2024年北师大版数学八（下）重点专项突破5 平移与旋转的相关综合题

这是一份2024年北师大版数学八（下）重点专项突破5 平移与旋转的相关综合题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．△DEF是由△ABC平移得到的，点A（﹣1，﹣4）的对应点为D（1，﹣1），则点B（1，1）的对应点E，点C（﹣1，4）的对应点F的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，4）B．（3，4），（1，7）
C．（﹣2，2），（1，7）D．（3，4），（2，﹣2）
2．在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
3．如图所示，已知点A（－1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点A1，A2，A3，……，A2022的位置，则A2022的坐标是（ ）
A．（3033，0）B．（3032，1）C．（3035，0）D．（3036，1）
4．等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，建立适当的直角坐标系，使B、C两点落在x轴上，且关于y轴对称时，A点坐标为（ ）
A．（0，4）B．（0，-4）
C．（0，4）或（0，﹣4）D．无法确定
5．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2B．5C．8D．11
6．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
二、填空题
7．如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB= 度．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝6．则线段AD＝ ．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，则菱形ABCD的高DH= cm．
10．在△ABC中，AB=AC=10， BC=12，则△ABC的面积为 .
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=10，点D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），将△ABD沿AD翻折，点B的对应点为点E，AE交BC于点F，若DE∥AC，则点C到线段AD的距离为 ．
12．如图（1），在三角形ABC中，∠A=38∘，∠C=72∘，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角0∘≤α≤360∘），在旋转过程中（图2），当CB'//AB时，旋转角为 度；当CB所在直线垂直于AB时，旋转角为 度．
13．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，P是BC边上一动点，且从B以1个单位每秒的速度向C出发.设x=BP，y=AP+PD，y关于x的函数图象过点(0，6+33)，则图象最低点的坐标是 ．
三、作图题
14．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，7），（﹣1，5）．
（ 1 ）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（ 2 ）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（ 3 ）直接写出点B1的坐标．
15．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别是A(0，4)，B(2，7)，C(5，4)．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点A经过平移后对应点为D(5，−1)，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出平移后的△DEF；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，若CM=2DM，直接写出点M的坐标；
（4）在（2）的条件下，已知a>0，点P(5+a，0)，点Q(5−a，0)，△DPQ所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，求a的取值范围．
四、综合题
16．如图，E，C在BF上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，试说明：AC∥DF.
17．如图，四边形ABCD是正方形， △ABE 是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转 60° 得到BN，连接EN/CM．
（1）证明： △ABM≌△EBN ；
（2）当 M 点在何处时， AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；
（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 3+1 时，则正方形的边长为 ．
18．在如图平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 (4，2) ， OA 、 OC 分别落在 x 轴和 y 轴上， OB 是矩形的对角线.将 ΔOAB 绕点 O 逆时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到 ΔODE ， OD 与 CB 相交于点 F ，反比例函数 y=kx(x>0) 的图象经过点 F ，交 AB 于点 G .
（1）求 k 的值和点 G 的坐标；
（2）连接 FG ，求∠OFG的大小.
19．如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y=kx (k≠0) 与直线 y=ax+b (a≠0) 交于 A 、 B 两点，直线 AB 分别交 x 轴、 y 轴于 C 、 D 两点， E 为 x 轴上一点.已知 OA=OC=OE ， A 点坐标为 (3，4) .
（1）将线段 OE 沿 x 轴平移得线段 O'E' （如图1），在移动过程中，是否存在某个位置使 |BO'−AE'| 的值最大？若存在，求出 |BO'−AE'| 的最大值及此时点 O' 的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）将直线 OA 沿射线 OE 平移，平移过程中交 y=kx (x>0) 的图象于点 M （ M 不与 A 重合），交 x 轴于点 N （如图2）.在平移过程中，是否存在某个位置使 ΔMNE 为以 MN 为腰的等腰三角形？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
20．已知A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)．
（1）在直角坐标系中(如图)描出各点，画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A(−1，3)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D(−3，0).
备用图
（1）直线AB的解析式为 ；直线AD的解析式为 .
（2）横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y(y≠0)，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围.
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由.
五、实践探究题
22．如图1， △ABC 中， BC 边上的中线 AM=AC ，延长 AM 交 △ABC 的外接圆于点 D ，过点 D 作DE ∥ BC交圆于点 E ，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F ，连结 CE .
