO2；
（2）过O1作O8E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，如图：
∴O8E∥O2F，
∴＝＝，
∴PE＝3PF，
由垂径定理可知，AE＝DE，
∴AE＝PE﹣PA＝3PF﹣2PF＝PF，
∴AD＝6AE＝2PF＝AP．
【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）（0，2），抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）．
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，顶点落在点P处，联结PD，交x轴于点E．
①如果 m＝2，求△ODP 的面积；
②如果 EC＝EP，求m的值．
【分析】（1）先求出AB所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据A和C都在线段AB上，求解即可；
（2）①根据抛物线平移的性质求出P点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出D点坐标，进而求出PD的直线表达式，最后求出E点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
②根据EC＝EP，可知E在CP的垂直平分线上，从而求出E点坐标，进而求出PD所在直线表达式，从而求得D点坐标，最后根据D在平移后的抛物线上求出m的值即可．
【解答】解：（1）设AB所在直线的表达式为：y＝kx+m，
将点A和点B的坐标代入表达式可得：
，
解得：k＝﹣1，m＝2，
∴AB的表达式为：y＝﹣x+3，
将点A的坐标代入抛物线解析式得：0＝﹣4+7b+c，
∴c＝4﹣2b，
将抛物线解析式改写成顶点式：y＝﹣x2+bx+4﹣2b＝﹣（x﹣）2+4﹣3b+，
∴点C（，4﹣2b+，
∴4﹣4b+＝﹣，
解得：b＝2或4，
当b＝5时，顶点C和A重合；
∴b＝2，c＝0；
（2）①由（1）知，C（2，抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x，
∴P（7，1），
∴平移后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）4+2（x﹣2）＝﹣x4+6x﹣8，
当x＝4时，y＝﹣1+6﹣2＝﹣1，
∴D（1，﹣5），
设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，
将点P和点D的坐标代入表达式得：
，
解得：t＝1，s＝﹣2，
∴PD的表达式为：y＝x﹣5，
∴E（2，0），
∴S△ODP＝×2×5+；
②由平移的性质可知，P（m+2，
∵EC＝EP，
∴E在CP的垂直平分线上，
∴E（+2，
设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，
代入P，E的坐标得：，
解得：t＝，s＝﹣6﹣，
∴PD的表达式为：y＝x﹣7﹣，
∴D（1，﹣8﹣），
由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣2）2+1，
将D点代入平移后的抛物线得：﹣1﹣＝﹣（m+1）2+3，
解得：m＝1或﹣1或﹣6，
∵m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键．
25．（14分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，点P是边AD上一动点，过点P作PE⊥AC，联结BE，过点E作 EF⊥BE（点F与点A不重合）．
（1）当F是AP的中点时，求证：BA＝BE；
（2）当AP的长度取不同值时，在△PEF 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，请说明理由；
（3）延长PE交边BC于点G，联结FG，△EFG 与△AEF 能否相似，求出此时AP的长；若不能相似
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可知AF＝FE，再根据角之间的互余关系得到∠BAE＝∠BEA，从而证明AB＝BE；
（2）根据平行线的性质以及互余关系证明△EPF和△EAB相似，从而可以证明PF是个定值；
（3）因为∠AFE和∠FEG为钝角，所以当△EFG 与△AEF相似时，这两个角相等，根据三角函数的定义求出PE的值，从而求得AP的值．
【解答】（1）证明：∵PE⊥AC，F是AP中点，
∴AF＝EF，
∴∠FAE＝∠FEA，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝∠AEF，
又∵∠AEF+∠AEB＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠AEB，
∴BA＝BE；
（2）解：存在PF长度不变．
∵AD⊥CD，PE⊥AE，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∵∠AEP＝∠FEB＝90°，
∴∠AEB＝∠PEF，
又∵∠BAE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠APE＝90°，
∴∠BAE＝∠APE，
∴△ABE∽△PFE，
∴＝＝，
∴PF＝；
（3）解：能相似．
连接FG，过P作PH⊥BC于H
∴PH＝AB＝1，
∵PG⊥AC，
∴∠GPH＝∠ACB，
∴GH＝PH•tan∠ACB＝，
由（2）知，PF＝，
∴GH＝PF，
又∵PF∥GH，
∴四边形GHPF为矩形，
∴∠PAE＝∠PGF，
∴当∠AFE＝∠FEG时，△AEF∽△GFE，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴PE＝PF＝，
∴AE＝2PE＝2，
∴AP＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．