（1）【特殊尝试】若 ∠ACB=60∘ ， BC=4 ，求 MD 和 DF 的长；
（2）【规律探索】
①求证： BC=2CE ；
②设 tan∠ACB=x ， FBAB=y ，求 y 关于 x 的函数表达式：
（3）【拓展应用】
如图2，作 NC⊥AC 交线段 AD 于 N ，连结 EN ，当 △ABC 的面积是 △CEN 面积的6倍时，求 tan∠ACB 的值.
23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），△EDC是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动．
（1）如图1所示，当点D的坐标为（1，0）时，求点E的坐标；
（2）如图2所示，点D在线段OB上运动时，连接AC、BC，连接AE并延长与y轴交于点P，求点P的坐标；
（3）如图3，设△EDC的边ED与y轴交于点G，CE与x轴交于点F，当点D在线段OB上运动，且满足EG<12ED时，在线段DE上取点H，且DH＝EG，连接HF交y轴于点Q．下列结论：①CG＝2FH；②△QGH为等腰三角形，其中只有一个结论是正确，请判断出正确的结论，并写出证明过程．
24．
（1）【初步探索】
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≅△ADG，再证明△AEF≅△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）【灵活运用】
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，给出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△DEF是由△ABC平移得到的，点A（﹣1，﹣4）的对应点为D（1，﹣1），
∴将△ABC向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到△DEF，
∴点B（1，1）的对应点E，点C（﹣1，4）的对应点F的坐标分别为（3，4），（1，7）.
故答案为：B.
【分析】利用点的坐标平移规律：上加下减（纵坐标），左减右加（横坐标），根据点A和点D的坐标，可得到将△ABC向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到△DEF，由此可求出点B和点C的对应点的坐标.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠ BOB' 是旋转角，
由图知，∠ BOB' =90°，
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质求出∠ BOB' 是旋转角，再求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：根据图形分析，从A开始旋转，当旋转到A4时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．
A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），
A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），
A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），
A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，2），
当A2022时，即4n+2=2022，解得n=505，
∴横坐标为6n+3=6×505+3=3033，纵坐标为0，
则A2022的坐标（3033，0）.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得坐标变换规律为4次一循环，表示出A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12的坐标，找出规律表示出A4n+1、A4n+2、A4n+3、A4n+4的坐标，据此解答.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得到图形为：
​
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BO=CO=3，
∴由勾股定理得AO=A′O=4，
∴点A的坐标为（0，4）或（0，﹣4），
故选C．
【分析】根据“等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，使B、C两点落在x轴上，且关于y轴对称”建立适当的坐标系后利用勾股定理即可求得等腰三角形的底边的长，从而求得点A的坐标．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
在△BEF与△CED中，
∠F=∠CDE∠BEF=∠CEDBE=EC ，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故答案为：C．
【分析】由“AAS”可证明△BEF≌△CED，可得EF=DE，BF=CD=3，由线段垂直平分线的性质可得AD=AF=8.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，且AE+EF=HE+EF
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝ 12 AC•HF＝ 12 CH•AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出AE+EF=HE+EF，再根据点到直线的距离垂线段最短得出当HF⊥AC时，HE+EF最小为HF，再根据三角形面积公式计算出AG，根据AH=AG即可得出结论.
7．【答案】75
【解析】【解答】解：由图知，∠A=60°，∠ABE=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣45°=45°，
∴∠AEB=180°﹣（∠A+∠ABE）=180°﹣（60°+45°）=75°．
【分析】根据三角形中内角和定理可得．一副三角尺的度数：30°，45°，60°，90°．
8．【答案】63
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD = 90°，
∴AO=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB= AB=6，
∴BD = 2BO= 12，
∴AD=BD2-AB2=63，
故答案为：63.
【分析】根据矩形的性质求出AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD = 90°，再求出△AOB是等边三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
9．【答案】9.6
【解析】【解答】在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=16cm，BD=12cm，
∴OA= 12 AC= 12 ×16=8cm，OB= 12 BD= 12 ×12=6cm，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2 =10cm，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积= 12 AC•BD=AB•DH，
即 12 ×16×12=10•DH，
解得DH=9.6．
故答案为：9.6．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．
10．【答案】48
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB=AC=10，BC=12，∴BD=CD=6，
∴AD=AB2-BC2=8，
∴ △ABC的面积=12×BC×AD=12×12×8=48；
故答案为：48.
【分析】过点A作AD⊥BC，利用等腰三角形的性质可得BD=CD=6，再利用勾股定理求出AD的长，根据△ABC的面积=12×BC×AD进行计算即可.
11．【答案】33
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=6，BC=10，
∴∠C=∠B，CM=12BC=5，
由勾股定理得：AM==AC2-CM2=62−52=11，
∵DE∥AC，
∴∠CAF=∠E，∠C=∠EDF，
由折叠的性质得：∠E=∠B，AE=AB=6，ED=BD，∠EAD=∠BAD，
∴∠CDA=∠BAD+∠B=∠EAD+∠E=∠CAE+∠E=∠CAD，
∴CD=AC=6，
∴DM=CD−CM=1，
由勾股定理得： AD=AM2+DM2=(11)2+12=23，
设点C到AD的距离为h，则
S△ACD=12CD⋅AM=12AD⋅h，即12×6×11=12×23h
解得：h=33.
故答案为33．
【分析】过点A作AM⊥BC于点M，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠C=∠B，∠C=∠EDF，由折叠的性质得：∠E=∠B，ED=BD，得出∠CDA=∠BAD+∠B=∠EAD+∠E=∠CAE+∠E=∠CAD，证出CD=AC=6，得出DM=1，又由勾股定理得AM=62−52=11，利用三角形等面积得S△ACD=12CD⋅AM=12AD⋅h，代数求解即可．
12．【答案】70或250；160或340
【解析】【解答】
∵ ∠A=38°，∠C＝72°；
∴ ∠B=70°；
如图1，当BC边绕点C逆时针方向旋转到C'B∥AB时；
∠BCB'=70°；
∴ 旋转角为70°或70°＋180°=250°；
故答案为：70°或250°；
如图2，当CB’⊥AB时，∠BCB'=20°；
∴ ∠BCB'=160°；
∴ 旋转角为160°或160°＋180°=340°；
故答案为160°或340°；
【分析】根据三角形的内角和为180°求得∠B=70°，如图1，当CB'∥AB时，根据平行线的性质，可求得；如图2，当CB’⊥AB时，由垂径定理可得结论。
13．【答案】37
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°.
∵图象过点（0，6+33），
∴当x=0时，AP+PD=6+33，此时点P、B重合，则y=AB+BD，连接BD，
∵△ABC为等边三角形，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，BD=AB·sinA=32AB，
∴32AB+AB=6+33，
∴AB=6.
作点A关于BC的对称点N，连接DN，交BC于点P，此时AP+PD最小，即此时函数图象最低，AP+PD=PN+PD=DN，推出点E是BC的中点，
过D作DH⊥BC于点H，则DH∥AN，DH为△AEC的中位线，
∴HD=12AE=12EN，CH=HE=12CE=32.
∵DH∥AN，
∴∠PDH=∠N.
∵∠DPH=∠NPE，
∴△AEP∽△DHP，
∴PHPE=HDEN=12=PDPN，
∴PH=13HE=12.
∵在Rt△CDH中，CD=12AC=3，∠C=60°，
∴DH=CD·sinC=332，
∴PD=PH2+HD2=7.
∵PDPN=12，
∴PN=27，
∴AP+PD的最小值为ND=PD+PN=37.
故答案为：37.
【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，根据图象过点（0，6+33）可知当x=0时，AP+PD=6+33，此时y=AB+BD，连接BD，由三角函数的概念可得BD=32AB，甲据此可求出AB的值，作点A关于BC的对称点N，连接DN，交BC于点P，此时AP+PD最小，AP+PD=PN+PD=DN，过D作DH⊥BC于点H，则DH∥AN，DH为△AEC的中位线，求出HD、CH的值，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AEP∽△DHP，由三角函数的概念可得DH，利用勾股定理求出PD，利用相似三角形的性质可求出PN的值，据此解答.
14．【答案】（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）根据作图得，B1（2，3）．
【解析】【分析】（1）根据点A、C的坐标构建平面直角坐标系即可；
（2）先根据关于y轴对称的点坐标的特征求出点A、B、C的对称点，再连接即可；
（3）根据平面直角坐标系直接写出点B1的坐标即可。
15．【答案】（1）解：如图，
（2）如图：△DEF即为所求；
（3）∵点M在直线CD上，若CM=2DM，
设点M的坐标为(5，a)，
当点M在CD之间时，CM=4−a，DM=a−(−1)=a+1，
∴4−a=2(a+1)，
解得：a=23，
∴点M的坐标为(5，23)，
当点M在点D下方时，CM=4−a，DM=−1−a，
∴4−a=2(−1−a)，
解得：a=−6，
∴点M的坐标为(5，−6)，
综上所述，点M的坐标为(5，23)或(5，−6)．
（4）如图，
∵点P(5+a，0)，点Q(5−a，0)，且D(5，−1)，
∴点P与点Q关于直线CD对称，
若△DPQ所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，则需要PQ两点之间恰好有5个整点，
当P1(7，0)，Q1(3，0)时，PQ两点之间恰好有5个整点，此时a=2；
当P2(8，0)，Q2(2，0)时，PQ两点之间恰好有6个整点，此时a=3；
故当点P，点Q分别在P1P2，QQ2之间时(不包含P2，Q2)满足要求；
∴a的取值范围是2≤a<3．
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分类讨论：设点M的坐标为(5，a)，①当点M在CD之间时，②当点M在点D下方时，再分别列出方程求出a的值即可；
（4）分类求解：①当P1(7，0)，Q1(3，0)时，②当P2(8，0)，Q2(2，0)时，再分别求出a=2，a=3，可得a的取值范围是2≤a<3．
16．【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABE≌△DEF（SSS），
∴∠ACB=∠F，
∴AC//DF.
【解析】【分析】由SSS可证△ABE≌△DEF，由全等三角形的性质得∠ACB=∠F，再由平行线的判定可判定AC//DF.
17．【答案】（1）解： ∵△ABE 是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60° ，
∵∠MBN=60° ，
∴∠MBN−∠ABN=∠ABE−∠ABN ，即 ∠BMA=∠NBE ．
又∵MB=NB ，
∴△AMB≌△ENB(SAS) ；
（2）解： 如图，连接 CE ，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM+BM+CM 的值最小．
理由如下：
连接 NN ，
由（1）知， △AMB≌△ENB ，
∴AM=EN ．
∵∠MBN=60°，MB=NB ，
∴△BMN 是等边三角形，
∴BM=MN ．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短．
当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长．
（3）2
【解析】【解答】解：（3）正方形的边长为边 2 ．
过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F ，
∴∠EBF=90°−60°=30° ．
设正方形的边长为 x ，则 BF32x ， EF=x ．
在 Rt△EFC 中，
∵EF2+FC2=EC2 ，
∴(x2)2+(32x+x)2=(3−1)2 ，
解得， x=2 （舍去负值）．
∴正方形的边长为 2 ．
【分析】(1)由题意得MB=NB，∠ABN=15°， 所以∠EBN=45°， 容易证出△AMB≌△ENB；(2)根据"两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；(3)过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°， 设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为 2 .
18．【答案】（1）解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴∠OCB=∠OAB=∠ABC=90°，OC=AB=2，OA=BC=4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF=∠AOB，∴△COF∽△AOB，
∴CFAB=OCOA ，
∴CF2=24 ，
∴CF=1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y=kx(x>0) 的图象经过点F，
∴2= k1 ，得k=2，
∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为4，
对于y= 2x ，当x=4，得y= 12 ，
∴点G的坐标为（4， 12 ）；
答： k 的值是2和点 G 的坐标为（4， 12 ）；
（2）解：∵BC=OA=4，CF=1，AB=2，OC=2
∴BF=BC-CF=3，BG=AB-AG= 32 .
∴CFBG=OCBF=23 .
∵∠OCF=∠GBF=90°，
∴△COF∽△BFG，
∴∠COF=∠BFG，
∵在Rt△OCF中，∠COF+∠CFO=90°，
∴∠BFG+∠CFO=90°，
∵∠OFC+∠BFG+∠OFG=180°，
∴∠OFG=90°，
∠OFG的大小为90°.
【解析】【分析】（1）由矩形的性质以及点B的坐标可得：∠OCB=∠OAB=∠ABC=90°，OC=AB=2，OA=BC=4，由旋转的性质可得△ODE≌△OAB，得到∠COF=∠AOB，证明△COF∽△AOB，由相似三角形的性质可得CF，据此可得点F的坐标，代入 y=kx(x>0) 中可求出k，易得点G的横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出y，据此可得点G的坐标；
（2）易得BF=3，BG=32，证明△COF∽△BFG，得到∠COF=∠BFG，由平角的概念可得∠OFC+∠BFG+∠OFG=180°，然后结合∠BFG+∠CFO=90°进行求解.
19．【答案】（1）解：如图1中，
∵A（3，4），
∴OA＝ 32+42 ＝5，
∵OA＝OC＝OE，
∴OA＝OC＝OE＝5，
∴C（﹣5，0），E（5，0），
把A、C两点坐标代入y＝ax+b得到 3a+b=4−5a+b=0 ，
解得 a=12b=52 ，
∴直线的解析式为 y=12x+52 ，
把A（3，4）代入y＝ kx 中，得到k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ 12x ，
把A向左平移5个单位得A1（﹣2，4），作B关于x轴的对称点B1，
则有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝B1O′﹣A1O′|≤A1B1，
∵直线AC： y=12x+52 ，
双曲线：y＝ 12x
∴B(−8，−32) ， B1(−8，32)
∴A1B1=(−2+8)2+(4−32)2=132 ，
直线A1B1： y=512x+296 ，
令y＝0，可得 x=−585 ，
∴O′（﹣ 585 ，0）.
∴|BO′﹣AE′|的最大值为 132 ，此时点O′的坐标（﹣ 585 ，0）.
（2）解：设M（m， 12m ），则N（m﹣ 9m ，0），NE2＝（5﹣m+ 9m ）2，ME2＝（5﹣m）2+（ 12m ）2，MN2＝（ 9m ）2+（ 12m ）2
若MN＝ME，则有，（5﹣m）2+（ 12m ）2＝（ 9m ）2+（ 12m ）2，解得m＝ 5+612 或 5−612 （舍弃），
∴M（ 5+612 ， 261−103 ），
若MN＝NE，则有（5﹣m+ 9m ）2＝（ 9m ）2+（ 12m ）2，解得m＝8或3（舍弃），
∴M（8， 32 ），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（ 5+612 ， 261−103 ）或（8， 32 ）.
【解析】【分析】（1）把A向左平移5个单位得A1（﹣2，4），作B关于x轴的对称点B1，则有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝B1O′﹣A1O′|≤A1B1，想办法求出A1B1，直线A1B1的解析式即可解决问题；
（2）设M（m， 12m ），则N（m﹣ 9m ，0），NE2＝（5﹣m+ 9m ）2，ME2＝（5﹣m）2+（ 12m ）2，MN2＝（ 9m ）2+（ 12m ）2，分MN＝EM，MN＝NE两种情形，分别构建方程即可解决问题.
20．【答案】（1）解：如图．
（2）解：S△ABC=3×4- 12 ×2×3- 12 ×2×4- 12 ×2×1=4
（3）解：当点P在x轴上时，S△ABP= 12 AO·BP=4，
即 12 ×1×BP=4，解得BP=8，
所以点P的坐标为(10，0)或(-6，0)．
当点P在y轴上时，S△ABP= 12 BO·AP=4，
即 12 ×2×AP=4，解得AP=4，
所以点P的坐标为(0，5)或(0，-3)．
所以点P的坐标为(0，5)或(0，-3)或(10，0)或(-6，0)
【解析】【分析】(1)在坐标系中找出A、B、C三点，然后将这三点顺序连接起来；
(2)根据△ABC的面积等于其外接矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积之和，解答即可；
(3)分两种情况讨论，即当点P在x轴上时，当点P在y轴上时， 根据面积相等列式求出BP或AP的长，然后结合线段的非负性求坐标即可.
21．【答案】（1）y=−x+2；y=32x+92
（2）解：∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P(m，−m+2).
∵PE∥x轴，∴点E的纵坐标为−m+2.
代入直线y=32x+92，得−m+2=32x+92，解得x=−5−2m3.
∴E(−5−2m3，−m+2).
∴y=m−−5−2m3=53m+53.
即y与m之间的函数关系式为y=53m+53(−1（3）解：①如图1，当∠FPE=90°时，有PF=PE，PF=−m+2，PE=53m+53，
图1
∴−m+2=53m+53，解得m=18.∴F(18，0).
②如图2，当∠PEF=90°时，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，
图2
∴EF=−m+2.∴−m+2=53m+53，
解得m=18.
∴点E的横坐标为−5−2m3=−74.∴F(−74，0).
③如图3，当∠PFE=90°时，有PF=EF，
图3
∴∠FPE=∠FEP.
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°.
过点F作FR⊥PE于点R，
∴∠PFR=180°−∠FPE−∠PRF=45°.∴∠PFR=∠RPF，即FR=PR.
同理可得FR=ER.
∴FR=12PE.
∵点R与点P的纵坐标相同，∴FR=−m+2.
∴−m+2=12⋅5m+53，解得m=711.
∴PR=FR=−m+2=−711+2=1511.
∴点F的横坐标为711−1511=−811.
∴F(−811，0).
综上所述，在x轴上存在点F的坐标为(18，0)或(−74，0)或(−811，0)，使△PEF为等腰直角三角形.
【解析】【解答】解：（1）∵OB＝OC，
∴设直线AB的解析式为y＝-x+n，
∵直线AB经过A（-1，3），
∴1+n＝3，
∴n＝2，
∴直线AB的解析式为y＝-x+2，
设直线AD为y＝kx+b，
∴-3k+b=0-k+b=3，
解得：k=32b=92，
∴直线AD为：y=32x+92.
故答案为：y＝-x+2；y=32x+92.
【分析】（1）先设出函数解析式，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）点P在AB上，且横坐标为m，可得P（m，-m+2）.可得点E的纵坐标为-m+2.求解x=−5−2m3，可得E(−5−2m3，−m+2).从而可得函数解析式；
（3）分三种情况讨论：①如图1，当∠FPE＝90°时，有PF＝PE，PF＝-m+2，PE=53m+53；
②如图2，当∠PEF＝90°时，有EP＝EF，EF的长等于点E的纵坐标；
③如图3，当∠PFE＝90°时，有PF＝EF，再利用等腰直角三角形的性质与方程思想解题即可.
22．【答案】（1）解：如图，连接 BD ，
∵∠ACB=60° ， AM=AC ，
∴∠BMD=∠AMC=∠ACM=60° .
又 ∠ADB=∠ACB=60° ，
∴△AMC ， △BMD 都是等边三角形.
∴DM=BM=CM=AM=12BC=2 ，
∵BM∥DF ，
∴△ABM∽△AFD .
∴BMDF=AMAD=24=12 ，
∴DF=2BM=4 .
（2）解：①如图，连接 BD ， CD ，
∵BC∥DE ，
∴∠BCD=∠CDE ，
∴CE=BD ，
∴CE=BD .
由（1）得：
∵∠ADB=∠ACB=∠AMC=∠BMD ，
∴BD=BM=MC=12BC ，
∴CE=BD=12BC ，
即BC=2CE.
②由上可得 △AMC∽△BMD ，
∴DMMC=BMAC .
由（1）得 △ABM∽△AFD ，
∴y=FBAB=DMAM=DMCM⋅CMAM=BMAC⋅CMAM=(CMAC)2
如图，过点A作 AH⊥BC 于点H，
设 CM=2m ，
∵AM=AC ，
∴CH=12CM=m .
∵tan∠ACB=x ，
则 AH=mx ， AC=m1+x2
∴y=DMAM=(CMAC)2=(2mm1+x2)2=4x2+1
（3）解：如图，连接ME，
由上得 CE=BD ，
∴CE=BD ，
∴∠DBM=∠ECM
∵BM=CM ， BD=CE ，
∴△DBM≌△ECM(SAS) ，
∴MD=ME .
∵AC⊥CN ，
∴∠MCN=90°−∠ACM=∠HAC=12∠MAC=12∠DBM=12∠ECM .
∴∠MCN=∠ECN .
∴△MCN≌△ECN(SAS) .
∵△ABC 面积是 △CEN 面积的6倍，
∴△ACM 面积是 △MNC 面积的3倍.
∴AM=3MN .
设 ME 交 CN 于点K，
则 MK=EK ， MK∥AC ，
∴△MNK∽△ANC .
∴MKAC=MNAN=14 .
∴MD=ME=2MK=2×14AC=12AC=12AM ，
∴y=FBAB=DMAM=12 .
∴4x2+1=12 ，
解得 x=7 .
即 tan∠ACB=7 .
【解析】【分析】（1）连接BD，先证△AMC、△BMD为等边三角形，可得DM=BM=CM=AM=12BC=2，再证△ABM∽△AFD，可得 BMDF=AMAD=12 ，据此即得结论；
（2）①连接BD、CD，利用平行弦所夹的弧相等可得CE=BD，由（1）及等腰三角形的性质可得
BD=BM=MC=12BC ，即得CE=BD=12BC ，从而得解；②易证△AMC∽△BMD，通过平行线分线段成比例定理可得y=FBAB=DMAM=DMCM⋅CMAM=BMAC⋅CMAM=(CMAC)2.如图，过点A作 AH⊥BC 于点H，设CM=2m，可得 CH=12CM=m ，根据tan∠ACB=x，可得 AH=mx ， AC=m1+x2 ，代入即可得出结论；
（3）连接ME， 根据SAS证明△DBM≌△ECM和△MCN≌△ECN，利用等高三角形的面积比等于底之比可得AM=3MN，证明△MNK∽△ANC ，可得MKAC=MNAN=14 ，从而得出y=FBAB=DMAM=12 ，结合（2）可得方程4x2+1=12 ，解之即得结论.
23．【答案】（1）解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示：
∵点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，0），
∴CO＝4，OD＝1，
∵∠EFD＝∠COD＝∠CDE＝90°，
∴∠EDF+∠CDO＝∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠EDF＝∠OCD，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD＝ED，
∴△COD≌△DFE（AAS），
∴DF＝CO＝4，EF＝OD＝1，
∴OF＝DF-OD＝3，
∵点E在第三象限，
∴点E的坐标为：（-3，-1）．
（2）解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示：
根据解析（1）可知，△COD≌△DFE，
∴EF＝OD，DF＝CO，
∵点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），
∴OA＝OC＝OB＝4，
∴OA＝DF，
∴OA-OF＝DF-OF，
即OD＝AF，
∴AF＝EF，
∵∠EAF=∠AEF=12×90°=45°，
∵∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°-45°＝45°，
∴∠APO＝∠OAP，
∴OP＝OA＝4，
∴点P的坐标为：（0，-4）．
（3）解：结论②△QGH为等腰三角形是正确的．理由如下：
在x轴上截取DK＝CG，连接EK，如图所示：
∵DH＝GE，
∴DH+HG＝EG+HG，即DG＝EH，
∵∠CDE＝∠COD＝90°，
∴∠DCG+∠CDO＝∠CDO+∠KDE＝90°，
∴∠DCG＝∠KDE，
∵CD＝DE，CG＝DK，
∴△CGD≌△DKE（SAS），
∴EK＝DG，∠DEK＝∠CDG＝90°，
∵∠CED＝∠ECD＝45°，
∴∠KEF＝∠KED-∠CED＝90°-45°＝45°，
∴∠EKF＝∠HEF，
∵EF＝EF，KE＝HE，
∴△KEF≌△HEF（SAS），
∴∠FHE＝∠FKE，
∵∠FKE+∠ODG＝∠ODG+∠OGD＝90°，
∴∠FKE＝∠OGD，
∴∠OGD＝∠GHQ，
∴HQ＝GQ，
即△QGH为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得CD=ED，根据同角的余角相等得∠EDF＝∠OCD，依据AAS判定 △COD≌△DFE 推出 DF＝CO＝4，EF＝OD＝1，即可求得；
（2）根据△COD≌△DFE 推出 EF＝OD，DF＝CO， 得到OD=AF，根据等腰直角三角形的判定和性质可得 OP＝OA ，即可求得；
（3） 在x轴上截取DK＝CG，连接EK， 依据SAS判定 △CGD≌△DKE 推出EK＝DG，∠DEK＝∠CDG＝90，依据SAS判定△KEF≌△HEF 推出 ∠FHE＝∠FKE， 证明∠OGD=∠GHQ，即可求得.
24．【答案】（1）∠BAE＋∠FAD＝∠EAF
（2）解：仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF；
（3）解：∠EAF＝180°− 12 ∠DAB．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，
∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠DAG）＝360°，
即2∠FAE＋∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°−12∠DAB．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF；
（2）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，由同角的补角相等得∠B＝∠ADG，证明△ABE≌△ADG，得到∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，证明△AEF≌△AGF，然后根据全等三角形的性质进行解答；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，根据同角的补角相等可得∠ADC＝∠ABE，证明△ADG≌△ABE，得到AG=AE，∠DAG=∠BAE，证明△AEF≌△AGF，得到∠FAE=∠FAG，根据周角的概念可得∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，则2∠FAE+∠DAB=360°，据此角度.